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Tanh

给出的双曲正切.

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
Sinh[z]/Cosh[z] 自动转换为 Tanh[z]. TrigFactorList[expr] 执行分解.
对于某些特定参数，Tanh 自动计算出精确值.
Tanh 可求任意数值精度的值.
Tanh 自动逐项作用于列表的各个元素. »
Tanh 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Tanh 是双曲正切函数，是三角学中普遍使用的 Tan 圆函数的双曲类比. Tanh[α] 定义为对应的双曲正弦和双曲余弦函数的比值，即 via . Tanh 也可以定义为，其中是自然对数 Log 的底数.
当变量是有理数的（自然）对数时，Tanh 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Tanh 可以算出任意精度的数值结果. TrigFactorList 可将包含 Tanh 的表达式因式分解为包含 Sinh、Cosh、Sin 和 Cos 的单项式. 对包含 Tanh 的符号表达式，其他适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
Tanh 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲正切值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲正切函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲正切值.
对小的负的 x 值 Tanh[x] 趋向于而对大的正的 x 值则趋向于 . Tanh 和 Tan 类似，也满足勾股恒等式，即 . 双曲正切函数的定义可由等式和扩展到复数变量上. Tanh 在且是整数的这些点处取得极值 ComplexInfinity. Tanh[z] 在原点处的级数展开为 $sum_(k=0)^infty(2^(2 k)(2^(2k)-1) TemplateBox[{{2, , k}}, BernoulliB] )/((2 k)!)z^(2 k-1)$ ，可由伯努利数 BernoulliB 构成的项表示.
Tanh 的反函数是 ArcTanh. 其他相关的数学函数有 Sinh、Coth 和 Tan.

范例

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基本范例 (5)

数值运算：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在 0 处的级数展开：

奇异点处的渐近展开：

范围 (46)

数值计算 (5)

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

Tanh 可以接受复值输入：

用高精度高效评估 Tanh：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Tanh 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最差情况下的区间：

或用 Around 计算普通的统计区间：

特殊值 (4)

Tanh 在固定纯虚数点的值：

无穷处的值：

Tanh 的零点：

使用 Solve 求零点：

值的替代：

可视化结果：

自动生成简单精确的结果：

更复杂的情况需要明确使用 FunctionExpand：

可视化 (3)

绘制 Tanh 函数：

绘制实部：

绘制的虚部：

绘制的实部：

函数的属性 (12)

Tanh 的定义域为所有实数：

复参数的定义域：

Tanh 的值域是开区间内的所有实数：

Tanh 是奇函数：

Tanh 具有镜像属性：

Tanh 在实数域上是的解析函数：

虽然在复平面上不是解析的，但它是亚纯函数：

Tanh 是单调的：

Tanh 是单射函数：

Tanh 不是满射函数：

Tanh 既不是非负，也不是非正：

Tanh 没有奇点或断点：

Tanh 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

第阶导数的公式：

积分 (3)

Tanh 的不定积分：

在以原点为中心的区间上的奇积分数的定积分是 0：

更多积分：

级数展开 (4)

Tanh 的级数展开：

绘制附近，Tanh 的前 3 个近似：

Tanh 级数展开的广义项：

傅立叶级数的前几项：

Tanh 可应用于幂级数：

积分变换 (2)

使用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：

FourierTransform：

函数恒等与简化 (6)

双角的 Tanh：

转换为倍角表达式：

和的 Tanh：

将双曲线的和转换为积形式：

假设实变量和的展开：

转换为指数：

函数表示 (4)

通过 Tan 表示：

通过贝塞儿函数表示：

通过 Jacobi 函数表示：

通过 Mathieu 函数表示：

应用 (4)

绘制一个等切面曲线：

绘制一个伪球面：

计算延伸到无穷的表面上有限区域：

在一个恒量力场中一个相对实体的速率：

用 tanh 方法求解 Burgers 方程：

属性和关系 (13)

自动应用 Tanh 的基本的奇偶性和周期性：

不自动化简包含双曲函数的表达式：

用 Refine、Simplify 和 FullSimplify 化简包含 Tanh 的表达式：

在 FunctionExpand 中，用根式表达式特殊值：

与逆函数的组合：

求解一个双曲线方程：

求一个超越方程的数值解：

化简一个双曲方程：

积分：

积分转换：

从和和积分中获得 Tanh：

Tanh 出现在特殊函数的特例中：

Tanh 是一个数值函数：

可能存在的问题 (4)

机器精度的输入不足以给出正确的结果：

明确的输入下，结果是正确的：

需要提高 $MaxExtraPrecision 的设置：

在无穷处不存在幂级数，其中 Tanh 有必要的奇点：

在 TraditionalForm，需要在参数周围添加圆括号：

巧妙范例 (1)

连分时的展开：

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