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BesselJ

给出第一类贝塞尔函数 .

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
是微分方程的解.
BesselJ[n,z] 在复平面 z 上有分支切割，从到 .
FullSimplify 和 FunctionExpand 含有 BesselJ 的变换规则.
对于一些特殊的参数，BesselJ 自动运算出精确值.
BesselJ 可求任意数值精度的值.
BesselJ 自动逐项作用于列表的各个元素.
BesselJ 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (5)

数值化计算：

在实数的子集上绘制：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

范围 (52)

数值运算 (6)

进行数值运算：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

对复变量和参量求值：

在高精度条件下高效运行 BesselJ：

使用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的保证区间：

或者使用 Around 计算平均情况下的统计区间：

计算数组的逐元素数值：

或使用 MatrixFunction 计算矩阵 BesselJ 函数：

特殊值 (3)

对于半整数指数，BesselJ 求解为初等函数：

无穷处的极限值：

的前三个零点：

用 Solve 求的第一个正零点：

可视化结果：

可视化 (4)

绘制整数 () 和半整数 () 阶数的 BesselJ 函数：

绘制半整数阶 BesselJ 函数的实部和虚部：

绘制的实部：

绘制的虚部：

绘制的实部：

绘制的虚部：

函数属性 (12)

是针对所有实数和复数定义的：

是针对所有大于 0 的实数定义的：

其复定义域是除之外的整个平面：

的近似值域：

的近似值域：

对于整数，是关于的奇函数还是偶函数，取决于是偶数还是奇数：

可将其表示为 $TemplateBox[{n, z}, BesselJ]=(-1)^n TemplateBox[{n, {-, z}}, BesselJ]$ :

对于整数，是的解析函数：

非整数阶数的函数不是解析函数：

BesselJ 既不是非递增，也不是非递减：

BesselJ 不是单射函数：

BesselJ 不是满射函数：

BesselJ 既不是非负，也不是非正：

时，有奇点，为非整数时，可能还包括：

其不连续性也是如此：

BesselJ 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

绘制整数阶和半整数阶函数的高阶导数：

阶导数的公式：

积分 (5)

用 Integrate 计算 BesselJ 的不定积分：

含有 BesselJ 的表达式的不定积分：

定积分：

在以原点为中心的积分区间上的定积分为 0：

（被积函数为偶函数）在以原点为中心的积分区间上的定积分：

这是半区间上的积分的两倍：

级数展开式 (6)

在处的泰勒展开式：

绘制在处的前三个近似式：

BesselJ 级数展开式的通项:

在处的级数展开式：

绘制在处的前三个近似式：

BesselJ 的渐近逼近：

在常点的泰勒展开式：

BesselJ 可被应用于幂级数：

积分变换 (4)

用 FourierTransform 计算傅立叶变换：

LaplaceTransform:

HankelTransform:

MellinTransform:

函数恒等式和化简 (4)

用 FullSimplify 化简贝塞尔函数：

验证恒等式：

递推关系式 $z (TemplateBox[{{n, -, 1}, z}, BesselJ] + TemplateBox[{{n, +, 1}, z}, BesselJ])=2 n J_n(z)$ ：

对于整数和任意固定不变的， $TemplateBox[{{-, n}, z}, BesselJ]=(-1)^n TemplateBox[{n, z}, BesselJ]$ ：

函数表示 (5)

用 BesselI 表示：

级数表示：

积分表示：

用 MeijerG 表示：

用 DifferenceRoot 表示：

应用 (3)

解贝塞尔微分方程：

求解另一个微分方程：

夫琅禾费衍射 (Fraunhofer diffraction) 是发生在小菲涅尔数 (small Fresnel number) 极限下的衍射类型. 绘制圆形光圈的夫琅禾费衍射图案的强度与衍射角的关系：

开普勒方程描述了一个物体在椭圆轨道上的运动. 开普勒方程的近似解是截断的傅里叶正弦级数：

精确解：

对不同解之间的差值作图：

属性和关系 (5)

用 FullSimplify 简化贝塞尔函数：

Sum 和 Integrate 能够产生 BesselJ：

求解含有 BesselJ 的表达式的极限：

BesselJ 可被表示为 DifferentialRoot：

BesselJ 的指数母函数：

可能存在的问题 (1)

对于数值自变量，半整数贝塞尔函数不能自动求值：

若自变量为符号，则为：

这将致使机器精度求值中存在大误差：

巧妙范例 (1)

绘制的黎曼曲面：

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