BarnesG

BarnesG[z]

バーンズ(Barnes)のG関数 TemplateBox[{z}, BarnesG]を与える．

詳細

  • BarnesGは二重ガンマ関数としても知られている．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • バーンズのG関数は，正の整数 については TemplateBox[{n}, BarnesG]=product_(k=1)^(n-1)TemplateBox[{k}, Gamma]と定義され，その他の場合は TemplateBox[{z}, BarnesG]=(2 pi)^(z/2) exp((z-1) (TemplateBox[{z}, LogGamma]-z/2)-TemplateBox[{{-, 2}, z}, PolyGamma2])と定義される．
  • バーンズのG関数は関数方程式 を満足する．
  • BarnesG[z]は不連続な分枝切断線を持たない z の整関数である．
  • BarnesGは，特別な引数の場合に自動的に厳密値を計算する．
  • BarnesGは任意の数値精度で評価できる．
  • BarnesGは自動的にリストに縫い込まれる．
  • BarnesGはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (5)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

スコープ  (27)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のBarnesG関数を計算することもできる：

特定の値  (4)

無限大における値：

ゼロにおける値：

半整数の引数について記号的に評価する：

1/4の整数倍について記号的に評価する：

最初の正の最大値を求める：

可視化  (2)

BarnesG関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性  (10)

BarnesGはすべての実数値と複素数値について定義される：

BarnesGの値域を近似する：

BarnesGは x の解析関数である：

BarnesGは非増加でも非減少でもない：

BarnesGは単射ではない：

BarnesGは全射である：

BarnesGは非負でも非正でもない：

BarnesGは特異点も不連続点も持たない：

BarnesGは凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分  (2)

z についての一次導関数：

z についての高次導関数：

z についての高次導関数をプロットする：

級数展開  (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

生成点におけるテイラー展開：

Infinityにおける級数展開を求める：

アプリケーション  (5)

BarnesGの整数値は超階乗(superfactorial)に関連する：

BarnesGは記号ソルバによって生成されることがある：

大きい整数の格納に必要なビット数を計算する：

厳密な結果と比較する：

が奇素数の場合，ウィルソンの定理を一般化するとTemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod] となる．最初のいくつかの奇素数を確認する：

最初の 個の正の整数と整数シフト で構築されたコーシー(Cauchy)行列を定義する：

任意の についてのコーシー行列を示す：

コーシー行列の行列式はBarnesGによって表すことができる．最初のいくつかのケースについて，特定の の値を使って検証する：

特性と関係  (2)

BarnesGは微分方程式を満足する：

FindSequenceFunctionはBarnesG数列を認識する：

おもしろい例題  (3)

ベル(Bell)数から構築されたハンケル(Hankel)行列の行列式：

オイラー数から構築したハンケル行列の行列式：

ヒルベルト行列の行列式はバーンズのG関数で表すことができる：

最初のいくつかのケースについて式を確認する：

Wolfram Research (2008), BarnesG, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html （2022年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2008), BarnesG, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html （2022年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2008. "BarnesG." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html.

APA

Wolfram Language. (2008). BarnesG. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/BarnesG.html

BibTeX

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BibLaTeX

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