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Cross

Cross[a,b]

给出了 a 和 b 的向量叉积.

更多信息

如果 a 和 b 是长度为 3 （对应于三维空间向量）的列表，则 Cross[a,b] 同样是长度为 3 的列表.
Cross[a,b] 可以以 StandardForm 和 InputForm 形式输入，例如 ab，a cross b 或 a\[Cross]b. 注意 \[Cross] 和 \[Times]之间的不同.
Cross 是反对称的，因此 Cross[b,a] 即是 -Cross[a,b]. »
Cross[{x,y}] 给出垂直向量 {-y,x}.
通常，Cross[v₁,v₂,…,v_n-1] 是一个完全反对称的乘积，它取长度为 n 的向量，并生成一个长度为 n 的与所有 v_i 正交的向量.
Cross[v₁,v₂,…] 给出 v_i 的楔积的对偶，当作 n 维中的一种形式.

范例

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基本范例 (3)

两个三维向量的叉积：

可视化两个初始向量、它们所在的平面和积：

一个二维向量的叉积：

可视化两个向量：

用 cross 输入：

范围 (9)

求机器精度向量的叉积：

复向量的叉积：

精确向量的叉积：

任意精度向量的叉积：

符号向量的叉积：

计算 QuantityArray 向量的叉积：

保留了 QuantityArray 结构：

格式化结果：

二维向量的叉积：

结果垂直于原来的向量：

定义两个三维向量：

验证 Cross 是反对称的：

定义三个四维向量：

计算向量的叉积：

验证积与三个向量正交：

计算所有顺序的积；两个向量每次交换顺序只是改变了结果的正负：

应用 (10)

几何应用 (5)

求 2 个向量所在平面的法向量：

验证结果垂直于两个输入：

平面的方程：

求在平面内与一个向量垂直的向量：

验证 u 和 v 互相垂直：

求一个向量，正交于 n 维空间的 n-1 个向量：

求由两个向量定义的平行四边形的面积：

与用 Area 直接计算的结果相比较：

也可用来计算，其中是向量间的夹角：

可视化平行四边形：

Frenet–Serret 系统用向量基和标量函数中对每个空间曲线的属性进行编码. 考虑以下曲线：

用前两个导数的叉积定义切线、法线和副法线向量：

这三个向量定义了的右手定则的标准正交基：

计算曲率和扭矩，它们量化了曲线的弯曲程度：

用 FrenetSerretSystem 可视化答案：

可视化曲线和相关的移动基，也称为框架：

物理应用 (5)

求在点处垂直向下施加的力相对于原点的扭矩：

扭矩由公式给出：

求质量为，速度为，相对于原点的位置为的粒子的角动量：

角动量由给出，其线性动量等于：

求带有电荷，速度为，穿过的磁场向正方向移动的粒子受到的磁力：

磁力由公式给出：

用 UnitSimplify 获取预期的单位：牛顿，用 MatrixForm 格式化向量：

考虑一个被约束在离轴固定距离旋转的粒子：

以叉积的形式定义角速度：

可用表示许多属性. 线速度等于：

垂直或向心加速度等于：

由于和正交，则有 $TemplateBox[{{a, _, {(, perp, )}}}, Norm]=TemplateBox[{omega}, Norm] TemplateBox[{{r, ^, {(, ', )}}}, Norm]$ ：

著名的向心加速度公式 $TemplateBox[{{a, _, {(, perp, )}}}, Norm]=(TemplateBox[{{r, ^, {(, ', )}}}, Norm]^2)/(TemplateBox[{r}, Norm])=(TemplateBox[{v}, Norm]^2)/(TemplateBox[{r}, Norm])$ 同样成立：

的导数是角速度：

平行于运动方向的加速度等于：

注意线加速度等于：

固定三维向量的叉积可以用矩阵乘法表示，这在研究旋转运动时很有用. 构建表示线性算符的反对称矩阵，其中是关于轴的角速度：

验证的操作即相当于执行与的叉积：

时间时的旋转矩阵是乘以上面矩阵的矩阵指数：

用 RotationMatrix 验证：

时间零时的点将为时间时的：

速度将由给出：

从旋转轴到的向量为 $(v(t)xomega)/(TemplateBox[{omega}, Norm]^2)$ ：

可视化该运动及相关向量：

属性和关系 (10)

如果 u 和 v 是线性无关的，u×v 是非零向量，并垂直于 u 和 v：

如果 u 和 v 是线性相关的，u×v 是零：

对于三维向量， $TemplateBox[{{{u, _, 1}, x, {u, _, 2}}}, Norm]=TemplateBox[{{u, _, 1}}, Norm] TemplateBox[{{u, _, 2}}, Norm]sin(theta)$ ，其中是和之间的夹角：

Cross[u₁,…,u_k] 的范数是 u_i 形成的 k 维平行六面体的度量：

Cross 是反对称的：

Cross 关于每个参数都是线性的：

由于 Cross 是线性的，可用矩阵乘法表示算符：

用反对称矩阵乘以向量即相当于：

对应的算符以相反的顺序计算叉积：

由于反对称，这两个矩阵互为转置或互为负矩阵：

维中的 Cross 是将个向量缩并为 Levi-Civita 张量：

维中的个向量的 Cross 是 ( 乘以张量积的霍奇对偶：

个 -向量的 TensorWedge 的霍奇对偶与这些向量的 Cross 相同：

TensorWedge 可以处理更高阶的形式：

互动范例 (1)

可视化 - 平面中两个可拖动的向量、它们的叉积（平行于轴）以及它们形成的平行四边形：

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