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BesselJ

第1種ベッセル関数を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
において，微分方程式が成り立つ．
BesselJ[n,z]は，複素 z 平面上，〜の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
FullSimplifyとFunctionExpandはBesselJの変換規則を含む．
特別な引数の場合，BesselJは，自動的に厳密値を計算する．
BesselJは任意の数値精度で評価できる．
BesselJは自動的にリストに縫い込まれる．
BesselJはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でをプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

スコープ (52)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素引数とパラメータについて評価する：

BesselJを高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のBesselJ関数を計算することもできる：

特定の値 (3)

半整数の指標について，BesselJを評価すると初等関数になる：

無限大における極限値：

の最初の3つの零点：

Solveを使っての最初の正の零点を求める：

結果を可視化する：

可視化 (4)

整数次()および半整数次()について，BesselJ関数をプロットする：

BesselJ関数の実部と虚部を半整数次数についてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (12)

は，すべての実数値と虚数家について定義される：

は，0より大きいすべての実数値について定義される：

複素領域はを除く平面全体である：

の近似関数範囲：

の近似関数範囲：

整数について，はが偶数か奇数かによってについての偶関数あるいは奇関数である：

これは $TemplateBox[{n, z}, BesselJ]=(-1)^n TemplateBox[{n, {-, z}}, BesselJ]$ として表現できる：

は整数についての解析関数である：

非整数次数については解析的ではない：

BesselJは非減少でも非増加でもない：

BesselJは単射ではない：

BesselJは全射ではない：

BesselJは非負でも非正でもない：

は，が非整数のとき，（を含む可能性あり）について特異である：

不連続性についても同じことが言える：

BesselJは凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

一次導関数：

高次導関数：

整数次数および半整数次数でより高次の導関数をプロットする：

次導関数の式：

積分 (5)

Integrateを使ってBesselJの不定積分を計算する：

BesselJを含む式の不定積分：

定積分：

原点を中心とする区間におけるの定積分は0である：

原点を中心とする区間における（偶関数）の定積分：

これは，半分の区間における積分の2倍である：

級数展開 (6)

の周りののテイラー(Taylor)展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

BesselJの級数展開における一般項：

の周りのの級数展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

BesselJの漸近近似：

生成点におけるテイラー(Taylor)展開：

BesselJはベキ級数に適用できる：

積分変換 (4)

FourierTransformを使ってフーリエ(Fourier)変換を計算する：

LaplaceTransform：

HankelTransform：

MellinTransform：

関数の恒等式と簡約 (4)

FullSimplifyを使ってベッセル関数を簡約する：

恒等式を確かめる：

漸化式 $z (TemplateBox[{{n, -, 1}, z}, BesselJ] + TemplateBox[{{n, +, 1}, z}, BesselJ])=2 n J_n(z)$ ：

整数と任意の固定について $TemplateBox[{{-, n}, z}, BesselJ]=(-1)^n TemplateBox[{n, z}, BesselJ]$ である：

関数表現 (5)

BesselIを介した表現：

級数表現：

積分表現：

MeijerGによる表現：

DifferenceRootによる表現：

アプリケーション (3)

ベッセル微分方程式を解く：

別の微分方程式を解く：

フラウンホーファー(Fraunhofer)回析は小さいフレネル(Fresnel)数の極限で出現する回析の一種である．円形開口対回析角のフラウンホーファー回析パターン強度をプロットする：

Keplerの方程式は楕円軌道における物体の動きを説明する．Keplerの方程式の解を切断フーリエ正弦級数として近似する：

厳密解：

解の間の差をプロットする：

特性と関係 (5)

FullSimplifyを使ってベッセル関数を簡約する：

SumおよびIntegrateはBesselJを生成することがある：

BesselJを含む式の極限を求める：

BesselJはDifferentialRootとして表すことができる：

BesselJの指数母関数：

考えられる問題 (1)

引数が数値の場合，半整数のベッセル関数は自動的には評価されない：

引数が記号的な場合には自動的に評価される：

このため，機械精度の評価では，結果が非常に不正確になることがある：

おもしろい例題 (1)

のリーマン面をプロットする：

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