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Resolve

Resolve[expr]

尝试把 expr 变成一种消除 ForAll 和 Exists 量词的形式.

Resolve[expr,dom]

作用于域 dom. dom 常见的选择是 Complexes、Reals 和 Booleans.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

证明单位圆盘非空：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 + y ^ 2 < 1]]

找出二次方形在实数上为正数的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[x, ax ^ 2 + bx + c > 0], Reals]

找出二次方程式至少有两个不同的复数根的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, a x ^ 2 + b x + c == 0 && a y ^ 2 + b y + c == 0 && x ≠ y]]

求几何区域的投影：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[z, {x, y, z}∈Cylinder[{{0, 0, 0}, {1, 1, 1}}, 2]], Reals]

Wolfram Language code: RegionPlot[%, {x, -2, 3}, {y, -2, 3}]

范围 (52)

复域 (6)

决定单一个变量多项式方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 7 + 3 x - 11 == 0]]

决定一个多元多项式系统解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 + y ^ 2 == 1 && x ^ 3 - y ^ 2 == 2 && x y ≠ 3]]

决定完全量化多项式公式的真值：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, c}, Exists[x, a x ^ 2 + b x + c == 0]]]

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{b, c}, Exists[x, x ^ 2 + b x + c == 0]]]

找出一个多项式方程有解的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, (a ^ 2 - b ^ 3 + 1)x ^ 7 + (a ^ 2 - a b + 1) x ^ 2 - 3 == 0]]

找出一个多项式系统有解的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, a x ^ 2 + b y ^ 2 == 1 && b x - a y == 2 && x ≠ y]]

找出一个量化多项式公式为真的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[c, Exists[x, a x ^ 2 + b x + c == 0]]]

实域 (18)

决定一个单变量多项式方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 7 + 3 x - 11 == 0], Reals]

决定一个单变量多项式不等式解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 4 + 3 x + 11 ≤ 0], Reals]

决定一个多元多项式系统解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 11 && x ^ 3 - y ^ 2 == 2 && x y > 3], Reals]

决定完全量化的多项式公式的真值：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, c}, Exists[x, a x ^ 2 + b x + c ≥ 0]], Reals]

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{b, c}, Exists[x, x ^ 2 + b x + c ≥ 0]], Reals]

决定一个指数-对数方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, Exp[x] - 2x Log[x] + 3x ^ x == 4], Reals]

决定一个指数-对数不等式解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ Sqrt[Pi] - 2Log[1 / (x ^ 2 + 1)] + E ^ x < 1], Reals]

决定一个初等函数方程在有界区间内解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, -1 < x < 1, Sin[Sin[Sin[x]]] - x == 1 / 7], Reals]

决定一个全纯函数方程在有界区间内解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, 1 < x < 2, Gamma[x] - BesselJ[2, x] == x + 1], Reals]

决定一个周期初等函数方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, Exp[Sin[x]] - Sin[3 Cos[x]] == Tan[x]], Reals]

对第一个变量是指数-对数函数，其他变量是多项式的完全量化的公式：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, ForAll[y, E ^ x y ^ 3 + Log[x]y == 1 && x y + E ^ x / x ≥ 2]], Reals]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, y ^ 2 E ^ E ^ x - y E ^ x - x == 1], Reals]

对第一变量为初等函数且有界的完全量化公式：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[x, -1 < x < 0, Exists[y, Sin[x - Cos[x]] y ^ 3 - x == 1]], Reals]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, Sin[x - Exp[x]] y ^ 3 - x == 2 && x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 1], Reals]

对第一变量为全纯函数且有界的完全量化的公式：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[x, -1 < x < 1, Exists[y, y ^ 3 - BesselJ[2, x + 2] y - y - 3 x == -2]], Reals]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, 1 < x < 2 && Gamma[x] y ^ 2 - x == -5], Reals]

找到线性系统有解的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, a x + b y ≥ 1 && (a ^ 2 - b)x - (a - b ^ 2)y == 2], Reals]

找到一个二次系统有解的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, a x ^ 2 + b x + c ≥ 0 && c x ^ 2 + a ^ 3 - b ^ 3 == 2], Reals]

找到一个多项式系统有解的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, a x ^ 4 + b y ^ 4 == 1 && x - a y ^ 3 ≥ 2], Reals]

找到一个对量化的变量线性的公式为真的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[c, Exists[{x, y}, a x + b y + c == 0 && c x + a y ≥ b]], Reals]

找到一个对量化的变量为二次形的公式为真的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[c, c ^ 2 < a ^ 2 - b ^ 3, Exists[x, a x ^ 2 + b x + c == 0]], Reals]

找到一个量化的多项式公式为真的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[y, Exists[x, (a ^ 2 - 1)x y - (2 a - 1) y ^ 4 + a ^ 3 ≥ 2]], Reals]

整数域 (10)

决定一个线性方程组解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z}, 2 x + 3y - 5z == 1 && 3x - 4y + 7z == 3], Integers]

决定一个线性方程和不等式系统解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z}, 2 x + 3y == 4 && 3x - 4y ≤ 5 && x - 2y > -21], Integers]

决定一个单变量多项式方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 1000 - 2x ^ 777 + 1 == 0], Integers]

决定一个单变量多项式不等式解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 5 - 2x + 1 < 0], Integers]

决定Frobenius方程解的存在性：

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[{x, y, z, t}, 1221x + 3434y + 5566z + 8778t == 90909 && x ≥ 0 && y ≥ 0 && z ≥ 0 && t ≥ 0], Integers]

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[{x, y, z, t}, 1221x + 3434y + 5566z + 8778t == 909090 && x ≥ 0 && y ≥ 0 && z ≥ 0 && t ≥ 0], Integers]

决定二元二次方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 + x y + y ^ 2 == 107], Integers]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 - 3y ^ 2 == 22 && x > 0 && y > 0], Integers]

决定Thue方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 3 - 2x ^ 2 y + y ^ 3 == 2], Integers]

决定一个平方和方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z, t}, x ^ 2 + 4y ^ 2 + 9z ^ 2 + 16t ^ 2 == 354], Integers]

决定一个方程和不等式的有界系统解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z}, x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 ≤ 500 && x + y ^ 2 + z ^ 3 == 32], Integers]

决定一个同余系统解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, Mod[x ^ 2 + y ^ 2, 2] == 1 && Mod[x - 2y, 3] == 2], Integers]

布尔域 (2)

决定布尔公式是否被满足：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{a, b, c, d}, Xor[a, b, c, d] && (a || b) && (c || d)], Booleans]

找到一个量化布尔公式为真的：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[a, ForAll[b, Nand[a, b, c, d] && (a || b) && (c || d)]], Booleans]

有限域 (5)

判定一元方程的解是否存在：

Wolfram Language code:

ℱ = FiniteField[53, 4];
Resolve[Exists[x, x ^ 5 + ℱ[123]x == ℱ[234]]]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 9 + 2 x + 3 == 0], ℱ]

验证域中的所有元素都满足一元方程：

Wolfram Language code:

ℱ = FiniteField[3, 2];
Resolve[ForAll[x, x ^ 8 == x], ℱ]

判定线性方程组的解是否存在：

Wolfram Language code:

ℱ = FiniteField[71, 2];
Resolve[Exists[{x, y}, ℱ[123]x + ℱ[234]y == ℱ[345] && ℱ[321]x + ℱ[432]y == ℱ[543]]]

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[{x, y, z}, ℱ[1234]x + ℱ[2345]y + ℱ[3456]z == ℱ[4567] && ℱ[1]x + ℱ[2]y + ℱ[3]z == ℱ[4] && ℱ[2471]x + ℱ[4696]y + ℱ[1809]z == ℱ[123]]]

判定多项式方程组的解是否存在：

Wolfram Language code:

ℱ = FiniteField[7, 5];
Resolve[Exists[{x, y, z}, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 == 21], ℱ]

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z}, ℱ[321]x ^ 3 + ℱ[432]y ^ 3 + ℱ[543]z ^ 3 == ℱ[654] && x ^ 2 == ℱ[333]y z + ℱ[111]]]

消除 quantifier：

Wolfram Language code:

ℱ = FiniteField[2, 5];
Resolve[Exists[z, ℱ[1]x + ℱ[3]y + ℱ[5]z == ℱ[7] && ℱ[21]x + ℱ[23]y + ℱ[25]z == ℱ[27]]]

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[{y, z}, ℱ[1]x ^ 2 + ℱ[2]y ^ 3 + ℱ[3]z ^ 4 == ℱ[4] && ℱ[5]x ^ 4 + ℱ[6]y ^ 3 + ℱ[7]z ^ 2 == ℱ[8] && x y z != ℱ[0]]]

混合域 (3)

决定一个含有实变量和复变量的方程解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, Element[x, Reals], x ^ 2 + y ^ 2 == -1]]

决定一个含有 Abs[x] 的不等式解的存在性：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, Abs[x] ^ 2 - 3Abs[x] < 1]]

找到一个复数的四次幂是实数的条件：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, Element[x, Reals], y ^ 4 == x]]

几何区域 (8)

测试 :

Wolfram Language code:

Subscript[ℛ, 1] = Rectangle[];
Subscript[ℛ, 2] = Disk[{0, 0}, 2];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y}, {x, y}∈Subscript[ℛ, 1]]{x, y}∈Subscript[ℛ, 2], Reals]

获取的条件:

Wolfram Language code:

Subscript[ℛ, 1] = Rectangle[];
Subscript[ℛ, 2] = Disk[{0, 0}, r];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y}, {x, y}∈Subscript[ℛ, 1]]{x, y}∈Subscript[ℛ, 2], Reals]

把圆锥投影到 - 平面：

Wolfram Language code: ℛ = Cone[{{3, 2, 1}, {1, 2, 3}}, 1];

Wolfram Language code: Resolve[Exists[z, {x, y, z}∈ℛ], Reals]

绘制图线：

Wolfram Language code: RegionPlot[%, {x, 0, 4}, {y, 0, 4}]

隐式定义的区域：

Wolfram Language code: ℛ = ImplicitRegion[a + 2 b - 3 c ≥ 1 && a b c == 7, {a, b, c}];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, z, {x, y, z}∈ℛ]x^2 + y z == 1, Reals]

参数化定义的区域：

Wolfram Language code: ℛ = ParametricRegion[{s^2, t^2, s t}, {s, t}];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, {y, z}](x^2 + y^2 + z^2 == 1 && {x, y, z}∈ℛ), Reals]

导出区域：

Wolfram Language code: ℛ = RegionIntersection[Ball[{0, 0, 0}, 2], Ball[{1, 1, 1}, 2]];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, z]{x, y, z}∈ℛ, Reals]

绘制图线：

Wolfram Language code: RegionPlot[%, {x, -2, 3}, {y, -2, 3}]

区域依赖于参数：

Wolfram Language code:

Subscript[ℛ, 1] = InfiniteLine[{{2, 0}, {0, t}}];
Subscript[ℛ, 2] = Circle[];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, {x, y}, {x, y}∈Subscript[ℛ, 1]]{x, y}∈Subscript[ℛ, 2], Reals]

的条件表明线与圆相交：

Wolfram Language code: Graphics[{Table[{If[%, Green, Red], Subscript[ℛ, 1]}, {t, -2, 2, 0.5}], {Blue, Subscript[ℛ, 2]}}]

的条件：

Wolfram Language code:

Subscript[ℛ, 1] = Disk[{a, b}];
Subscript[ℛ, 2] = Triangle[{{0, 0}, {0, 5}, {7, 0}}];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y}, {x, y}∈Subscript[ℛ, 1]]{x, y}∈Subscript[ℛ, 2], Reals]

条件告诉我们何时 :

Wolfram Language code:

Graphics[{{Blue, Subscript[ℛ, 2]}, Table[If[%, {Opacity[0.8], Green, Subscript[ℛ, 1]}, {Opacity[0.2], Red, Subscript[ℛ, 1]}], {a, 0, 6}, {b, 0, 4}]}]

向量变量：

Wolfram Language code:

Subscript[ℛ, 1] = Sphere[];
Subscript[ℛ, 2] = InfinitePlane[{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, x, x∈Subscript[ℛ, 1]](y∈Subscript[ℛ, 2] && x.y == 1), Reals]

选项 (5)

Backsubstitution (1)

这里，x 的解是以y 的形式表示的：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[z, x y + z ^ 4 - z == 1 && x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 3 == 10 && a(x ^ 2 - x y + y) ^ 2 ≤ 0 && a > 0], Reals]

设置 Backsubstitution->True 后， Resolve 给出 x 的明确数值值：

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[z, x y + z ^ 4 - z == 1 && x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 3 == 10 && a(x ^ 2 - x y + y) ^ 2 ≤ 0 && a > 0], Reals, Backsubstitution -> True]

Cubics (1)

默认情况下，Resolve 不使用以根式表示的三次方程通解公式：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x > a && x ^ 3 + x + 1 == 0], Reals]

设置 Cubics->True 后，Resolve 以根式的形式表示三次方程的根：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x > a && x ^ 3 + x + 1 == 0], Reals, Cubics -> True]

Method (1)

下面在本地设置 "InequalitySolvingOptions" 和 "ReduceOptions" 中的系统选项：

Wolfram Language code:

Resolve[Subscript[∃, x](a x^2 + b x + c) (c x^2 + b x + a) <= 0, Reals, Method -> {"QuadraticQE" -> False}]//AbsoluteTiming

默认情况下，Resolve 在此处使用了虚拟代入算法的二次情况：

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∃, x](a x^2 + b x + c) (c x^2 + b x + a) <= 0, Reals]//AbsoluteTiming

Quartics (1)

默认情况下， Resolve 不使用以根式表示的四次方程通解公式：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x > a && x ^ 4 + x - 9 == 0], Reals]

设置 Quartics->True 后，Resolve 以根式的形式表示四次方程的根：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x > a && x ^ 4 + x - 9 == 0], Reals, Quartics -> True]

WorkingPrecision (1)

由于含有高次代数数，下面的计算需要很长的时间：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y, z}, x ^ 8 + 2y ^ 8 + 3z ^ 8 ≤ 1 && x ^ 3 - 9y ^ 3 + 7z ^ 3 - x y z ≥ 10], Reals]//Timing

设置 WorkingPrecision->100 ，我们更快地得到答案，但它有可能不正确：

Wolfram Language code:

Resolve[Exists[{x, y, z}, x ^ 8 + 2y ^ 8 + 3z ^ 8  ≤ 1 && x ^ 3 - 9y ^ 3 + 7z ^ 3 ≥ 10], Reals, WorkingPrecision -> 100]//Timing

应用 (9)

多项式 (2)

求五次方程的所有根都相等的条件：

Wolfram Language code: f[x_] := x ^ 5 + a x ^ 4 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x + e

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, f[x] == 0, ForAll[y, f[y] == 0, x == y]]]

求二次式恒为正的条件：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[x, a x ^ 2 + b x + c > 0], Reals]

定理证明 (3)

证明算术平均值与几何平均值的不等关系：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b}, a > 0 && b > 0, (a + b) / 2 ≥ Sqrt[a b]], Reals]

证明赫尔德不等式的特殊情况：

Wolfram Language code:

Resolve[ForAll[{a, b, c, d}, a > 0 && b > 0 && c > 0 && d > 0, a c + b d ≤ Sqrt[a ^ 2 + b ^ 2]Sqrt[c ^ 2 + d ^ 2]], Reals]

证明闵可夫斯基不等式的特殊情况：

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{a, b, c, d}, Sqrt[(a + c) ^ 2 + (b + d) ^ 2] ≤ Sqrt[a ^ 2 + b ^ 2] + Sqrt[c ^ 2 + d ^ 2]], Reals]

几何 (4)

区域是的子集，如果为真，则 . 证明 Disk[{0,0},{2,1}] 是 Rectangle[{-2,-1},{2,1}]的子集:

Wolfram Language code:

ℛ = Disk[{0, 0}, {2, 1}];
𝒮 = Rectangle[{-2, -1}, {2, 1}];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y}]{x, y}∈ℛ{x, y}∈𝒮, Reals]

绘制图形：

Wolfram Language code: Graphics[{{StandardBlue, EdgeForm[Thick], 𝒮}, {StandardYellow, EdgeForm[Thick], ℛ}}]

表明 Cylinder[]⊆Ball[{0,0,0},2]:

Wolfram Language code:

ℛ = Cylinder[];
𝒮 = Ball[{0, 0, 0}, 2];

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y, z}]{x, y, z}∈ℛ{x, y, z}∈𝒮, Reals]

绘制图形：

Wolfram Language code: Graphics3D[{{Opacity[0.3], 𝒮}, {LightBlue, EdgeForm[Gray], ℛ}}]

如果，则区域与不相交. 证明 Circle[{0,0},2] 与 Disk[{0,0},1] 不相交：

Wolfram Language code:

ℛ = Circle[{0, 0}, 2];
𝒮 = Disk[{0, 0}, 1];

在交集中无点，所以它们是不相交的：

Wolfram Language code: With[{p = {x, y}}, Resolve[Subscript[∃, p](p∈ℛ∧p∈𝒮), Reals]]

绘制图形：

Wolfram Language code: Graphics[{{StandardBlue, EdgeForm[Thick], 𝒮}, {Thick, ℛ}}]

如果，区域与相交. 证明 Circle[{0,0},1] 与Disk[{1/2,0},1] 相交：

Wolfram Language code:

ℛ = Circle[{0, 0}, 1];
𝒮 = Disk[{1 / 2, 0}, 1];

在交集中有点：

Wolfram Language code: With[{p = {x, y}}, Resolve[Subscript[∃, p](p∈ℛ∧p∈𝒮), Reals]]

绘制图形：

Wolfram Language code: Graphics[{{StandardBlue, EdgeForm[Thick], 𝒮}, {Thick, ℛ}}]

属性和关系 (5)

对于完全量化的方程和不等式系统， Resolve 和 Reduce 是等价的：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[{x, y}, x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 3 && x ^ 3 - y ^ 2 == 1]]

Wolfram Language code: Reduce[Exists[{x, y}, x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 3 && x ^ 3 - y ^ 2 == 1]]

可以用 FindInstance 求得一个解的实例：

Wolfram Language code: FindInstance[x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 3 && x ^ 3 - y ^ 2 == 1, {x, y}]

对于含有自由变量的系统， Resolve 可能会返回一个未解的系统：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 2 - 2a x + b < 0 && 2x > a + b ^ 2 - 1], Reals]

Reduce 则消去量词并求解所得的系统：

Wolfram Language code: Reduce[Exists[x, x ^ 2 - 2a x + b < 0 && 2x > a + b ^ 2 - 1], {a, b}, Reals]

Eliminate 可用于消去复数多项式方程系统的变量：

Wolfram Language code:

eqns = x z == y && x ^ 2 + x ^ 2z ^ 2 == 1;
Eliminate[eqns, z]

Resolve 给出同样的方程，但也有可能给出不等式：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[z, eqns]]

求 TransformedRegion 的公式描述：

Wolfram Language code:

f = Evaluate[{Indexed[#, 1] Indexed[#, 2], Indexed[#, 1] + Indexed[#, 2]}]&;
Subscript[ℛ, 1] = Disk[{0, 0}];
Subscript[ℛ, 2] = TransformedRegion[Subscript[ℛ, 1], f]

Wolfram Language code: Subscript[c, 1] = Resolve[Exists[{u, v}, {u, v}∈Subscript[ℛ, 1], And@@Thread[{x, y} == f[{u, v}]]], Reals]

使用 RegionMember，计算的公式描述：

Wolfram Language code: Subscript[c, 2] = RegionMember[Subscript[ℛ, 2], {x, y}]

检查定理是等价的：

Wolfram Language code: Resolve[Subscript[∀, {x, y}](Subscript[c, 1]⧦Subscript[c, 2]), Reals]

Resolve 证明多项式非负：

Wolfram Language code: f = x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3 z ^ 2 - x y - x z - y z;

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{x, y, z}, f >= 0], Reals]

有 PolynomialSumOfSquaresList 将表示为平方和：

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[f, {x, y, z}]

Wolfram Language code: f - %.%//Expand

Motzkin 多项式非负，但不可表示为平方和：

Wolfram Language code: m = x ^ 4 y ^ 2 + x ^ 2 y ^ 4 - 3 x ^ 2 y ^ 2 + 1;

Wolfram Language code: Resolve[ForAll[{x, y}, m >= 0], Reals]

Wolfram Language code: PolynomialSumOfSquaresList[m, {x, y}]

可能存在的问题 (1)

因为 x 出现在不等式中，所以它被假定为实数：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 2 < -1]]

下面的情形允许 x 取使不等式的两边都是实数得复数值：

Wolfram Language code: Resolve[Exists[x, x ^ 2 < -1], Complexes]

Top

	lhs==rhs	方程
	lhs!=rhs	不等式
	lhs>rhs 或者 lhs>=rhs	不等式
	expr∈dom	域指定
	{x,y,…}∈reg	区域指定
	ForAll[x,cond,expr]	通用量词
	Exists[x,cond,expr]	存在量词

Resolve

更多信息和选项

范例

基本范例 (4)

范围 (52)

复域 (6)

实域 (18)

整数域 (10)

布尔域 (2)

有限域 (5)

混合域 (3)

几何区域 (8)

选项 (5)

Backsubstitution (1)

Cubics (1)

Method (1)

Quartics (1)

WorkingPrecision (1)

应用 (9)

多项式 (2)

定理证明 (3)

几何 (4)

属性和关系 (5)

可能存在的问题 (1)

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