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ToeplitzMatrix

ToeplitzMatrix[n]

第1行と第1列が連続する整数である n×n のテプリッツ(Toeplitz)行列を返す．

ToeplitzMatrix[{c₁,c₂,…,c_n}]

第1列が成分 c₁, c₂, …からなるテプリッツ行列を返す．

ToeplitzMatrix[{c₁,c₂,…,c_m},{r₁,r₂,…, r_n}]

第1列の成分が c_i，第1行の成分が r_iのテプリッツ行列を返す．

詳細とオプション

テプリッツ行列は，通常，近似理論，信号処理，統計，時系列等に関連した応用で使われる．
テプリッツ行列は，その対角に沿って一定の行列である．テプリッツ行列の成分は，のときはで，それ以外のときはで与えられる．

成分 r₁は成分 s c₁と等しくなければならない． »
ToeplitzMatrix[…,TargetStructure->struct]はテプリッツ行列を struct で指定された形式で返す．次は，

	Automatic	返す際の表現を自動選択する
	"Dense"	行列を密な行列として表す
	"Structured"	行列を構造化配列として表す
	"Symmetric"	行列を対称行列として表す

With ToeplitzMatrix[…,TargetStructureAutomatic]の設定では，行列の成分数が設定された閾値未満の場合は密な行列が返され，それ以外の場合は構造化配列が返される．
構造化されたToeplitzMatrix sa は，次の特性"prop"に sa["prop"]でアクセスできる．

	"ColumnVector"	第1列の成分のベクトル
	"RowVector"	第1行の成分のベクトル
	"Properties"	サポートされる特性のリスト
	"Structure"	構造化配列の型
	"StructuredData"	構造化配列で保存されている内部データ
	"StructuredAlgorithms"	構造化配列に対して特別なメソッドを持つ関数のリスト
	"Summary"	Datasetとして表される要約情報

Normal[ToeplitzMatrix[…]]は構造化テプリッツ行列を通常の行列に変換する．

例題

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例 (3)

4×4の対称テプリッツ行列：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[4]//MatrixForm

記号成分による4×4の対称テプリッツ行列：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{a, b, c, d}]//MatrixForm

第1列が{c₁,…}，第1行が{c₁,r₂,…}のテプリッツ行列：

Wolfram Language code:

ToeplitzMatrix[{Subscript[c, 1], Subscript[c, 2], Subscript[c, 3], Subscript[c, 4]}, {Subscript[c, 1], Subscript[r, 2], Subscript[r, 3], Subscript[r, 4]}] // MatrixForm

スコープ (9)

機械数のテプリッツ行列を作成する：

Wolfram Language code: N[ToeplitzMatrix[4]] //MatrixForm

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1., 2., 4., 8.}, {1., .5, .25, .125}] //MatrixForm

20桁精度のテプリッツ行列を作成する：

Wolfram Language code: N[ToeplitzMatrix[3], 20] //MatrixForm

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1`20, 2`20, 4`20}, {1`20, .5`20, .25`20}] //MatrixForm

複素数項を持つテプリッツ行列：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1 + 2 I, 3 + 4 I, 5 + 6 I}]//MatrixForm

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1 + 2 I, 3 + 4 I, 5 + 6 I}, {1 + 2 I, 3 + 4 I, 5 + 6 I}]//MatrixForm

矩形テプリッツ行列：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1, 2, 3, 4, 5}, {1, 6, 7}] // MatrixForm

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[{1, 2, 3}, {1, 4, 5, 6, 7}] // MatrixForm

テプリッツ行列の一般的な記号表示：

Wolfram Language code: tm[n_] := ToeplitzMatrix[Array[Subscript[𝓉, #]&, n, 0], Array[Subscript[𝓉, -#]&, n, 0]]

Wolfram Language code: tm[5] // MatrixForm

構造化テプリッツ行列を生成する：

Wolfram Language code: tm = ToeplitzMatrix[N[Range[100]], 1 / N[Range[100]], TargetStructure -> "Structured"]

構造化表現は，通常，あまりメモリを使わない：

Wolfram Language code: ByteCount[tm]

Wolfram Language code: ByteCount[Normal[tm]]

ToeplitzMatrixオブジェクトには配列についての情報を与える特性が含まれている：

Wolfram Language code: tm = ToeplitzMatrix[3^-Range[0, 4], 3^-Range[0, 8, 2], TargetStructure -> "Structured"]

Wolfram Language code: tm["Properties"]

"ColumnVector"特性はテプリッツ行列の第1列を与える：

Wolfram Language code: tm["ColumnVector"]

"RowVector"特性はテプリッツ行列の第1行を与える：

Wolfram Language code: tm["RowVector"]

"Summary"特性は配列についての情報の簡単な要約を与える：

Wolfram Language code: tm["Summary"]

"StructuredAlgorithms"特性は構造化アルゴリズムを持つ関数のリストを与える：

Wolfram Language code: tm["StructuredAlgorithms"]

構造化アルゴリズムは，適切な場合は別のToeplitzMatrixオブジェクトを返す：

Wolfram Language code: tm = ToeplitzMatrix[1 / Range[1, 9, 2], 1 / Range[3], TargetStructure -> "Structured"]

転置もまたToeplitzMatrixである：

Wolfram Language code: Transpose[tm]

テプリッツ行列とその転置の積はもはやテプリッツ行列ではない：

Wolfram Language code: Transpose[tm].tm

密なテプリッツ行行列を構造化テプリッツ行列に変換する：

Wolfram Language code:

ToeplitzMatrix[(⁠|       |       |       |       |
| ----- | ----- | ----- | ----- |
| 1     | (1/2) | (1/4) | (1/8) |
| (1/2) | 1     | (1/2) | (1/4) |
| (1/4) | (1/2) | 1     | (1/2) |
| (1/8) | (1/4) | (1/2) | 1     |⁠)]

オプション (2)

TargetStructure (2)

テプリッツ行列を密な行列として返す：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[3, TargetStructure -> "Dense"]

テプリッツ行列を構造化配列として返す：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[3, TargetStructure -> "Structured"]

テプリッツ行列を対称行列として返す：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[3, TargetStructure -> "Symmetric"]

TargetStructureAutomaticの設定のとき，次元が小さい場合は密な行列が返される：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[5, TargetStructure -> Automatic]

次元が大きくなると構造化表現が返される：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[10000, TargetStructure -> Automatic]

アプリケーション (10)

ベクトルから巡回行列を構築する関数を定義する：

Wolfram Language code: circulant[v_] := ToeplitzMatrix[v, RotateRight[Reverse[v]]]

Wolfram Language code: circulant[Array[C, 4]]//MatrixForm

巡回行列とベクトルの乗算は巡回たたみ込みとして表すことができる：

Wolfram Language code: circulant[Array[C, 4]].Array[, 4] == ListConvolve[Array[C, 4], Array[, 4], 1]

ベクトルと巡回行列の乗算は巡回相関として表すことができる：

Wolfram Language code: Array[, 4].circulant[Array[C, 4]] == ListCorrelate[Array[C, 4], Array[, 4], 1]

巡回行列はフーリエ行列を使って対角化できる：

Wolfram Language code:

fm = FourierMatrix[4];
ConjugateTranspose[fm].circulant[Array[C, 4]].fm//FullSimplify//MatrixForm

結果の対角行列の対角要素はフーリエ行列と開始ベクトルの積に定倍率まで等しい：

Wolfram Language code: Sqrt[4]Conjugate[fm].Array[C, 4]//FullSimplify

記号成分を持つテプリッツ行列：

Wolfram Language code:

n = 3;
MatrixForm[tm = ToeplitzMatrix[Array[Subscript[𝓉, #]&, n, 0], Array[Subscript[𝓉, -#]&, n, 0]]]

テプリッツ行列の逆行列は逆行列の最初と最後の列だけから決定できる．LinearSolveを使って逆行列の最初の列を計算する：

Wolfram Language code: uk = LinearSolve[tm, UnitVector[n, 1]]

逆行列の最後の列を計算する：

Wolfram Language code: vk = LinearSolve[tm, UnitVector[n, n]]

テプリッツ行列の逆行列についてのGohberg–Semenculの公式は，最初と最後の列を使って完全な逆行列を組み立てる：

Wolfram Language code:

Short[tinv = (1/First[uk])(ToeplitzMatrix[uk, PadRight[{First[uk]}, n, 0]].ToeplitzMatrix[PadRight[{Last[vk]}, n, 0], Reverse[vk]] - ToeplitzMatrix[Prepend[Most[vk], 0], ConstantArray[0, n]].ToeplitzMatrix[ConstantArray[0, n], Prepend[Reverse[Rest[uk]], 0]]), 2]

逆行列を確認する：

Wolfram Language code: tinv.tm == IdentityMatrix[n]//Simplify

三重対角テプリッツ行列を定義する：

Wolfram Language code: toeplitzTridiagonal[a_, b_, c_, n_] := ToeplitzMatrix[PadRight[{b, a}, n], PadRight[{b, c}, n]]

4×4の場合を示す：

Wolfram Language code: toeplitzTridiagonal[a, b, c, 4]//MatrixForm

固有多項式についての式を最初のいくつかの第2種チェビシェフ(Chebyshev)多項式によって確かめる：

Wolfram Language code:

Table[CharacteristicPolynomial[toeplitzTridiagonal[a, b, c, n], x] == (-Sqrt[a c])^n ChebyshevU[n, (x - b/2Sqrt[a c])]//Simplify, {n, 9}]

三重対角テプリッツ行列は1型の離散正弦変換行列の対角リスケーリングによって対角化できる：

Wolfram Language code:

n = 4;
vm = FourierDSTMatrix[n, 1].DiagonalMatrix[(c / a)^Range[n] / 2];
vm.toeplitzTridiagonal[a, b, c, n].Inverse[vm]//FullSimplify//MatrixForm

Kac–Murdock–Szegő(KMS)行列をToeplitzMatrixとして定義する：

Wolfram Language code: kms[ρ_, n_] := ToeplitzMatrix[ρ^Range[0, n - 1]]

KMS行列は対称テプリッツ行列である：

Wolfram Language code: MatrixForm[kms[ρ, 5]]

KMS行列は，一次自己回帰過程の相関行列（つまり，AR(1)過程）である：

Wolfram Language code:

n = 6;
kms[ρ, n] == Correlation[ARProcess[{ρ}, σ ^ 2][Range[n]]]//Simplify

KMS行列の逆行列は三重対角行列である：

Wolfram Language code: Inverse[kms[ρ, n]]//Simplify//MatrixForm

KMS行列の固有多項式は第2種チェビシェフ多項式で表すことができる：

Wolfram Language code:

CharacteristicPolynomial[kms[ρ, n], λ] == With[{τ = (ρ^2(λ + 1) + λ - 1/2ρ λ)}, ((ρ λ)^n/1 - ρ^2)(ChebyshevU[n, τ] - 2ρ ChebyshevU[n - 1, τ] + ρ^2ChebyshevU[n - 2, τ])]//Simplify

Parter行列をToeplitzMatrixとして定義する：

Wolfram Language code: parter[n_] := ToeplitzMatrix[1 / (Range[n] - 1 / 2), 1 / (3 / 2 - Range[n])]

Parter行列はテプリッツ行列でもりコーシー行列でもある：

Wolfram Language code: MatrixForm[parter[5]]

Wolfram Language code:

With[{n = 5}, 
	CauchyMatrix[Range[n], 1 / 2 - Range[n]]]//MatrixForm

Parter行列の支配的特異値はの周りにクラスタ化している：

Wolfram Language code: SingularValueList[N[parter[20]]]

Wolfram Language code: % - π

prolate matrix（扁長行列）は，マルチテーパーパワースペクトル密度推定に現れる対称正定値テプリッツ行列である：

Wolfram Language code: prolate[n_, w_ : 1 / 4] := ToeplitzMatrix[2w Sinc[2π w Range[0, n - 1]]]

prolate行列の成分を可視化する：

Wolfram Language code: MatrixPlot[N[prolate[18]]]

条件数は n とともに指数的に増加する：

Wolfram Language code: capprox[n_] = 0.117539E^1.76275n

2ノルム条件数は対称性による最大固有値と最小固有値の比である：

Wolfram Language code: cnos = Table[Apply[Divide, Eigenvalues[N[prolate[n], 2n + 20]][[{1, -1}]]], {n, 32}];

Wolfram Language code: Show[ListLogPlot[cnos], LogPlot[capprox[n], {n, 1, 32}]]

2012年5月から2012年9月までのユーロとドルの毎日の為替レート：

Wolfram Language code:

data = TemporalData[Automatic, {{{1.31, 1.31, 1.31, 1.3, 1.3, 1.3, 1.29, 1.29, 1.29, 1.27, 1.28, 1.28, 
    1.27, 1.26, 1.26, 1.26, 1.25, 1.24, 1.24, 1.23, 1.24, 1.24, 1.25, 1.26, 1.25, 1.26, 1.25, 1.25, 
    1.26, 1.26, 1.26, 1.26, 1.27, 1.27, 1.25, 1.25 ... Data`DateSpecification[{2012, 5, 2}, {2012, 9, 28}, "BusinessDay", "DayRange"]}, 1, 
  {"Discrete", 1}, {"Discrete", 1}, 1, 
  {MetaInformation -> {"Source" -> HoldForm[FinancialData]["EUR/USD", 
       {{2012, 5, 1}, {2012, 9, 30}}]}}}, True, 9.];

データを可視化する：

Wolfram Language code: DateListPlot[data, Joined -> True, Filling -> Bottom]

Yule-Walker方程式を解くことで，3次自己回帰過程(ARProcess) を為替レートにフィットする：

Wolfram Language code:

autocorrelation = CorrelationFunction[data, {0, 3}]["Values"];
coef = LinearSolve[ToeplitzMatrix[Most[autocorrelation]], Rest[autocorrelation]];
proc = ARProcess[Mean[data](1 - Total[coef]), coef, (1 - 1 / data["PathLength"])Variance[data](1 - coef.Rest[autocorrelation])]

EstimatedProcessを使っても同じ結果が得られる：

Wolfram Language code: EstimatedProcess[data, ARProcess[3]]

点 x=x₀に関する関数の次数パデ(Padé)近似はベキ級数係数から取得できる．関数，分子と分母の次数，展開点を定義する：

Wolfram Language code:

f[x_] := Exp[x];
x0 = 0;
{m, n} = {4, 3};

ベキ級数の係数を次数まで生成する：

Wolfram Language code: coef = CoefficientList[Series[f[x], {x, x0, m + n}], x]

分母の係数はベキ級数係数から構築されたテプリッツ系を解くことで入手できる：

Wolfram Language code:

dCoef = Prepend[LinearSolve[ToeplitzMatrix[Take[coef, {m + 1, m + n}], Take[coef, {m + 1, m - n + 2, -1}]], -Take[coef, {m + 2, m + n + 1}]], 1]

分子の係数は分母の係数のベクトルにベキ級数係数から構築されたテプリッツ行列を掛けることで入手できる：

Wolfram Language code: nCoef = ToeplitzMatrix[Take[coef, m + 1], First[coef]UnitVector[n + 1, 1]].dCoef

パデ近似を組み立てる：

Wolfram Language code: (nCoef.x^Range[0, m]/dCoef.x^Range[0, n])

PadeApproximantの結果と比較する：

Wolfram Language code: PadeApproximant[f[x], {x, x0, {m, n}}]

最初のいくつかの符号付き初等対称多項式を個の変数で生成する：

Wolfram Language code:

n = 5;
σ = Table[(-1)^kSymmetricPolynomial[k, Array[, n]], {k, n}]

最初のいくつかのベキ乗和を個の変数で生成する：

Wolfram Language code: 𝓅 = Table[Total[Array[, n] ^ k], {k, n}]

ベキ乗和と初等対称多項式に関連するNewton–Girardの公式[MathWorld]を確認する：

Wolfram Language code: ToeplitzMatrix[Prepend[Most[σ], 1], UnitVector[n, 1]].𝓅 == -Range[n]σ//Simplify

Ching行列をToeplitzMatrixとして定義する：

Wolfram Language code: ching[n_] := ToeplitzMatrix[PadRight[{}, n, {1, 0}], PadRight[{1, 1}, n]]

Ching行列は下ヘッセンベルク(Hessenberg)0-1行列（成分か0か1で最初の上対角の上が0の行列）である：

Wolfram Language code: MatrixForm[ching[5]]

n 次Ching行列の行列式は n 番目のフィボナッチ(Fibonacci)数と同じであり，すべての下ヘッセンべルック0-1行列の上界を与える：

Wolfram Language code: Table[Det[ching[n]], {n, 12}]

Wolfram Language code: Table[Fibonacci[n], {n, 12}]

特性と関係 (5)

サイズのテプリッツ行列の行列式はである：

Wolfram Language code: TableForm[Table[{n, Det[ToeplitzMatrix[n]], (-2)^n - 1(n + 1/2)}, {n, 10}]]

充填のない巡回ListConvolveは下三角テプリッツ行列による乗算に等しい：

Wolfram Language code:

n = 8;ListConvolve[Array[, n], Array[C, n], 1, 0] == ToeplitzMatrix[Array[, n], [1]UnitVector[n, 1]].Array[C, n]

充填のない巡回ListCorrelateは上三角テプリッツ行列による乗算に等しい：

Wolfram Language code:

n = 8;ListCorrelate[Array[, n], Array[C, n], 1, 0] == ToeplitzMatrix[[1]UnitVector[n, 1], Array[, n]].Array[C, n]

ToeplitzMatrix[{c₁,c₂,…}]は，c₁ が実数の場合はハミルトン行列である：

Wolfram Language code:

c = Join[RandomReal[1, 1], RandomComplex[1 + I, 2]];
t = ToeplitzMatrix[c];
MatrixForm[t]

Wolfram Language code: HermitianMatrixQ[t]

はすべての実数固有値を持つ：

Wolfram Language code: v = Eigenvalues[t]

はユニタリ行列で直交化される：

Wolfram Language code:

u = Transpose[Eigenvectors[t]];
Chop[ConjugateTranspose[u].t.u] // MatrixForm

ToeplitzMatrixとHankelMatrixは交換行列（逆恒等行列）との乗算によって関連している：

Wolfram Language code:

(t = ToeplitzMatrix[{Subscript[a, 0], Subscript[a, 1], Subscript[a, 2]}, {Subscript[a, 0], Subscript[a, -1], Subscript[a, -2]}])//MatrixForm

Wolfram Language code:

HankelMatrix[{Subscript[a, 2], Subscript[a, 1], Subscript[a, 0]}, {Subscript[a, 0], Subscript[a, -1], Subscript[a, -2]}]//MatrixForm

Wolfram Language code: Reverse[IdentityMatrix[3]].t//MatrixForm

同様に，テプリッツ行列の逆変換はハンケル行列を与える：

Wolfram Language code:

t = ToeplitzMatrix[{Subscript[a, 0], Subscript[a, 1], Subscript[a, 2]}, {Subscript[a, 0], Subscript[a, -1], Subscript[a, -2]}, TargetStructure -> "Structured"]

Wolfram Language code: MatrixForm[t]

Wolfram Language code: h = Reverse[t]

Wolfram Language code: MatrixForm[h]

考えられる問題 (1)

r₁ が c₁と等しくない場合は，c₁の値が使われ r₁ は無視される：

Wolfram Language code:

ToeplitzMatrix[{Subscript[c, 1], Subscript[c, 2], Subscript[c, 3], Subscript[c, 4]}, {Subscript[r, 1], Subscript[r, 2], Subscript[r, 3], Subscript[r, 4]}] // MatrixForm

おもしろい例題 (1)

テプリッツ行列の成分を可視化する：

Wolfram Language code: ListPlot3D[ToeplitzMatrix[15], InterpolationOrder -> 0, Mesh -> None]

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