AsymptoticDSolveValue

AsymptoticDSolveValue[eqn,f,xx0]

计算微分方程 eqn 的渐近逼近，f[x] 以 x0 为中心.

AsymptoticDSolveValue[{eqn1,eqn2,…},{f1,f2,…},xx0]

计算微分方程组的渐近逼近.

AsymptoticDSolveValue[eqn,f,x,ϵϵ0]

计算 f[x,ϵ] 的渐近逼近，参数 ϵ 以 ϵ0 为中心.

AsymptoticDSolveValue[eqn,f,…,{ξ,ξ0,n}]

计算 n 阶渐近逼近.

更多信息和选项

  • 微分方程的渐近逼近亦被称为渐近展开式、摄动解、正则摄动和奇异摄动等. 也可用计算其中一些式子的特定方法来称呼它们，如 Frobenius 级数、WKB、边界层方法等.
  • 渐近逼近通常用于求解无法找到精确解的问题，或者为计算、比较和解释寻求更简单的答案.
  • AsymptoticDSolveValue[eqn,…,xx0] 计算 eqn 的渐近展开式的首项. 用 SeriesTermGoal 可指定计算更多的项.
  • 如果精确结果为 g[x]，在 x0 处的 n 阶渐近逼近为 gn[x]，那么当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]].
  • 渐近逼近 gn[x] 常以和 gn[x]αkϕk[x] 的形式给出，其中 {ϕ1[x],…,ϕn[x]} 是当 xx0 时的渐近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]. 则当 xx0 时，结果为 AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0] 或 g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]].
  • 常见的渐近尺度包括：
  • Taylor 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 xx0 时
    Laurent 尺度，当 x±∞ 时
    Puiseux 尺度，当 xx0 时
  • 用于表示渐近逼近的尺度是从问题中自动推断出来的，通常可以包含更多的奇异尺度.
  • 中心点 x0 可以为任意有限或无限大实数或复数.
  • 阶数 n 必须为一个正整数，指定渐近解的近似阶数. 与多项式的次数无关.
  • 规约 u∈Vectors[n] 或 u∈Matrices[{m,n}] 可用于分别表示因变量 u 是向量值变量或矩阵值变量. » »
  • 可以给出以下选项：
  • AccuracyGoalAutomatic寻求的绝对准确度
    Assumptions$Assumptions对参数的设定
    GenerateConditionsAutomatic是否给出与参数的条件有关的答案
    GeneratedParameters None怎样命名生成的参数
    MethodAutomatic所用的方法
    PerformanceGoal$PerformanceGoal优化目标
    PrecisionGoalAutomatic寻求的精度
    SeriesTermGoalAutomatic近似式的项数
    WorkingPrecisionAutomatic内部计算中使用的精度
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticDSolveValue 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

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基本范例  (3)

计算一个微分方程的渐近近似：

求微分方程的级数解：

绘制解：

求摄动问题的渐近展开式：

绘制解：

范围  (49)

基本用法  (8)

计算常微分方程在 x=0 附近的阶数为 10 的级数解：

绘制渐近解的连续逼近：

用 Accumulate 来构建逼近解的列表：

获取所要求的绘图：

在 x=3 附近计算级数解：

获取通解的级数近似：

获取不同项数的级数近似：

计算常微分方程组的级数解：

计算摄动问题的级数解：

改变项数：

求摄动问题的渐近解：

绘制解的连续逼近：

常点  (7)

求线性一阶常微分方程在常点 x=0 处的泰勒级数解：

绘制解的连续逼近：

线性二阶常微分方程在常点 x=0 处的级数解：

绘制解的连续逼近：

线性非齐次常微分方程在常点 x=0 处的级数解：

具有无理系数的线性常微分方程在常点 x=0 处的级数解：

线性高阶常微分方程在常点 x=0 处的级数解：

线性常微分方程在常点 x=1 处的级数解：

线性常微分方程在常点处的通解的级数近似：

正则奇点  (5)

求线性一阶常微分方程在正则奇点 x=0 处的 Frobenius 级数解：

绘制解的连续逼近：

线性二阶常微分方程在正则奇点 x=0 处的级数解：

求线性高阶常微分方程在正则奇点 x=0 处的级数解：

此例中级数解就是精确解：

线性常微分方程在正则奇点 x=1 处的级数解：

具有无理系数的线性常微分方程在正则奇点 x=0 处的级数解：

非正则奇点  (3)

求线性一阶常微分方程在非正则奇点 x=0 处的渐近解：

绘制解的连续逼近：

线性二阶常微分方程在非正则奇点 x=0 处的级数解：

线性高阶常微分方程在非正则奇点 x=0 处的级数解：

非线性常微分方程  (7)

求非线性一阶常微分方程在 x=0 处的级数解：

绘制解的连续逼近：

非线性二阶常微分方程在 x=0 处的级数解：

绘制解的连续逼近：

非线性非齐次常微分方程在常点 x=0 处的级数解：

具有无理系数的非线性常微分方程在 x=0 处的级数解：

非线性高阶常微分方程在 x=0 处的级数解：

非线性常微分方程在 x=1 处的级数解：

非线性常微分方程的通解的级数近似：

无穷大处的解  (4)

求线性常微分方程在常点 x=∞ 处的级数解：

绘制解的连续逼近：

求线性常微分方程在正则奇点 x=∞ 处的级数解：

求线性常微分方程在非正则奇点 x=∞ 处的级数解：

求非线性常微分方程在 x=∞ 处的级数解：

常微分方程组  (7)

求线性一阶常微分方程组在常点 x=0 处的级数解：

绘制解的逼近：

线性高阶常微分方程组在常点 x=0 处的级数解：

非齐次线性常微分方程组在常点 x=0 处的级数解：

线性常微分方程组在常点 x=1 处的级数解：

线性常微分方程组在常点的通解的级数近似：

使用向量变量在寻常点 x=0 处的 ODE 线性方程组的级数解：

使用矩阵变量在寻常点 x=0 处的 ODE 线性方程组的级数解：

正则摄动  (2)

求正则线性摄动问题在 ϵ=0 处的级数解：

绘制解的连续逼近：

求正则非线性摄动问题在 ϵ=0 处的级数解：

绘制解的逼近：

奇异摄动  (3)

求奇异边界值问题的一阶近似：

绘制不同参数值的近似：

与数值解比较：

求奇异边界值问题的二阶近似：

绘制不同参数值的近似：

求 λ=∞ 处的二阶摄动近似：

绘制较大参数值的近似：

分数阶常微分方程 (ODE)  (3)

求阶数为 0.7 的线性分数 ODE 的级数解：

使用 DSolveValue 求解同一个 ODE：

对不同的 阶逼近值的精确解和渐近解进行比较：

求解具有非常数系数的线性分数阶 ODE 的级数解：

求解两个线性分数阶 ODE 方程组的级数解：

绘制解：

选项  (1)

GeneratedParameters  (1)

使用命名不同的常量：

使用有下标的常量：

应用  (7)

计算 Cos 的泰勒多项式近似：

通过指定更高阶数扩大近似范围：

研究范围随近似阶数变化的情况：

在正则奇点 x=0 处求解 阶贝塞尔方程：

绘制通解的两个分量：

Airy 方程在 x=∞ 处有一个非正则奇点：

计算非正则奇点处的渐近展开式：

与 Infinity 处的 Airy 函数展开式相比较：

绘制 Airy 函数和近似：

计算非线性一阶常微分方程的精确多项式解：

验证这是常微分方程的解：

计算一阶常微分方程组系统的均衡解：

可视化方程组定义的向量场：

在广义初始条件下求解方程组：

求均衡解：

求 Duffing 方程的一阶摄动展开式：

绘制近似解：

与精确解相比较：

求对应于 的 Sturm–Liouville 问题的近似特征函数，其中 取较大值. 用较小参数 重写问题：

获取一阶渐近逼近：

忽略 Csc 常量因子，使用 构建特征函数：

绘制近似特征函数：

属性和关系  (3)

给定阶数的解可以满足微分方程：

用 DSolveValue 求精确解：

用 NDSolveValue 求数值解：

可能存在的问题  (1)

此例中返回的展开式少于四项：

对于更普通的问题，展开式中出现缺失的项：

Wolfram Research (2018)，AsymptoticDSolveValue，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticDSolveValue.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (2018)，AsymptoticDSolveValue，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticDSolveValue.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2018. "AsymptoticDSolveValue." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticDSolveValue.html.

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Wolfram 语言. (2018). AsymptoticDSolveValue. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticDSolveValue.html 年

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