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PerfectNumberQ[n]

n が完全数の場合はTrueを，それ以外の場合はFalseを返す．

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PerfectNumberQ

PerfectNumberQ[n]

n が完全数の場合はTrueを，それ以外の場合はFalseを返す．

詳細

  • PerfectNumberQは，一般に，ある整数が完全数かどうかを調べるために使われる．
  • 正の整数 n の約数の合計が2n であれば，その整数は完全数である．
  • PerfectNumberQ[n]は n が明白に完全数ではないときはFalseを返す．

例題

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例  (2)

ある数が完全数かどうかを調べる：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[6]

12は完全数ではない：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[12]

スコープ  (5)

PerfectNumberQは正の整数に使うことができる：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[6]

ガウス整数：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[11 + 6I]

負の整数は完全数ではない：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[-6]

整数ではない数は完全数ではない：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[6.0]

大きい整数について調べる：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[2 ^ 74207280(2 ^ (74207281) - 1)]

アプリケーション  (11)

基本的なアプリケーション  (3)

完全数をハイライトする：

Wolfram Language code: Multicolumn[If[PerfectNumberQ[#], Style[#, Red, Bold], #]& /@ Range[100], 10, ...]

番目の完全数を生成する：

Wolfram Language code: PerfectNumber[3]
Wolfram Language code: PerfectNumberQ[%]

完全数をランダムに生成する：

Wolfram Language code: randomPerfect[n_, m_ : 1] := Table[PerfectNumber[RandomInteger[{1, n}]], {m}];
Wolfram Language code: randomPerfect[10, 5]
Wolfram Language code: AllTrue[%, PerfectNumberQ]

整数論  (8)

偶数の完全数の末尾は6または28である：

Wolfram Language code: PerfectNumber[{1, 3, 5, 6}, "Even"]
Wolfram Language code: AllTrue[%, PerfectNumberQ]
Wolfram Language code: PerfectNumber[{2, 4, 7, 8}, "Even"]
Wolfram Language code: AllTrue[%, PerfectNumberQ]

メルセンヌ(Mersenne)素数の三角数は完全数である：

Wolfram Language code: mersennePrime[n_] := 2 ^ MersennePrimeExponent[n] - 1;
Wolfram Language code: AllTrue[PolygonalNumber[mersennePrime /@ Range[40]], PerfectNumberQ]

メルセンヌ素数指数に関連した六角数は完全数である：

Wolfram Language code: powertwo[n_] := 2 ^ (MersennePrimeExponent[n] - 1);
Wolfram Language code: AllTrue[PolygonalNumber[6, powertwo /@ Range[40]], PerfectNumberQ]

の形を持つ偶数の各完全数は番目の三角数で番目の六角数である：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)]
Wolfram Language code: {PolygonalNumber[3, 2 ^ 5 - 1], 2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)}
Wolfram Language code: {PolygonalNumber[6, 2 ^ (5 - 1)], 2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)}

p がメルセンヌ素数指数なら，は完全数である：

Wolfram Language code: MersennePrimeExponentQ[5]
Wolfram Language code: PerfectNumberQ[2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)]

偶数の各完全数はの形をしている．p はメルセンヌ素数指数である：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[496]

上記の表現における p は5であることを確かめる：

Wolfram Language code: 2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)
Wolfram Language code: MersennePrimeExponentQ[5]

完全数 n の約数の逆数は合計でにならなければならない：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[28]
Wolfram Language code: DivisorSigma[-1, 28]

n の約数の合計が のとき，数 n は -完全数である：

Wolfram Language code: kPerfectQ[k_, n_] := DivisorSigma[1, n] == k n

-完全数を求める：

Wolfram Language code: kPerfectQ[3, 120]

完全数は-完全数と同じである：

Wolfram Language code: Select[Range[30], kPerfectQ[2, #]&]

特性と関係  (7)

正の整数 n の約数の合計が のときかつそのときに限り，この整数は完全数である：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[6]
Wolfram Language code: DivisorSigma[1, 6] == 2 6

PerfectNumberは 番目の完全数を与える：

Wolfram Language code: PerfectNumber[6]
Wolfram Language code: PerfectNumberQ[%]

p がメルセンヌ素数指数なら，は完全数である：

Wolfram Language code: MersennePrimeExponentQ[5]
Wolfram Language code: PerfectNumberQ[2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)]

偶数のすべての完全数はの形を持つ．p はメルセンヌ素数指数である：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[496]
Wolfram Language code: IntegerExponent[496, 2]

上記の表現における p は5であることを確かめる：

Wolfram Language code: 2 ^ (5 - 1)(2 ^ 5 - 1)
Wolfram Language code: MersennePrimeExponentQ[5]

メルセンヌ素数の三角数は完全数である：

Wolfram Language code: mersennePrime[n_] := 2 ^ MersennePrimeExponent[n] - 1;
Wolfram Language code: AllTrue[PolygonalNumber[mersennePrime /@ Range[40]], PerfectNumberQ]

メルセンヌ素数指数に関係する六角数は完全数である：

Wolfram Language code: powertwo[n_] := 2 ^ (MersennePrimeExponent[n] - 1);
Wolfram Language code: AllTrue[PolygonalNumber[6, powertwo /@ Range[40]], PerfectNumberQ]

DivisorSigmaを使って正の整数が完全数かどうかを調べる：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[6]
Wolfram Language code: DivisorSigma[1, 6] == 2 6

考えられる問題  (3)

明示的に評価できない式は，完全数を表す場合でもFalseを返す：

Wolfram Language code: x = 5 + GoldenRatio - 1 / GoldenRatio; PerfectNumberQ[x]

まず記号的な簡約を行うことが必要である：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[Simplify[x]]

Wolfram言語の本バージョンまでには，奇数の完全数は知られていない：

Wolfram Language code: PerfectNumberQ[1234121]

Wolfram言語の本バージョンにおいては，最初の50個の偶数の完全数の順位が確定している：

Wolfram Language code: TimeConstrained[PerfectNumber[51, "Even"], 10]

さらに多くの完全数が知られているが，その順位は分かっていない：

Wolfram Language code: n = {82589933, 136279841}; numbers = 2 ^ (n - 1)(2 ^ n - 1); AllTrue[numbers, # > PerfectNumber[50, "Even"]&]
Wolfram Language code: AllTrue[numbers, PerfectNumberQ]
Wolfram Research (2016), PerfectNumberQ, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PerfectNumberQ.html （2024年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2016), PerfectNumberQ, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PerfectNumberQ.html （2024年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2016. "PerfectNumberQ." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/PerfectNumberQ.html.

APA

Wolfram Language. (2016). PerfectNumberQ. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/PerfectNumberQ.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_perfectnumberq, author="Wolfram Research", title="{PerfectNumberQ}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/PerfectNumberQ.html}", note=[Accessed: 03-November-2026]}

BibLaTeX

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