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AbelianGroup

AbelianGroup[{n₁,n₂,…}]

次数 n₁,n₂,…の巡回群の直積である．

詳細

AbelianGroup[{n₁,n₂,…}]の次数 n_iは，非負の整数でなければならない．
AbelianGroup[{n₁,n₂,…}]はデフォルトで点{1,…,n₁+n₂+…}の置換群として表される．

予備知識

AbelianGroup[{n₁,n₂,…,n_k}]は，非負の整数次数 n₁,n₂,…,n_kを持った巡回群の直積として定義される可換群を表す．ここで，群 , , …の直積は，もとになる集合が，, , …の順序タプルである集合のデカルト積からの類推であり，群の方向はとなるように成分ごとに取られる．
一般に，「アーベル群」という名称は可換である群，つまりである群に言及する際に使われる．このような群の方向はすべての元について恒等式を満足する．有限アーベル群の基本定理には，「すべて」の有限アーベル群を巡回群の直積として表すことができる，とある．結果として，関数AbelianGroupを使って任意の有限アーベル群を表すことができる．
AbelianGroup[{n₁,n₂,…,n_k}]のデフォルト表現は，元についての置換群としてのものである．のとき，AbelianGroup[{n}]はCyclicGroup[n]に等しい（AbelianGroup[{0}]とAbelianGroup[{1}]はどちらも，元が厳密に1つである自明群と等しい）．
AbelianGroup[{n₁,n₂,…,n_k}]には，GroupOrder，GroupGenerators，GroupElements等を含む通常の群論関数を適用することができる．アーベル群AbelianGroup[{n₁,n₂,…,n_k}]の数多くの計算済みの特性をFiniteGroupData[{"AbelianGroup",{n₁,n₂,…,n_k}},"prop"]によって得ることができる．
AbelianGroupは他の数多くのシンボルと関連している．数学的には，AbelianGroup[{n₁,n₂,…,n_k}]は群CyclicGroup[n₁],CyclicGroup[n₂],…,CyclicGroup[n_k]の直積に等しい．Wolfram言語に組み込まれた，整数でパラメータ化される他の有限群の無限族には，AlternatingGroup，CyclicGroup，DihedralGroup，SymmetricGroupがある．

例題

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例 (3)

アーベル群の元の数：

アーベル群の置換の生成元：

アーベル群の置換表現の元：

スコープ (1)

任意数の任意次数を持つ巡回群の直積：

特性と関係 (2)

非零の次数については，AbelianGroup[{n₁,n₂,…}]の位数は n_iの積である：

p 素数を持つ群AbelianGroup[{p,p,…}]は，基本アーベル群と呼ばれる．そのような群では，自明ではない元はすべて位数 p を持つ：

おもしろい例題 (1)

2つの巡回群の直積のケイリーグラフはトーラスに似た形になる：

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