Sec

Sec[z]

z の正割を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
Secの引数は，ラジアンで与えられることを前提とする（Degreeで掛け合せることで度数への変換ができる）．
1/Cos[z]は自動的にSec[z]に変換される．TrigFactorList[expr]は分割を行う．
特別な引数の場合，Secは自動的に厳密値を計算する．
Secは任意の数値精度で評価できる．
Secは自動的にりストに縫い込まれる． »
SecはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

予備知識

Secは，三角法で出会う基本関数の1つの正割関数である．これは，余弦関数の逆関数として定義され，実数について，を単位円の外周に沿って軸から反時計回りにラジアン角として測ることで定義される．Sec[x]は，したがって，弧長の端点の水平座標の逆数を与える．直角三角形における角の正割についての，学校教科書での同等の定義は，の隣接辺の長さと斜辺の長さの比である．
Secは，その引数がの単純な有理倍数のときは，自動的に厳密値に評価される．より複雑な有理倍数については，FunctionExpandを使って明示的な厳密値を得ることができることがある．TrigFactorListを使ってSecを含む式をSinおよびCosを含む項に因子分解することができる．度で測られた角を使って引数を指定するときは，記号Degreeを乗数として使うことができる（例：Sec[30 Degree]）．厳密な数式が引数として与えられら場合は，Secを任意の数値精度で評価できるかもしれない．Secを含む記号式の役に立つ操作には，TrigToExp，TrigExpand，Simplify，FullSimplify等がある．
Secは要素単位でリストおよび行列に縫い込まれる．対照的に，MatrixFunctionを使って，平方行列の正割（つまり，通常のベキが行列のベキで置き換えられた正割関数のベキ級数）を与えることができる．
Secは，FunctionPeriodにあるように，を周期として周期的である．Secは，恒等式を満足する．これは，ピタゴラスの定理に等しい．正割関数の定義は，定義を使って複素引数にまで拡張することができる．ただし，は自然対数の底である．Secは整数についてに極を持ち，これらの点で評価するとComplexInfinityになる．Sec[z]は，原点付近で級数展開 $sum_(k=0)^infty((-1)^k TemplateBox[{{2, , k}}, EulerE])/((2 k)!)z^(2 k)$ を持つ．これはオイラー(Euler)数EulerEによって表すことができる．
Secの逆関数はArcSecである．双曲線正割はSechで与えられる．他の関連する数学関数にはCos，Csc等がある．

例題

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例 (7)

引数はラジアンで与えられる：

Wolfram Language code: Sec[Pi / 6]

Degreeを使って引数を度で与える：

Wolfram Language code: Sec[30Degree]

数値的に評価する：

Wolfram Language code: Sec[1.2]

実数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Sec[x], {x, 0, 2Pi}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[Sec[z], {z, -π - I, π + I}, PlotLegends -> Automatic]

0における級数展開：

Wolfram Language code: Series[Sec[x], {x, 0, 10}]

特異点における漸近展開：

Wolfram Language code: Series[Sec[x], {x, 3 π / 2, 5}]

スコープ (47)

数値評価 (5)

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[Sec[12 / 10], 50]

出力の精度は入力の精度に従う：

Wolfram Language code: Sec[1.20000000000000000000000]

複素引数について評価する：

Wolfram Language code: Sec[2.5 + I]

Secを高精度で効率よく評価する：

Wolfram Language code: Sec[1.2`500]//Timing

Wolfram Language code: Sec[1.2`100000];//Timing

自動縫込みを使って配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: Sec[ {{5π / 6, 0}, {π / 6, -π / 4}}]

MatrixFunctionを使って行列のSec関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[Sec[#]&, {{5π / 6, 0}, {π / 6, -π / 4}}]

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: Sec[Interval[{Pi / 6, Pi / 3}]]

Wolfram Language code: Sec[CenteredInterval[1, 1 / 100]]

Wolfram Language code: Sec[CenteredInterval[1 + 2I, (1 + I) / 100]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: Sec[Around[2, 0.01]]

特定の値 (6)

固定点におけるSecの値：

Wolfram Language code: Table[Sec[n (π/6)], {n, -2, 2}]

無限大における値：

Wolfram Language code: Sec[Infinity]

Wolfram Language code: Sec[ComplexInfinity]

Secの特異点：

Wolfram Language code: Assuming[m∈Integers, Refine[Sec[π ((1/2) + m)]]]

Secの極値：

Wolfram Language code: Assuming[m∈Integers, FullSimplify[Refine[Sec[π m]]]]

Secの極小値をの根として求める：

Wolfram Language code: sol = Solve[D[Sec[x], x] == 0 && -(π/2) < x < (π/2), x]

結果を代入する：

Wolfram Language code: xmin = x /. First[sol]

結果を可視化する：

Wolfram Language code: Plot[Sec[x], {x, -π / 2, π / 2}, Epilog -> Style[Point[{xmin, Sec[xmin]}], PointSize[Large], Red]]

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: Sec[Pi / 5]

より複雑な場合にはFunctionExpandを明示的に使う必要がある：

Wolfram Language code: Sec[Pi / 30]

Wolfram Language code: FunctionExpand[%]

可視化 (3)

Sec関数のプロット：

Wolfram Language code: Plot[Sec[x], {x, 0, 4π}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[Sec[z]], {z, -2π - π I, 2π + π I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[Sec[z]], {z, -2π - π I, 2π + π I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の極プロット：

Wolfram Language code:

Table[PolarPlot[Sec[k ϕ], {ϕ, -π, π}, Frame -> True, Exclusions -> All, PlotLabel -> "k=" <> ToString[k], PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}], {k, 1, 6}]

関数の特性 (13)

Secの実領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Sec[x], x]

複素領域：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Sec[z], z, Complexes]

Secは開区間を除くすべての実数値に達する：

Wolfram Language code: FunctionRange[Sec[x], x, y]

Secはを周期とする周期関数である：

Wolfram Language code: FunctionPeriod[Sec[x], x]

Secは偶関数である：

Wolfram Language code: Sec[-x]

Secは鏡特性を有する：

Wolfram Language code: FullSimplify[Sec[Conjugate[z]] == Conjugate[Sec[z]]]

Secは解析関数ではない：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Sec[x], x]

しかし，有理型ではある：

Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[Sec[x], x]

Secは特定の値域で単調である：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[Sec[x], x]

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Sec[x], 0 < x < π / 2}, x]

Secは単射ではない：

Wolfram Language code: FunctionInjective[Sec[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{Sec[x], 2}, {x, -2π, 2π}]

Secは全射ではない：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Sec[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{Sec[x], .5}, {x, -2π, 2π}]

Secは非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[Sec[x], x]

x が π/2の倍数のとき，特異点と不連続点の両方を持つ：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[Sec[x], x]

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[Sec[x], x]

凸でも凹でもない：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[Sec[x], x]

[-1.5,1.5]において x について凸である：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[{Sec[x], -1.5 < x < 1.5}, x]

Wolfram Language code: Plot[Sec[x], {x, -1.5, 1.5}]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: Sec[z]//TraditionalForm

微分 (3)

一次導関数：

Wolfram Language code: D[Sec[x], x]

高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[Sec[x], {x, n}], {n, 1, 4}]

Wolfram Language code:

Plot[Evaluate[%], {x, -π, π}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative", "Fourth Derivative"}]

次導関数の式：

Wolfram Language code: D[Sec[x], {x, n}]

積分 (3)

Secの不定積分：

Wolfram Language code: Integrate[Sec[x], x]

周期上のSecの定積分は0である：

Wolfram Language code: Integrate[Sec[x], {x, -π, π}, PrincipalValue -> True]

その他の積分例：

Wolfram Language code: Integrate[Sec[x]Sin[x], x]

Wolfram Language code: Integrate[Sec[z] ^ a, z]

級数展開 (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[Sec[x], {x, 0, 8}]

の周りのSecの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code:

terms = Normal@Table[Series[Sec[x], {x, 0, m}], {m, 2, 6, 2}];
Plot[{Sec[x], terms}, {x, -π / 2, π / 2}, PlotRange -> {0, 4}]

Secの級数展開における一般項：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[Sec[x], {x, 0, n}]

Secのフーリエ級数：

Wolfram Language code: FourierSeries[Sec[x], x, 1]

Secはベキ級数に適用できる：

Wolfram Language code: Sec[(π/2) + x + (x^2/2) + (x^3/3) + O[x]^4]

関数の恒等式と簡約 (6)

倍角のSec：

Wolfram Language code: Expand[Sec[2x] , Trig -> True]

総和のSec：

Wolfram Language code: Expand[Sec[x + y] , Trig -> True]

マルチアングルの式を変換する：

Wolfram Language code: TrigExpand[Sec[4x]]

Wolfram Language code: TrigReduce[%]

三角関数の和を積に変換する：

Wolfram Language code: TrigFactor[Sec[x] + Sec[y]]

実変数およびを想定して展開する：

Wolfram Language code: ComplexExpand[Sec[x + I y]]

複素指数を変換する：

Wolfram Language code: TrigToExp[Sec[z]]

関数表現 (4)

Sinを介した表現：

Wolfram Language code: Simplify[1 / Sin[(Pi/2) - x]]

ベッセル(Bessel)関数を介した表現：

Wolfram Language code: Simplify[1 / Sqrt[( π x/2)] / BesselJ[-(1/2), x]]

Wolfram Language code: Simplify[1 / Sqrt[( π I x/2)] / BesselI[-(1/2), I x]]

SphericalHarmonicYを介した表現：

Wolfram Language code: Simplify[Sqrt[3 / (4 π)] / SphericalHarmonicY[1, 0, θ, 0]]

MeijerGによる表現：

Wolfram Language code: 1 / MeijerGReduce[Cos[x], x]

Wolfram Language code: Activate[%]

アプリケーション (4)

極を除いてプロットを生成する：

Wolfram Language code: Plot[Sec[x], {x, 0, 2Pi}, Exclusions -> Cos[x] == 0]

複素引数平面上にプロットを生成する：

Wolfram Language code: Plot3D[Re[Sec[x + I y]], {x, 0, 2Pi}, {y, -1, 1}]

微分方程式を解く：

Wolfram Language code: DSolve[y''[x]y[x] - 2y'[x]^2 - y[x]^2 == 0, y[x], x]

被捕食動物が線に沿って捕食動物の半分の速さで移動する参照フレーム内の追跡曲線：

Wolfram Language code: s = DSolve[{ℓ'[ϕ] == ℓ[ϕ] (Sin[ϕ] + 2) / Cos[ϕ], ℓ[0] == 2}, ℓ[ϕ], ϕ]//FullSimplify

Wolfram Language code: PolarPlot[Evaluate[ℓ[ϕ] /. s], {ϕ, -π / 4, π / 4}, AspectRatio -> 1]

特性と関係 (11)

割線関数の基本的なパリティと周期性の性質は自動的に適用される：

Wolfram Language code: Sec[x + Pi]

Wolfram Language code: Sec[-x]

Wolfram Language code: Sec[I x]

Wolfram Language code: 1 / Sec[x]

TrigFactorListを用いてSecをSinとCosに因数分解する：

Wolfram Language code: 1 / Cos[x]

Wolfram Language code: TrigFactorList[Sec[x]]

三角関数を含む複雑な式は自動的には簡約されない：

Wolfram Language code: Sec[z - π / 3] Sec[π / 3 + z] + Sec[z - π / 3] Sec[z] + Sec[z] Sec[π / 3 + z]

Wolfram Language code: Simplify[%]

Wolfram Language code: Sec[Conjugate[z]] - Conjugate[Sec[z]]

Wolfram Language code: FullSimplify[%]

追加的な仮定の下で評価する：

Wolfram Language code: Sec[-x + k Pi]

Wolfram Language code: Refine[%, k∈Integers]

逆関数を用いた構築物：

Wolfram Language code: {Sec[ArcSec[z]], Sec[2ArcSec[z]], Sec[3ArcSec[z]]}

Wolfram Language code: FunctionExpand[%]//Together

1ラジアンは度である：

Wolfram Language code: Sec[1] == SecDegrees[180 / π]//Simplify

三角方程式を解く：

Wolfram Language code: Reduce[Sec[z]^2 - Sec[z + Pi / 4] == 1, z]

ゼロと極について解く：

Wolfram Language code: Reduce[Sec[α x + β] == 0, x]

Wolfram Language code: Reduce[1 / Sec[α x + β] == 0, x]

超越方程式を数値的に解く：

Wolfram Language code: FindRoot[Sec[z]^2 + 3 Sec[z + Pi / 6] + z == 4, {z, 2}]

Secは多くの数学関数の特殊形として自動的に返される：

Wolfram Language code:

{1 / BesselJ[-(1/2), z], 1 / MathieuC[1, 0, z], JacobiDC[z, 0], JacobiNC[z, 0], 1 / HypergeometricPFQ[{}, {(1/2)}, -(z^2/4)], 1 / MeijerG[{{}, {}}, {{-(1/2)}, {0}}, (z^2/4)]}

剰余を記号的・数値的に計算する：

Wolfram Language code: Table[Residue[Sec[z]^k, {z, (π/2)}], {k, 10}]

Wolfram Language code: (1/2π I)NIntegrate[Sec[z], {z, (π/2) - (1/4), (π/2) - (I/4), (π/2) + (1/4), (π/2) + (I/4), (π/2) - (1/4)}]

考えられる問題 (5)

機械精度の入力では正解を出すのに不十分である：

Wolfram Language code: Sec[10. ^ 32]

厳密な入力を使うと，正しい答が得られる：

Wolfram Language code: N[Sec[10 ^ 30], 32]

$MaxExtraPrecisionの設定値を大きくする必要がある：

Wolfram Language code: N[Sec[10 ^ 100], 20]//Quiet

Wolfram Language code: Block[{$MaxExtraPrecision = 1000}, N[Sec[10 ^ 100], 20]]

引数の虚部が大きすぎると，結果の数字はコンピュータでは表示されない：

Wolfram Language code: N[Sec[10000000000000000 I], 20]//Quiet

出力精度は入力精度よりもはるかに低くあるいは高くなることがある：

Wolfram Language code: Sec[1.5707963267948966192213216916397514421]

Wolfram Language code: Sec[2 1.5707963267948966192213216916397514421]

TraditionalFormでは引数の周りにカッコが必要である：

Wolfram Language code: sec x

Wolfram Language code: sec(x)

おもしろい例題 (6)

いろいろな積分を計算する：

Wolfram Language code: Integrate[Sec[x], x]

Wolfram Language code: ∫Sin[b z] Sec[c z]ⅆz

Wolfram Language code: ∫z^2 E^b zSec[a z]ⅆz

正割の積を計算する：

Wolfram Language code: Underoverscript[∏, k = 1, n - 1] Sec[z + (k π/n)]

整数点でSecをプロットする：

Wolfram Language code: ArrayPlot[Table[ArcTan[Abs[Sec[x y]]], {x, -20, 20}, {y, -20, 20}]]

ネストした根基表現を与える：

Wolfram Language code: Sec[(π/2^12)]//FunctionExpand

積分と和からSec関数を生成する：

Wolfram Language code: π Underoverscript[∑, k = 0, ∞]((-1)^k (2 k + 1)/(k + (1/2))^2 π^2 - z^2) // Simplify

Wolfram Language code: (2/π) Integrate[(t^(2 z/π)/t^2 + 1), {t, 0, ∞}, Assumptions -> π + 2 Re[z] > 0 && 2 Re[z] < π]

Sec[n]は非零の整数 n において超越数である：

Wolfram Language code: Element[Sec[1], Algebraics]

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