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VectorLess

xy または VectorLess[{x,y}]

のすべての成分について x_i<y_iなら，長さ n のベクトルに対してTrueを返す．

x_κy または VectorLess[{x,y},κ]

なら，x と y とに対してTrueを返す．ただし，κ は真凸錐である．

詳細

VectorLessは，ベクトル空間演算と互換の，およびが，すべてのについて，を意味する，ベクトル，行列，配列の半順序を与える．
VectorLessは，制約条件付き最適化，不等式の解法，積分におけるベクトル不等式を指定するのに使われることが多い．
x および y が -ベクトルのとき，xy はに等しい．この関係が真となるためには，x の各部分は対応する y の部分未満でなければならない．
x および y が次元の配列のとき，xy はに等しい．この関係が真となるためには，x の各部分は対応する y の部分未満でなければならない．
x または y が非数値要素を持つとき，xy は未評価のままになる．それ以外の場合は，一般にTrueまたはFalseを与える．
x が n-ベクトルで y が数値スカラーのとき，のすべての成分に対して x_i<y なら xy はTrueを与える．
記号  は v< または \[VectorLess]として入力する．下付き文字があるベクトル不等式は以下のように入力できる．
VectorLess[{x,y}] 標準的ベクトル不等式

VectorLess[{x,y},κ] 錐体 κ によって定義されるベクトル不等式
一般に，適切な凸錐 κ を使ってベクトル不等式が指定できる．集合は κ に等しい．
ベクトル x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．

	{"NonNegativeCone", n}		()
	{"NormCone", n}		(Norm[{x₁,…,x_n-1}]<x_n)
	"ExponentialCone"		()
	"DualExponentialCone"		()
	{"PowerCone",α}		()
	{"DualPowerCone",α}		()

行列 x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．
"NonNegativeCone" （）

{"SemidefiniteCone", n} 対称正定値行列
配列 x についてののときの可能な錐体指定 κ には以下がある．
"NonNegativeCone" （）
厳密な数量については，VectorLessは内部的に数値近似を使って数値順を確立する．この過程は大域変数$MaxExtraPrecisionの設定の影響を受けることがある．

例題

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例 (3)

すべての i=1,…,n について x_i < y_iがTrueのとき，x<y はTrueを与える：

任意の i=1,…,n について x_i ≥ y_iのとき，x<y はFalseを与える：

ベクトル不等式を表す：

v が数値ベクトルの空間要素で置換されたとき，この不等式はTrueまたはFalseを返す：

錐体はによっても与えられる：

錐体はによっても与えられる：

直方体はによっても与えられる：

スコープ (7)

ベクトル中の全要素が厳密に正であるかどうかを判定する：

すべての成分が厳密に1未満かどうかを判定する：

!xy は xy を意味しない：

各成分について，!x_i<y_iは x_i≥y_iを意味する：

2つの行列の成分を比較する：

対称行列を比較する：

Norm[{x,y}]<1という条件を表す：

という条件を表す：

非負の x,y について（ただし，α は0から1）の境界を表示する：

アプリケーション (1)

VectorLessは多くの要素を比較する高速の方法である：

特性と関係 (3)

VectorLessはベクトル空間操作と互換である：

任意のベクトルについて両辺にベクトルを加える：

任意のについて正の定数倍する：

xy は（厳密な）半順序，つまり，非反射的，反対称的，推移的である：

すべての要素について非反射的()である．したがってそれ自体と関係している要素はない：

反対称的である．つまり，ならである：

推移的である．つまり，かつならである：

x_κy は半順序ではあるが全順序ではないので，比較できない要素がある：

とは比較不可能な要素なのでもも真ではない：

ベクトルとの集合．これらはについて比較できる要素である：

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