求实机器数矩阵的行约化：

行约化复机器数矩阵：

行约化任意精度的矩阵：

行约化一个精确矩阵：

符号矩阵的行约化：

RowReduce 假设所有符号都是独立的：

方形矩阵的行约化：

高效计算大型数值矩阵的行约化：

对含有有限域元素的矩阵进行行约化：

稀疏矩阵的行约化：

结构化矩阵的行约化：

RowReduce 不改变单位矩阵：

Hilbert 矩阵的行约化：

计算次数为 的单变量多项式组成的 矩阵的行约化：

m 是一个 3×3 的 0 到 4 之间的整数矩阵：

用普通运算对 m 进行行约化：

用模 5 的算法对 m 进行行约化：

m 是一个病态矩阵：

在精确运算中，m 显然非退化：

在机器精度运算中，太小的元素被默认为是零：

使用零容差时，即使很小的项也被考虑在内：

对一个增广矩阵，您可以看到解的分量可能会被放大多少：

默认情况下，符号表达式被认为是非零的：

这种情况下，RowReduce 忽略了产生奇异矩阵的特殊情况 ：

编写一个函数来测试一个表达式是否可能为零：

将 test[k] 作为 ZeroTest 的值传递，以获得更符号式的约化：

这里覆盖了 的特殊情况，但给出的是 取其他值时的非约化矩阵：

以下三个向量不是线性独立的：

行约化形式有一行为零：

以下三个向量是线性独立的：

因此行约化形式是单位矩阵：

确定以下向量是否线性无关：

因为 没有约化为单位矩阵，所以它们不是线性无关的：

求以下矩阵的列空间的维数：

由于行约化后的形式是单位矩阵，因此列空间的维数等于列数：

求由以下向量生成的子空间的维数：

由于行约化后的形式有三个非零行，因此即是子空间的维数：

确定以下方程组是否有唯一解：

将方程组改写为矩阵形式：

系数矩阵 约化为单位矩阵，因此方程组有唯一解：r

用 Solve 验证结果：

使用行约化求解方程组 ，其中 是一个矩阵， 是一个向量：

形成一个增广矩阵 ：

对增广矩阵进行行约化：

最后一列即是 的解：

给出另一个右侧的向量，求解：

因为最后一列有一个 1，所以 无解；用 Solve 确认：

求以下方程组的所有解：

首先写出系数矩阵 ，变量向量 和常向量 ：

验证重写后的式子：

对增广矩阵 进行约化以求出一个解：

提取最后一列，即为一个解：

由于有一行为零，因此零空间非空. 对增广矩阵 进行行约化：

最后一行的后半部分是零空间的一个元素：

通解为 与 的任意倍数的和：

确定以下矩阵是否有逆矩阵：

它没有约化为单位矩阵，因此它是不可逆的：

用 Inverse 验证结果：

确定以下矩阵是否有非零行列式：

因为可约化为单位矩阵，所以它的行列式一定非零：

用 Det 确认结果：

如果 没有约化为单位矩阵，则 是 的特征值. 如果矩阵的特征值的重数大于行约化形式中的零行的数量，则该矩阵是亏损矩阵. 证明 是以下矩阵 的特征值：

用 Eigenvalues 确认结果：

矩阵 是亏损矩阵，因为 2 出现了两次，但行约化形式只有一行为零：

用 Eigensystem 确认结果，用零填充特征向量表明了亏损：

用行约化求以下矩阵的逆：

先形成增广矩阵 ：

对增广矩阵进行行约化：

的前三列为单位矩阵：

最后三列是 的逆：

估计用 Inverse 验证结果：

估计随机 10×10 0–1 矩阵可逆的部分：