はじめに

電磁波回折とは，電磁波が障害物や開口部を通過するときに起こる現象である．電磁波回折では，電場または磁場は複素関数で記述される．2つ以上の開口部がある場合，開口部の後の電磁場の空間分布は回折パターンと呼ばれ，空間位相の差によって開口部と開口部の間の距離に伴い変化する縞模様で特徴付けられる．この特徴はマイクロ物体とナノ物体の距離を測定するために計測学で非常によく使われる．

等方性の非分散媒体では，電磁波回折はベクトル値のsource-freeヘルムホルツ(Helmholtz)偏微分方程式でモデル化することができる[Jackson, 1999]：

ここで は媒体 の中の波数であり， で波長 に関連している． 屈折率 の媒体 における波長は，で自由空間波長 に関連している．場の完全な挙動を記述するために場の1つの成分しか必要でない場合があり，このとき場はスカラーであると言われる．スカラーの場合はチュートリアル「単一開口スカラー回折」で説明している．このチュートリアルでは，複数の開口をスカラーのアプローチで簡単に紹介し，その後電磁波のベクトル特性に焦点を当てる．

偏極は振動の幾何学的方向を指定する，横ベクトル場の特性である．この特性は光学活性のサンプルを特徴付ける偏光測定と呼ばれる手法で使われる．

ここで説明する内容の必須条件として，電磁波回折と完全整合層の基本について説明してある「単一開口スカラー回折」を一読されることをお勧めする．

このノートブックで示したシミュレーション結果のアニメーションの多くはRasterizeの呼出しを使って生成されている．これは，このノートブックに必要なディスクスペースを削減するためである．欠点は，アニメーションの見た目が呼出しを使わないときほどくっきりしないという点である．高品質のグラフィックスを得るためにはRasterizeの呼出しを削除するかコメントアウトするかするとよい．

このチュートリアルで使われる記号および対応する単位は，用語集セクションに要約してある．

複数開口によるスカラー回折

ベクトルのヘルムホルツ(Helmholtz)方程式(1)をモデル化する前に，複数開口による簡単なスカラー回折を解いてみよう．これによって，より理解しやすい方法で境界条件と要素メッシュ機能が導入できる．

この最初の例では， 方向に伝搬し 方向に偏光する電磁場を放射するレーザーを考える．このような条件下では，ベクトル電場は 成分にだけエネルギーを含んだスカラー場と考えることができる[Born & Wolf, 1999]．

この応用例では，開口幅 で で等間隔に離れた4個の開口部で不透明なスクリーンに光を当てる，自由空間波長 のヘリウムネオンレーザーを考える．開口部は切込みで 方向には無限に大きいと想定されるため， 方向の回折波へのかく乱はない．したがってこのシステムを2Dでモデル化することができる．レーザーと開口部自体は，境界の放射境界条件でモデル化される．不透明なスクリーンは，光が伝わったり反射されたりすることのない完全吸収材料でできている．境界 は完全整合層(PML)領域の始点を示す．完全整合層領域はオープンシステムを模倣する，入射光を吸収する人為境界である．オープンシステムでは，光は反射することなく無限に伝搬する[Jin, 1993]．したがって，他の境界の場はなので唯一の光源は開口部である．シミュレーション領域の寸法は ，である．伝搬領域内部の屈折率は1である．

上の配置図では，見やすいように90度回転させて伝搬 軸が垂直になるようにしている．また，配置は 方向について対称であり， 方向はスクリーンの外側を向いている．

領域

PMLアプローチを利用するためには，伝搬領域は，PML領域である追加層の長さ で拡張されなければならない．この領域では，入射波は減衰する．

境界1と3（緑の破線）はPML領域の外側境界と内側境界を示す．マーカー4の境界（オレンジ）はPMLパラメータを設定するために必要とされる．境界2（赤）は不透明のスクリーンと開口部を示す．不透明なスクリーンと開口部を区別するために，ノイマン境界条件内部で関数を使う．

「単一開口スカラー回折」チュートリアルから， 軸から遠い領域の強度プロファイルは無視できることが分かっている．MeshRefinementFunctionを使って特定の座標を持つ領域により細かいメッシュを作成し，"RegionMarker"を使ってPML領域を4つの部分領域に分割することができる．2DのMeshRefinementFunctionは要素面積で使うことができる．メッシュの三角形の面積は正三角形の面積の公式を使って近似することができる．一辺が の正三角形の面積の公式は である．

は電磁波を適切に解決するために推奨される初期の離散制約条件である[Jin, 1993]．系によっては，正確な結果を提供するためにより小さい制約条件を使う必要がある場合がある．

これで位置に依存した最大要素面積のメッシュを作成する．領域 は関心領域なので，ここでは推奨される辺の長さを使う．この領域の外側では場は実質的に0なので，FEMメソッドにとって未知の数を減らすためにより大きい辺の長さを使う．

上では，Rasterizeを使うことによってグラフィックスのサイズを小さくすることができている．見栄えをよくしたい場合はRasterizeを削除するとよい．

パラメータの設定

PML基本は時間領域および周波数領域における音響学のチュートリアルで説明してある．簡単に言うと，PML領域は吸収係数の吸収材料を模倣するものである．は伝搬領域の内部で設定されているが，最大値を持つ増加関数はPML領域内部で設定され[Jin, 1993]，そこで波を減衰させる．

上では，Rasterizeを使うことによってグラフィックスのサイズを小さくすることができている．見栄えをよくしたい場合はRasterizeを削除するとよい．

のプロットでは，領域内部の電場を変更することなく，吸収係数が領域外の各方向において壁の働きをしていることが分かる．

境界条件

不透明なスクリーンと開口を含む境界 を照らす入射波は以下の形式の放射境界条件でモデル化することができる[Jin, 1993]：

ここで は境界法線， は入射電磁波の伝搬方向，は電磁波の振幅である．境界条件は入射項 と吸収境界条件項 の2つの項の和である．

2つ目の項は，境界 が電磁波を反射しないで入射光だけが境界から外に出ることを確実にするために必要である．この場合，境界法線と波の伝搬方向の両方がz方向であるため，内積は1になる．はスクリーンと開口と区別するために使う．(2)から，を0に設定すると不透明のスクリーンを表す吸収項しか得ないが，を に設定すると初期振幅 の開口を表すことが分かる．

ここで は開口の数， は各開口の幅， は任意の1つの開口の中心から別の開口の中心までの距離である．

これでパラメータ ，，，の放射境界条件を設定する．

モデルの評価

可視化

アニメーションの質を向上させる方法はこちらでご覧いただきたい．

モデルの検証

次に解を解析解に対して検証する．モデルを検証するために，グリーン(Green)関数法で推定された積分回折式を使う[Ishimarou, 1991]．2Dでは，解析解は以下になる：

ここで は における任意の点 と領域内の点 の間のユークリッド距離である．開口は線なので，法線は 方向のベクトルである．詳細は[Ishimarou, 1991]をご参照いただきたい．

解析解についての詳細は「単一開口スカラー回折」で説明してある．

ベクトル場回折

上のセクションでは，オブジェクトを通過するスカラー場の回折を説明した．スカラー場は空間の各点で単一値を持つ．一方，ベクトル場は振幅と方向を持つため，場 は （は振幅， は方向または偏極の角度）と書くことができる．

対角の比誘電率テンソル を持つ媒体では，電場の成分は独立であり個々に解くことができる[Born & Wolf, 1999]．

次では，それぞれに直線偏光子を持つ2つの開口によるベクトル場の回折をモデル化する．線形偏光子は特定の偏光角 を持つ電磁波だけ通過させる光学フィルター器具である．偏光角 は透過軸と呼ばれる．

例えば，偏光角 の電磁波が透過軸 で線形偏光子を通過するとき，偏光子を通った後の電磁波の偏光角は であるが強度が減少する．強度は となり，残りの強度は偏光子に吸収される．これはマリュス(Malus)の法則と呼ばれる．重要なことは， と が直交()ならば，最終的な強度はゼロになるということである．

透過軸 の線形偏光子は透過行列で特徴付けられる[Born & Wolf, 1999]．

上部の開口にある線形偏光子が に固定されている，つまり入射場のx成分だけが開口を通過すると仮定する．下部の開口に位置する他の偏光子は可変の透過軸 を持つ．

上の配置図では，見やすいように90度回転させて伝搬 軸が垂直になるようにしている．また， 方向はスクリーンの外側を向いている．

パラメータの設定

場 に対するベクトルヘルムホルツ演算子，およびPML領域についての直交異方性誘電率 を設定する．この場合，両方のPDEを同時に設定するために追加のの3階テンソルが必要である．詳細はDiffusionPDETermをご参照いただきたい．

領域の定義

上で示した「2DのPMLスカラーの例」と同じ領域，ElementMesh，PMLパラメータを使う．

境界条件

線形偏光子を持つ開口の境界条件を設定する前に，偏光子の透過行列の補助関数を作成する必要がある．

ここでスカラーの例と同じアプローチを使うことができる．各開口について振幅の関数を設定する．この場合，振幅はスカラーではなく2Dベクトルである．それぞれの開口に，線形偏光子の一つは透過軸0°に，もう一つは任意の透過軸 に設置するので，透過行列に入射ベクトル場の振幅を掛ける必要がある．

は開口の幅， はそれぞれの開口の中心間の距離である．

アニメーションの質を向上させる方法はこちらでご覧いただきたい．

モデルの評価

この例では，2DのPMLの例で使ったのと同じメッシュ要素とPML領域を使う．

これでから までの のさまざまな値を調べる．

アニメーションの質を向上させる方法はこちらでご覧いただきたい．

のとき，どちらの開口も同じ偏光を持ち，先に調べたスカラーの場合と同じ結果を得る．が増加し始めると，上部の開口を出ていく電磁波の 成分が，下部の開口から出ていく電磁波の 成分を妨害する． 成分のエネルギー量はに伴って変化する．それとは別に，上部の開口から出ていく電磁波は 成分にエネルギーを含まないので，下部の開口から出ていく電磁波の 成分は何も妨害せず，大きさがに伴い変化する単一の開口パターンになる．のとき，上部と下部の開口において回折する場は直交するので，2つの単一の開口パターンを見ることになる．

場の強度はすべての成分の2乗の和，つまり ℐ∝E_x²+E_y² に比例する．

用語集

参照

1.  Born, M. and Wolf, E.(1999). Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th ed.). Cambridge: Cambridge University Press.

2.  Jackson, John D. Classical Electrodynamics. New York :Wiley, 1999.

3.  Jin, Jian-Ming. The finite element method in electromagnetics. John Wiley & Sons, 2015.

4.  A. Ishimarou, Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering, Prentice Hall, 1991.