SystemsModelDelayを使って，任意の伝達関数モデルに時間遅延を含ませることができる．
TransferFunctionModel[sys]は，次の系を変換することができる．
AffineStateSpaceModel 近似テイラー(Taylor)変換

NonlinearStateSpaceModel 近似テイラー変換

StateSpaceModel 厳密変換
TransferFunctionModel[…]["prop"]は，特性"prop"の値を与える．
TransferFunctionModel[…]["Properties"]は，使用可能な特性のリストを与える．
使用可能なオプション

Appearance	Automatic	モデルの外観
Method	Automatic	状態空間モデルの伝達関数を求めるためのメソッド
SamplingPeriod	Automatic	系のサンプリング周期
SystemsModelLabels	Automatic	入出力変数のラベル
ExternalTypeSignature	Automatic	埋め込まれたコードの変数型

オプションAppearanceは，Automatic，"Detailed"，"Structured"，"Elided"，"Iconized"の値を取ることができる．
Methodオプションの設定値には"DeterminantExpansion"，"ResolventIdentities"，"Inverse"，"Generic"等がある．Method->Automaticとすると，伝達関数モデルは行列式の展開を使って計算される．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (5)

単一入力単一出力系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{(1/s)}}, s]

2入力1出力の系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{(2/1 + s^2), (s/s - 1)}}, s]

状態空間モデルの伝達関数による表示を求める：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[StateSpaceModel[{{{a}}, {{b}}, {{c}}, {{0}}}, 
 SamplingPeriod -> None, SystemsModelLabels -> None]]

サンプリング周期が1の離散時間伝達関数：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/(z - 1)(z - 0.605)), z, SamplingPeriod -> 1]

伝達関数を周波数の範囲で評価する：

Wolfram Language code:

tfm = TransferFunctionModel[(s + 0.25/s^2 + s + 1), s];
tfm[I Range[0.01, 5, 0.5]]

ゲインをプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Abs[tfm[I f]], {f, 0, 5}]

スコープ (19)

一次連続時間系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/T s + 1), s]

二次の系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(Subsuperscript[ω, n, 2]/s^2 + 2ζ Subscript[ω, n] s + Subsuperscript[ω, n, 2]), s]

五次の系：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[k (Subsuperscript[∑, i = 0, 2]Subscript[b, i]s^i/Subsuperscript[∑, i = 0, 5]Subscript[a, i]s^i), s]

3つの零点と6つの極を含む系：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[k (Subsuperscript[∏, i = 1, 3](s + Subscript[z, i])/(Subsuperscript[∏, i = 1, 2](s + Subscript[p, i]))Subsuperscript[∏, i = 1, 2](s^2 + 2 Subscript[ξ, i]Subscript[ω, i]s + Subsuperscript[ω, i, 2])), s]

一次離散時間系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/z - 1), z, SamplingPeriod -> τ]

2入力1出力の系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{(1/s), (1/s + 1)}}, s]

Wolfram Language code: SystemsModelDimensions[%]

1入力2出力の系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{(1/s)}, {(1/s + 1)}}, s]

Wolfram Language code: SystemsModelDimensions[%]

2入力2出力の系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{(1/s), (1/s + 1)}, {(1/s + 2), (1/s + 3)}}, s]

Wolfram Language code: SystemsModelDimensions[%]

伝達関数を，その分子と分母を使って指定する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{1}}, {{s + 1}}}, s]

分子分母で指定されたMIMO伝達関数：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{1, s}, {s + 2, s + 4}}, {{s - 5, s + 3}, {s - 1, s + 4}}}, s]

最小公倍数である分母多項式：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{3(s + 1), s + 6}, {s + 3, s + 2}}, (s + 1)(s + 2)}, s]

伝達関数を，その代数的極，零点，ゲインを使って指定する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{{z}}}, {{{p}}}, {{g}}}, s]

多変数の系：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[{(|       |       |
| ----- | ----- |
| {z11} | {z12} |
| {z21} | {z22} |), (|       |       |
| ----- | ----- |
| {p11} | {p12} |
| {p21} | {p22} |), (|     |     |
| --- | --- |
| g11 | g12 |
| g21 | g22 |)}, s]

10という一定のゲイン：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[10]

離散時間ゲイン：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[10, SamplingPeriod -> 1]

記号的なゲイン：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[g]

Wolfram Language code: % /. g -> 5

状態空間モデルの伝達関数表現：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[StateSpaceModel[{{{-3, 0}, {0, -2}}, {{1}, {2}}, {{1, 0}}, {{0}}}, SamplingPeriod -> None, 
 SystemsModelLabels -> None], s]

AffineStateSpaceModelにテイラー線形化を施し，その伝達関数表現を得る：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[AffineStateSpaceModel[{{Subscript[x, 1] + Subscript[x, 2]^2, 
   (-Subscript[x, 1])*Subscript[x, 2]}, 
  {{1}, {Subscript[x, 1]}}, {Subscript[x, 1]}, {{0}}}, 
 {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {u}, {Automatic}, 
 Automatic, SamplingPeriod -> None], s]

非零の平衡値を使ったAffineStateSpaceModelの線形化：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[AffineStateSpaceModel[{{Subscript[x, 1] + 2*Subscript[x, 2] + 
    Subscript[x, 2]^2, 1 - Subscript[x, 1] + 
    Subscript[x, 2] - Subscript[x, 1]*Subscript[x, 2]}, 
  {{1}, {Subscript[x, 1]}}, {-1 + Subscript[x, 1]}, {{0}}}, 
 {{Subscript[x, 1], 1}, {Subscript[x, 2], -1}}, {u}, 
 {Automatic}, Automatic, SamplingPeriod -> None], s]

NonlinearStateSpaceModelのテイラー線形化：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[NonlinearStateSpaceModel[{{-1 + u*x}, {-1 + x}}, 
 {{x, 1}}, {{u, 1}}, {Automatic}, Automatic, SamplingPeriod -> None], s]

次は，使用可能な特性のリストである：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{3 + s}}, 10 + 7*s + s^2}, s]["Properties"]

一般化と拡張 (2)

単入力単出力(SISO)系は単一要素のリストとしても指定することができる：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{(1/s)}, s]

単に有理関数としても指定できる：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/s), s]

単一出力系はリストとして与えることができる：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{(1/2 s + 1), (3/4 s + 1)}, s]

オプション (5)

SamplingPeriod (3)

連続時間系を指定する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/s^2 + a s + b), s]

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/s^2 + a s + b), s, SamplingPeriod -> None]

サンプリング周期1の離散時間系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(z/z - 1), z, SamplingPeriod -> 1]

記号によるサンプリング周期を持つ系：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/s^2 + a s + b), s, SamplingPeriod -> T]

サンプリング周期に数値を設定する：

Wolfram Language code: % /. T -> 2

SystemsModelLabels (1)

伝達関数モデルの入出力変数にラベルを付ける：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[(⁠|             |           |             |
| ----------- | --------- | ----------- |
| (s/2 + s^2) | (1/s)     | (1/2 + s^2) |
| (1/s)       | (1 + s/s) | (1/2 + s^2) |⁠), s, SystemsModelLabels -> {{"SubscriptBox[u, 1]", "SubscriptBox[u, 2]", "SubscriptBox[u, 3]"}, {"SubscriptBox[y, 1]", "SubscriptBox[y, 2]"}}]

デフォルトで，外観はノートブック内の表示に適合するように選択される：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[{{(18/(s + 1)(s + 3)(s + 6)), (10/(s + 5)(s + 2)), (3/s^3 + s^2 + s + 3), (2/s(s + 1)(s + 2))}, {(100/s^2 + 3s + 100), (3/s(s + 1)(s + 3)(s + 6)), (3/s^3 + s^2 + s + 3), (4/(s + 1)(s + 2)(s + 5)(s + 3))}, {(20/(s + 5)(s + 4)), (10/s^2 + 10), (5/s^2 + s + 5), (10/s^4 + 5 s^2 + 10)}}, s]

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/s + 1), s]

アプリケーション (18)

比例積分(PI)制御器：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[Subscript[k, p] + (Subscript[k, i]/ s), s]

比例微分(PD)制御器：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[Subscript[k, p] + Subscript[k, d] s, s]

比例積分微分(PID)制御器を構築する関数：

Wolfram Language code: pid[kp_, ki_, kd_] := TransferFunctionModel[kp + (ki/ s) + kd s, s]

指定されたゲインの値を持つPID：

Wolfram Language code: pid[1, 2.5, 0.5]

離散時間PID制御器を構築する関数：

Wolfram Language code: dpid[kp_, ki_, kd_, τ_] := TransferFunctionModel[kp + ki(τ z/z - 1) + kd (z - 1/τ z), z, SamplingPeriod -> τ]

Wolfram Language code: dpid[260, 130, 5, 0.1]

連続時間進み補償器についての関数：

Wolfram Language code: lead[k_, T_ /; T > 0, α_ /; 0 < α < 1] := TransferFunctionModel[k(s + (1/T)/ s + (1/α T)), s]

ゲインの特定の値と極零点去位置についての進み補償器：

Wolfram Language code: lead[200, 0.02, 0.5]

連続時間遅れ補償器についての関数：

Wolfram Language code: lag[k_, T_ /; T > 0, α_ /; α > 1] := TransferFunctionModel[k(s + (1/T)/ s + (1/α T)), s]

特定の遅れ補償器：

Wolfram Language code: lag[1000, 0.08, 2]

零点と極の位置で定義されたデジタル遅れ補償器：

Wolfram Language code:

dlag[zero_, pole_, τ_] /; zero < pole < 1 := TransferFunctionModel[((1 - pole)(z - zero)/ (1 - zero)(z - pole)), z, SamplingPeriod -> τ];

Wolfram Language code: dlag[0.2, 0.5, 0.01]

アナログのローパスバターワース(Butterworth)フィルタについての一般式：

Wolfram Language code:

butterworth[ω_, n_ ? OddQ] := TransferFunctionModel[(ω/s + ω)Underoverscript[∏, i = 1, (n - 1) / 2](ω^2/s^2 + 2Cos[(π i/n)]ω s + ω^2), s]
butterworth[ω_, n_] := TransferFunctionModel[Underoverscript[∏, i = 1, n / 2](ω^2/s^2 + 2Cos[(π (i - 1 / 2)/n)]ω s + ω^2), s]

特定の次数のフィルタ：

Wolfram Language code: butterworth[Subscript[ω, N], 3]

Wolfram Language code: butterworth[Subscript[ω, N], 4]//N

三次Besselフィルタ：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(15/ s^3 + 6s^2 + 15 s + 15), s]

一般的な二次伝達関数：

Wolfram Language code: order2[ζ_, ω_] := TransferFunctionModel[ (ω^2/s^2 + 2ζ ω s + ω^2), s];

さまざまな減衰率は質的に異なる応答に繋がる：

Wolfram Language code:

Table[{Last[damping], sys = order2[First[damping], 6], Plot[OutputResponse[sys, UnitStep[t], t]//Evaluate, {t, 0, 8}, PlotRange -> All]}, {damping, {{0, "Undamped"}, {0.7, "Underdamped"}, {1, "Critically damped"}, {5, "Overdamped"}}}]//TableForm

線形化された倒立振子モデル：

Wolfram Language code:

invpend[M_, m_, l_, g_] := TransferFunctionModel[{{{-s^2}, { l s^2 - g}, {-s^3}, {l s^3 - g s}}, M l s^4 - g(M + m)s^2}, s, SystemsModelLabels -> {"u", {"θ", "x", "θ'", "x'"}}]

Wolfram Language code: invpend[5, 3.75, 1.5, 9.8]

バネ質量ダンパー系：

Wolfram Language code: smd[k_, m_, b_] := TransferFunctionModel[ (1/m s^2 + b s + k), s];

Wolfram Language code: smd[0.1, 0.5, 0.2]

直列モーターの，入力電圧とシャフトの角度位置の間の伝達関数：

Wolfram Language code: dcmotor[Kt_, Kf_, J_, B_, L_, R_] := TransferFunctionModel[ (Kt/(J s^2 + B s)(L s + R) + Kt Kf s), s];

Wolfram Language code: dcmotor[0.02, 0.02, 0.015, 0.1, 0.5, 1.3]

航空機の緩横転伝達関数：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(-5.9(s - 0.05)(s^2 + 0.46s + 1.1978)/(s + 0.067)(s + 0.7)(s^2 + 0.8054s + 4.21031)), s]

気温で制御される化学反応器：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(Subscript[k, p]/1 + Subscript[τ, p] s), s]

RLC回路：

Wolfram Language code: rlc[r_, l_, c_] := TransferFunctionModel[(r/r + s l + (1/s c)), s];

Wolfram Language code: rlc[100, 10^-4, 10^-6]

航空機の縦方向の力学を説明するMIMO伝達関数：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[{{(-0.0005(s - 70)(s + 0.5)/(s^2 + 0.0065s + 0.006)(s^2 + s + 1.4))}, {(-0.02(s + 80)(s^2 + 0.0065s + 0.006)/(s^2 + 0.005s + 0.006)(s^2 + s + 1.4))}, {(-1.4(s + 0.02)(s + 0.4)/(s^2 + 0.005s + 0.006)(s^2 + s + 1.4))}}, s]

材料輸送による遅延があるボールミル破砕システム：

Wolfram Language code:

TransferFunctionModel[{{{-0.425 / E ^ (1.52 * s), 0.1052 * (1 + 47.1 * s)}, 
    {2.977, 1.063 / E ^ (2.26 * s)}}, {{1 + 11.7 * s, 1 + 11.5 * s}, {1 + 5.5 * s, 1 + 2.5 * s}}}, s, 
  SystemsModelLabels -> {{"FreshFeed", "SumpWater"}, {"Product", "Throughput"}}]

特性と関係 (6)

TransferFunctionModelは引数が1つの純関数として動作する：

Wolfram Language code: lsys = TransferFunctionModel[{{(2/1 + s^2), (s/s - 1)}}, s]

Wolfram Language code: lsys[x]

特定の周波数での伝達関数行列の値：

Wolfram Language code: lsys[10. I]

いくつかの周波数での値：

Wolfram Language code: lsys[Range[3, 7]I]

TransferFunctionFactorを使って因子分解された形を得る：

Wolfram Language code: TransferFunctionFactor[TransferFunctionModel[(1/s) + (1/s - 1), s]]

展開された形を得る：

Wolfram Language code: TransferFunctionExpand[TransferFunctionModel[(1/s) + (1/s - 1), s]]

TransferFunctionCancelを使って共通の極と零点を相殺する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{s + 10}}, (s + 10)}, s]

Wolfram Language code: TransferFunctionCancel[%]

伝達関数行列の要素の零点と極を求める：

Wolfram Language code:

tfm = TransferFunctionModel[{{(s/1 + s^2), (s + 3/s - 1), (1/s + 1)}, {(s - 3/s + 2), (s + 1/s + 2), (s + 4/1 + s^2)}}, s];

Wolfram Language code: TransferFunctionPoles[tfm]

Wolfram Language code: TransferFunctionZeros[tfm]

伝達関数モデルの状態空間形を得る：

Wolfram Language code: StateSpaceModel[ TransferFunctionModel[{{(10(s - 2)/(s^2 + 2 s + 1.25) (s^2 + 6 s + 25))}}, s]]

考えられる問題 (3)

TransferFunctionModel[m,var]では，極零点ペアは処理される前に相殺されることがある：

Wolfram Language code: ((s + 2)(s + 3)/(s + 2)(s + 4))

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[((s + 2)(s + 3)/(s + 2)(s + 4)), s]

Unevaluatedを使って相殺を防ぐ：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[Unevaluated[((s + 2)(s + 3)/(s + 2)(s + 4))], s]

あるいはTransferFunctionModel[{num,den},var]を使って：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{(s + 2)(s + 3)}}, (s + 2)(s + 4)}, s]

あるいはTransferFunctionModel[{z,p,g},var]を使って：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[{{{{-3, -2}}}, {-4, -2}, {{1}}}, s]

TransferFunctionModel[m,var]では結果がより高次の系になる可能性がある：

Wolfram Language code:

m = (1/(s + 1)) - (1/(s + 1)^2);
TransferFunctionModel[m, s]

系を簡約する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[%, s]//Simplify

あるいはTransferFunctionModelに渡す前に m を簡約する：

Wolfram Language code: Together[m]

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[%, s]

複素変数 var が指定されていない場合，それは連続時間系ではsであると解釈される：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(s/10s + 1)]

Wolfram Language code: %[var]

sを使って伝達関数を指定する：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(/10 + 1)][var]

離散時間系についてはzを使う：

Wolfram Language code: TransferFunctionModel[(1/ + 0.4), SamplingPeriod -> τ][var]

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TransferFunctionModel

詳細とオプション

例題

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スコープ (19)

一般化と拡張 (2)

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SamplingPeriod (3)

SystemsModelLabels (1)

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特性と関係 (6)

考えられる問題 (3)

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