求机器精度矩阵的奇异值分解：

格式化结果：

复矩阵的奇异值分解：

精确矩阵的奇异值分解：

任意精度矩阵的奇异值分解：

符号矩阵的奇异值分解：

高效计算大型数值矩阵的奇异值分解：

非方阵的奇异值分解：

求与矩阵的三个最大奇异值相关的奇异值分解：

与完全分解不同，这些矩阵不会精确地重新创建矩阵的任何部分：

求与三个最小奇异值相关的奇异值分解：

求与非零奇异值相关的 "compact" 分解：

这种分解仍然有足够的信息来重建矩阵：

完整的奇异值分解包含一行零：

求矩形矩阵的薄分解：

矩阵是方阵：

所使用的奇异值数量等于输入矩阵维度中较小的那个：

这种分解仍然有足够的信息来重建矩阵：

完整的奇异值分解包含矩形 矩阵中全是零的行或列：

求与三个最大奇异值相关的分解，或如果数量少的话则计算与奇异值数量一样的分解：

计算具有重复奇异值矩阵的截断奇异值分解：

在进行部分分解时，单独计算重复的奇异值：

求机器精度实矩阵的广义奇异值分解：

验证结果：

求机器精度复矩阵的广义奇异值分解：

验证结果：

稀疏矩阵的奇异值分解：

求与三个最大奇异值相关的分解：

可视化三个右奇异向量：

结构化矩阵的奇异值分解：

使用不同结构：

带有单位的奇异值：

单位矩阵的奇异值分解：

验证该分解：

和 可以选择为单位矩阵——分解并不唯一：

HilbertMatrix 的奇异值分解：

实矩形矩阵：

设 TargetStructure->"Dense" 时，SingularValueDecomposition 的结果是三个稠密矩阵组成的列表：

设 TargetStructure->"Structured" 时，SingularValueDecomposition 的结果是一个列表，其中含有两个 OrthogonalMatrix 对象和一个 DiagonalMatrix：

复矩形矩阵：

设 TargetStructure->"Dense" 时，SingularValueDecomposition 的结果是三个稠密矩阵组成的列表：

设 TargetStructure->"Structured" 时，SingularValueDecomposition 的结果是一个列表，其中含有两个 UnitaryMatrix 对象和一个 DiagonalMatrix：

m 是一个接近奇异的矩阵：

在机器精度下，此矩阵实际上是奇异的：

通过减小容差，可以检测到非零奇异值：

默认容差取决于精度，因此精度 20 的小数值能够被检测到：

计算 2×2 矩阵 的奇异值分解 ：

的动作是一个旋转，并像在这种情况下可能是发生在 轴上的一个反射：

的作用是沿每个轴的扩张或压缩的缩放：

的动作是一个旋转，并且可能是——尽管在这种情况下并不是——目标空间中的反射：

计算 3×2 矩阵 的奇异值分解：

通过 矩阵在平面内旋转后， 矩阵将单位圆嵌入三维中的椭圆：

矩阵在三个维度上旋转椭圆：

计算 2×2 矩阵 的奇异值分解：

令 和 分别表示 和 的列：

为 最大化的方向，最大值为 ：

同理， 为 最小化的方向，最小值为 ：

可视化 、 和单位圆及其左侧乘以 的图像：

是 最大化的方向，最大值也是 ：

同理， 是 最小化的方向，最小值也是 ：

可视化 、 和单位圆及其右侧乘以 的图像：

计算 3×2 矩阵 的奇异值分解：

令 和 分别表示 和 的列：

为 最大化的方向，最大值为 ：

同理， 为 最小化的方向，最小值为 ：

可视化 、 和单位圆左乘 下的平面图像：

是 最大化的方向，最大值也是 ：

最小化 ，其最小值为零，因为球体在平面中被压缩为椭圆：

在约束条件 下最大化 ，最大值为 ：

可视化 、、 以及平面上单位球体右乘 下的图像：

计算 3×3 矩阵 的奇异值分解：

令 和 分别表示 和 的列：

为 最大化的方向，最大值为 ：

是 时 最大化的方向，最大值为 ：

同理， 为 最小化的方向，最小值为 ：

可视化 、、 和单位球体及其左侧乘以 下的图像：

是 最大化的方向，最大值也是 ：

是 时 最大化的方向，最大值是 ：

同理， 是 最小化的方向，最小值也是 ：

可视化 、、 和单位球体以及其在右侧乘以 下的图像：

如果线性方程组 没有解，最好的近似解是最小二乘解. 这就是 的解，其中 是 在 的列空间上的正交投影，可以使用奇异值分解来计算. 思考以下 和 ：

线性方程组无解：

求 的紧致奇异值分解的 矩阵. 它的列是正交的并且跨越 ：

计算 的正交投影 到 的列所张成的空间：

可视化 ，其 投影到 和 的列上：

求解 ：

使用 LeastSquares 验证结果：

仅使用奇异值分解求解以下 和 的最小二乘问题：

计算仅保留非零奇异值的紧凑奇异值分解：

令 ：

根据定义，，因此 ， 到 的正交投影：

因此，正如 LeastSquares 所证实的一样， 是最小二乘问题的解：

求以下 和 的最小二乘问题的两种不同方法：仅使用奇异值分解的 矩阵投影到 的列空间，以及使用完全分解的直接解求解法. 比较并解释结果：

计算下面的紧凑奇异值分解：

计算 到 的正交投影 ：

求解 ：

可以使用 找到直接解，因为 和 都是实值：

虽然 x 和 xPerp 不同，但都可求解最小二乘问题，因为 m.x==m.xPerp：

这两个解的不同之处在于 NullSpace[m] 的一个元素：

请注意，LeastSquares[m,b] 使用直接方法给出结果：

对于后面的矩阵 和 ，求一个使 最小化的矩阵 ：

有一种解决方案，仅在这种情况下，可由 给出：

使用 LeastSquares[m,b] 也可以得到这个结果：

使用 Minimize 验证答案：

SingularValueDecomposition 可用于找到数据的最佳拟合曲线. 思考下列数据：

从数据中提取 和 坐标：

构造一个设计矩阵，其列是 和 ，用于拟合直线 ：

使用奇异值分解获取线性最小二乘拟合的系数 和 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

求以下数据的最佳拟合抛物线：

从数据中提取 和 坐标：

构造一个设计矩阵，其列是 、 和 ，用于拟合直线 ：

获取最小二乘拟合的系数 、 和 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：