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AppellF1

AppellF1[a,b1,b2,c,x,y]

二変数のアッペル(Appell)超幾何関数 である．

詳細

  • AppellF1は，超幾何級数を一般化して多項式係数を持つHorn偏微分方程式系を解Appell関数族の一員である．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • は，領域max(TemplateBox[{x}, Abs],TemplateBox[{y}, Abs])<1の中で収束する超幾何級数 sum_(m=0)^inftysum_(n=0)^infty(TemplateBox[{a, {m, +, n}}, Pochhammer] TemplateBox[{{b, _, 1}, m}, Pochhammer] TemplateBox[{{b, _, 2}, n}, Pochhammer] )/(TemplateBox[{c, {m, +, n}}, Pochhammer]m! n!)x^m y^nを介して主定義を得る．
  • 引数の実数値についてのアッペルF1級数の収束領域は以下の通りである．
  • 一般に，は の形のHorn偏微分方程式系を満足する． »
  • は または のとき，に簡約される．
  • 特別な引数の場合，AppellF1は自動的に厳密値を計算する．
  • AppellF1は任意の数値精度で評価できる．
  • AppellF1[a,b1,b2,c,x,y]は，二変数複素空間でRe(x)=1およびRe(y)=1を満たす特異線を有し， および でからに伸びる半直線に沿って不連続な分枝切断線を有する．
  • FullSimplifyおよびFunctionExpandはAppellF1の変換規則を含んでいる．

例題

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例  (8)基本的な使用例

数値的に評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-tbhg

記号的に評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-dwr7ms

総和の定義：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-vxycv

実数の部分集合上でプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-m51

複素数の部分集合上でプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-kiedlx

原点における級数展開：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-f65ufv

Infinityにおける級数展開：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-fgrnr3

特異点における級数展開：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-onayf6

スコープ  (28)標準的な使用例のスコープの概要

数値評価  (6)

数値的に評価する：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-l274ju
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-cksbl4

高精度で評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-b0wt9

出力精度は入力精度に従う：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-xth5g

複素数入力：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-hfml09

AppellF1を高精度で効率的に評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-di5gcr
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-bq2c6r

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-cw18bq

配列の要素ごとの値を計算する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-thgd2

MatrixFunctionを使って行列のAppellF1関数を計算することもできる：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-o5jpo

特定の値  (4)

固定点における値：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-o7spmt
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-bjvvy9

記号的に評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-nev5ew
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ff32fh

ゼロにおける値：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-jevg27

AppellF1を単純なパラメータについて評価するとより単純な関数になる：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-dk2yax
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-yc3mn
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ih9u38

可視化  (4)

AppellF1関数をさまざまなパラメータについてプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ecj8m7

AppellF1を第2パラメータ の関数としてプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-gq0e7

の実部をプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-8gdas

の虚部をプロットする：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ceiagl

F_1(2,1,4,3,0,z)の実部を三次元でプロットする：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-btjb9w

F_1(2,1,4,3,0,z)の虚部を三次元でプロットする：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-bwytwm

関数の特性  (9)

AppellF1の実領域：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-cl7ele

AppellF1の複素領域：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-imtovy
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-fholy3

AppellF1は解析関数ではない：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-h5x4l2

特異点と不連続点の両方を持つ：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-mdtl3h
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-mn5jws

TemplateBox[{1, 1, 1, 1, 4, x}, AppellF1]は非減少でも非増加でもない：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-nlz7s

TemplateBox[{1, 1, 1, 1, 4, x}, AppellF1]は単射である：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-poz8g
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ctca0g

TemplateBox[{1, 1, 1, 1, 4, x}, AppellF1]は全射ではない：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-cxk3a6
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-frlnsr

TemplateBox[{1, 1, 1, 1, 4, x}, AppellF1]は非負でも非正でもない：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-kvwb5k

TemplateBox[{1, 1, 1, 1, 4, x}, AppellF1]は凸でも凹でもない：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-8kku21

TraditionalFormによる表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-im209a

微分  (3)

y についての一次導関数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-krpoah

y についての高次導関数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-z33jv

a=b1=b2=2， c=10，x=1/2のとき，y についての高次導関数をプロットする：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-fxwmfc

y についての 次導関数の式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-cb5zgj

級数展開  (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-ewr1h8

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-binhar

生成点におけるテイラー展開：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-jwxla7

アプリケーション  (1)この関数で解くことのできる問題の例

アッペル関数 は，多項式係数を持つ以下の偏微分方程式系を解く：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-c7ls19

が解であることを確かめる：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-gxo7wy
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-hxlylz

特性と関係  (2)この関数の特性および他の関数との関係

AppellF1によって積分を評価する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-bu0r44
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-npk18o

FullSimplifyを使ってAppellF1を含む式を簡約する：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-f8hbfb

おもしろい例題  (1)驚くような使用例や興味深い使用例

初等関数および特殊関数の多くはAppellF1の特殊ケースである：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-chq0g5
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0cg43j0b0-2lhh82
Wolfram Research (1999), AppellF1, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF1.html （2023年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1999), AppellF1, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF1.html （2023年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1999. "AppellF1." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2023. https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF1.html.

APA

Wolfram Language. (1999). AppellF1. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AppellF1.html

BibTeX

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BibLaTeX

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