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QBinomial[n,m,q]

二項係数を返す．

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QBinomial

QBinomial[n,m,q]

二項係数を返す．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • QBinomialは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (4)

数値による厳密評価：

Wolfram Language code: QBinomial[4, 2, 1 / 2]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[QBinomial[1, 1 / 3, x], {x, 0, 2}, Exclusions -> None]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[QBinomial[1 / 2, 1, x], {x, 0, 2}]

FunctionExpandを使ってガウスの多項式を得る：

Wolfram Language code: QBinomial[10, 5, q]//FunctionExpand

スコープ  (22)

数値評価  (5)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: QBinomial[5, -3.1, E]
Wolfram Language code: QBinomial[0, 12, 5]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[QBinomial[15 / 17, 5, 1], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: QBinomial[0.211111111111111111, 5, 1]

複素数入力：

Wolfram Language code: N[QBinomial[23 / 47, 5 - I, 2]]

高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: QBinomial[23 / 47, 5, 1`100]//Timing
Wolfram Language code: QBinomial[15 / 71, 5, 1`1000];//Timing

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: QBinomial[1, {{1 / 2, 1}, {0, -1 / 2}}, .2]

MatrixFunctionを使って行列のQBinomial関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[QBinomial[1, #, .2]&, {{1 / 2, -1}, {0, 1 / 2}}]//FullSimplify

特定の値  (5)

記号パラメータについてのQBinomial：

Wolfram Language code: QBinomial[n, 4, 2]//FunctionExpand
Wolfram Language code: QBinomial[1, m, 2]//FunctionExpand
Wolfram Language code: QBinomial[4, 2, q]//FunctionExpand

ゼロにおける値：

Wolfram Language code: QBinomial[0, 0, 0]

QBinomial[3,2,q]の最小値を求める：

Wolfram Language code: qmin = q /. FindRoot[D[QBinomial[3, 2, q], q] == 0, {q, 0}]
Wolfram Language code: Plot[QBinomial[3, 2, q], {q, -3, 2}, Epilog -> Style[Point[{qmin, QBinomial[3, 2, qmin]}], PointSize[Large], Red]]

QBinomialは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: QBinomial[5, {0, 1, 2, 3, 4, 5}, 1 / 3]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: QBinomial[n, m, q]//TraditionalForm

可視化  (3)

QBinomial関数をさまざまなパラメータについてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{QBinomial[2, 1, x], QBinomial[3, 1, x], QBinomial[4, 1, x]}, {x, -3, 2}]

複素数の部分集合上でQBinomial関数をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[QBinomial[1 / 2, 1, z], {z, -1 - I, 1 + I}, PlotLegends -> Automatic]

TemplateBox[{3, 2, z}, QBinomial]の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[QBinomial[3, 2, z]], {z, -4 - 4 I, 4 + 4 I}, Contours -> 20]

TemplateBox[{3, 2, z}, QBinomial]の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[QBinomial[3, 2, z]], {z, -4 - 4 I, 4 + 4 I}, Contours -> 20]

関数の特性  (4)

TemplateBox[{1, {1, /, 3}, x}, QBinomial]は，および のとき，特異点と不連続点の両方を持つ：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[QBinomial[1, 1 / 3, x], x]//Quiet
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[QBinomial[1, 1 / 3, x], x]//Quiet

TemplateBox[{1, {1, /, 3}, x}, QBinomial]は非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[QBinomial[1, 1 / 3, x], x]

QBinomialは凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[QBinomial[m, n, x], {m, n, x}]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: QBinomial[n, m, q]//TraditionalForm

微分  (2)

m=1/2のときの n についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[QBinomial[n, 1 / 2, q], n]

n=1で q=2のときの m についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[QBinomial[1, m, 2], m]

m についての高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[QBinomial[n, m, q], {m, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

n=3で q=2のときの m についての高次導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[% /. { n -> 3, q -> 2}], {m, -5, 5}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

級数展開  (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[QBinomial[n, x, q], {x, 0, 2}]//Normal//FullSimplify

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[QBinomial[2, x, 2], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{QBinomial[2, x, 2], terms}, {x, -2, 2}]

Infinityにおける級数展開：

Wolfram Language code: Series[QBinomial[1 / 2, 2, x], {x, ∞, 2}]//Normal

生成点におけるテイラー展開：

Wolfram Language code: Series[QBinomial[n, x, q], {x, x0, 2}]// Normal//FullSimplify

一般化と拡張  (1)

QBinomialはベキ級数に適用することができる：

Wolfram Language code: QBinomial[100, 50, q + O[q] ^ 10]

アプリケーション  (4)

QBinomialの明示的な組合せ論的構築：

Wolfram Language code: n = 10;m = 3;
Wolfram Language code: Total[q ^ ((Total /@ Subsets[Range[n], {m}]) - m(m + 1) / 2)]
Wolfram Language code: QBinomial[n, m, q]//FunctionExpand//Expand

二項式は格子の陰影付け問題(grid-shading problem)における数列の母関数である：

Wolfram Language code: n = 5;m = 3; QBinomial[n + m, m, q]//FunctionExpand
Wolfram Language code: CoefficientList[%, q]

明示的な数え上げと比較する：

Wolfram Language code: Count[IntegerPartitions[#], x_ /; Length[x] ≤ n && Max[x] ≤ m]& /@ Range[0, n * m]

パスカルの三角形における要素は2つの再帰関係を満足する：

Wolfram Language code: Table[QBinomial[n, m, q] == QBinomial[n - 1, m - 1, q] + q^m QBinomial[n - 1, m, q], {n, 5}, {m, n - 1}]//FullSimplify
Wolfram Language code: Table[QBinomial[n, m, q] == q^n - m QBinomial[n - 1, m - 1, q] + QBinomial[n - 1, m, q], {n, 5}, {m, n - 1}]//FullSimplify

素数ベキ を持つ上の 次元ベクトル空間における部分空間の数：

Wolfram Language code: GaloisNumber[n_, q_] := Sum[QBinomial[n, m, q], {m, 0, n}]

上の三次元ベクトル空間における部分空間の総数：

Wolfram Language code: GaloisNumber[3, 2]

ガロア数の漸化式を使ってチェックする：

Wolfram Language code: RecurrenceTable[{g[n + 1] == 2g[n] + (q ^ n - 1)g[n - 1], g[0] == 1, g[1] == 2}, g, {n, 3}]//Last//Expand
Wolfram Language code: GaloisNumber[3, q]//FunctionExpand

特性と関係  (2)

FunctionExpandとFullSimplifyを使ってQBinomialを含む式を操作する：

Wolfram Language code: QBinomial[n, m, q]//FunctionExpand

級数展開を構築する：

Wolfram Language code: Series[QBinomial[5, 5 / 2, q], {q, 0, 4}]
Wolfram Language code: Series[QBinomial[5, 5 / 2, q], {q, Infinity, 4}]
Wolfram Research (2008), QBinomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/QBinomial.html.

テキスト

Wolfram Research (2008), QBinomial, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/QBinomial.html.

CMS

Wolfram Language. 2008. "QBinomial." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/QBinomial.html.

APA

Wolfram Language. (2008). QBinomial. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/QBinomial.html

BibTeX

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BibLaTeX

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