SymmetricPolynomial

SymmetricPolynomial[k,{x1,…,xn}]

给出关于变量 x1,…,xn 的第 k 个基本对称多项式.

更多信息

  • 有 n 个变量 {x1,…,xn} 的对称多项式在任意交换两个变量后不变. 第 k 个基本对称多项式由 k 次单项式的和组成.
  • 次数 k 满足 0≤k≤n.
  • 基本对称多项式形成对称多项式的一个基.
  • SymmetricReduction 可以用基本对称式表示常规对称多项式.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (1)

由变量 x1,x2,x3,x4 组成的 3 次基本对称多项式：

范围  (1)

零次基本对称多项式定义为 1：

应用  (1)

由 0 和 1 组成的 2×3 矩阵：

选出列和为 1,1,1 行和为 2,1 的矩阵：

SymmetricPolynomial 可以计算出满足条件的矩阵的个数. 列举满足行和为 2,1 的 2×3 矩阵：

x11x21x31 的系数等于矩阵中行和为 1,1,1 的个数：

属性和关系  (5)

第 k 个初等对称多项式是由变量的 k-子集构造的所有单项式的和：

为 元基本对称式的生成函数：

检验：

根为 的首一多项式以关于 的基本对称式为系数：

初等对称多项式 ek=SymmetricPolynomial[k,{x1,…,xn}] 与幂和多项式 有关，它们之间的关系为 Newton–Girard 公式 [MathWorld]. 生成 的 Newton–Girard 公式：

验证：

可用广义贝尔多项式 BellY 来定义初等对称多项式：

验证五个变量的情况：

巧妙范例  (1)

寻找整数 ， 满足 的根为 ：

检验：

Wolfram Research (2007)，SymmetricPolynomial，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

文本

Wolfram Research (2007)，SymmetricPolynomial，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "SymmetricPolynomial." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html.

APA

Wolfram 语言. (2007). SymmetricPolynomial. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_symmetricpolynomial, author="Wolfram Research", title="{SymmetricPolynomial}", year="2007", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_symmetricpolynomial, organization={Wolfram Research}, title={SymmetricPolynomial}, year={2007}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/SymmetricPolynomial.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}