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Sinh

给出 z 的双曲正弦.

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
对于某些特定参数，Sinh 自动运算出精确值.
Sinh 可求任意数值精度的值.
Sinh 自动逐项作用于列表的各个元素. »
Sinh 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Sinh 是双曲正弦函数，是三角学中普遍使用的 Sin 圆函数的双曲类比. 对于实数变量它的定义如下：设是三条线轴、从原点出发的射线以及单位双曲线围成的封闭区域面积的两倍，则 Sinh[α] 表示射线与双曲线交点的纵坐标. Sinh 也可以定义为，其中是自然对数 Log 的底数.
当变量是有理数的（自然）对数时，Sinh 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Sinh 可以算出任意精度的数值结果. 对包含 Sinh 的符号表达式，适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
Sinh 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲正弦值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲正弦函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲正弦值.
当 x 趋向于时 Sinh[x] 呈指数递减而当 x 趋向于时函数呈指数递增. Sinh 和 Sin 类似，也满足勾股恒等式，即 . 双曲正弦函数的定义可由等式扩展到复数变量上. 双曲正弦函数是整函数，也就是说它在复平面的每个有限点处都是复可微的. Sinh[z] 在原点处的级数展开为 .
Sinh 的反函数是 ArcSinh. 其他相关的数学函数有 Cosh 和 Csch.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

数值运算：

在实数子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0级数展开：

范围 (47)

数值运算 (6)

数值计算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

Sinh 可以使用复数输入：

用高精度高效评估 Sinh：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Sinh 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最差情况下的区间：

或用 Around 计算普通的统计区间：

特殊值 (4)

在固定且纯虚数点的 Sinh 的值：

无穷处的值：

Sinh 的零点：

使用 Solve 求 Sinh 的零点：

将值代入：

可视化结果：

自动产生简单明确的值：

更复杂的情况需要明确使用 FunctionExpand：

可视化 (3)

绘制 Sinh 函数：

绘制实部：

绘制虚部：

的极坐标图：

函数的属性 (12)

Sinh 对所有实数和复数有定义：

Sinh 的值域是所有实数：

复数参数的值域是整个平面：

Sinh 是奇函数：

Sinh 具有镜像属性：

Sinh 是 x 的解析函数：

Sinh 是单调的：

Sinh 是单射函数：

Sinh 是满射函数：

Sinh 既不是非负，也不是非正：

Sinh 没有奇点或断点：

Sinh 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

阶导数的公式：

积分 (3)

Sinh 的不定积分：

原点为中心区间上奇被积数的定积分是 0：

更多积分：

级数展开 (4)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制 Sinh 在附近的前 3 个近似式：

Sinh 级数展开式的通项：

傅立叶级数的前几项：

Sinh 可应用于幂级数：

积分变换 (2)

使用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：

HankelTransform：

函数恒等与化简 (6)

两倍角的 Sinh：

和的 Sinh：

转换为倍角表达式：

将双曲线函数的和形式转换为积形式：

假设实变量和的展开：

转换为指数：

函数表示 (4)

通过 Sin 表示：

通过贝塞儿函数表示：

用 MeijerG 表示：

Sinh 可以表示为 DifferentialRoot：

应用 (8)

绘制一个双曲线：

在双曲空间内旋转矩阵：

从无限小的转换来构建：

相对 boost 矩阵：

关于 Minkowski 度量标准，矩阵式正交的：

对于速率构建相对坐标转换：

长球面左边：

sine–Gordon 方程的特殊解：

求解微分方程：

用 Sinh 和 Cosh 计算双曲线的弧长，该弧长为双曲线上一个点的角度的函数：

绘制作为角度的函数的弧长：

用 Cosh 和 Sinh 函数求双曲线上的一个点：

属性和关系 (11)

自动应用双曲正弦的基本对偶和周期属性：

包含双曲函数的复杂表达式不能自动化简：

与逆函数的组合：

求解双曲线方程：

求出一个超越方程的数值根：

化简一个双曲线方程：

积分转换：

Sinh 出现在多数数学函数的特例中：

Sinh 是一个数值函数：

Sinh 的母函数：

Sinh 的指数母函数：

可能存在的问题 (5)

机器精度的输入不足以获得一个正确的结果：

明确的输入，结果是正确的：

需要提高 $MaxExtraPrecision 的设置：

机器数的输入给出高精度的结果：

在无穷处不存在幂级数，其中 Sinh 有奇点：

在 TraditionalForm 形式中，需要在自变量外设置圆括号：

巧妙范例 (2)

在复平面上嵌套的双曲余弦：

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