DiscreteMinLimit

DiscreteMinLimit[f,k∞]

k が ∞ に近付くときの数列 f の最小極限_k∞f(k)を整数上で与える．

DiscreteMinLimit[f,{k₁,…,k_n}]

ネストした最小極限⋯ f(k₁,…,k_n)を整数上で与える．

DiscreteMinLimit[f,{k₁,…,k_n}{,…,}]

多変量最小極限f(k₁,…,k_n)を整数上で与える．

詳細とオプション

DiscreteMinLimitは，下極限としても知られている．
DiscreteMinLimitは極限の最大下界を計算し，常に実数値数列について定義される．収束条件や実際に極限が存在するかどうかに依存しないその他の漸近的特性を与えるためにしばしば使われる．
DiscreteMinLimit[f,k∞]はf として入力することができる．テンプレートはdmlimで入力し，を使ってカーソルを真下付き文字から本体に移動する．
DiscreteMinLimit[f,{k₁,…,k_n}{,…,}]は…f として入力できる．
可能な極限点は±∞である．
最小極限は最小包絡線数列min[ω]の極限として定義される．
DiscreteMinLimit[f,k∞] DiscreteLimit[min[ω],ω∞]

DiscreteMinLimit[f,{k₁,…,k_n}{∞,…,∞}] DiscreteLimit[min[ω],ω∞]
DiscreteMinLimit[f[k],k-∞]はDiscreteMinLimit[f[-l],l∞]等と等価である．
この定義は，一変量の f[k]については最小包絡線 min[ω]MinValue[{f[k],k≥ω∧k∈},k]を，多変量のf[k₁,…,k_n]についてはmin[ω]MinValue[{f[k₁,…,k_n],k₁≥ω∧⋯∧k_n≥ω∧k_i∈},{k₁,…,k_n}]を使う．数列min[ω]は ω∞のとき単調増加であるので，常に極限を持つ．それは±∞である可能性がある．
次の図ではmin[k]とmin[Min[k₁,k₂]]が青で示されている．

最小極限が求まらなかったとき，DiscreteMinLimitは未評価で返される．
次は使用可能なオプションである．

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
GenerateConditions	Automatic	パラメータについての条件を生成するかどうか
Method	Automatic	使用するメソッド
PerformanceGoal	"Quality"	パフォーマンスのどの面について最適化するか

次はGenerateConditionsの可能な設定である．
Automatic 一般的ではない条件のみ

True すべての条件

False 条件なし

None 条件が必要な場合は未評価で返す
PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，DiscreteMinLimitは，一般に，より多くの問題を解いたりより簡単な結果を生成したりするが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．

例題

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例 (4)

数列の最小極限：

積の最小極限：

dmlim を使ってテンプレートを入力し，を使って真下付き文字から本体に移動する：

TraditionalFormによる表示：

スコープ (22)

基本的な用法 (4)

n がInfinityに近付くときの数列の最小極限を計算する：

n が-Infinityに近付くときの数列の最小極限を計算する：

多変量数列のネストした極限を計算する：

数列のリストの極限を計算する：

初等関数数列 (6)

有理指数数列の最小極限を求める：

収束等比数列：

振動等比数列：

発散振動等比数列：

指数数列：

ベキ数列：

三角数列：

逆三角数列：

対数数列：

整数関数数列 (3)

Factorialを含む数列：

FactorialPowerを含む数列：

Fibonacciを含む数列の極限を計算する：

周期数列 (3)

周期数列の極限：

最終的に周期的になる数列：

密に非周期的な数列：

区分関数数列 (2)

有限最小極限を持つ区分数列：

無限最小極限を持つ区分数列：

周期条件を持つ区分数列：

整数論の数列 (2)

LCMとGCDを含む極限：

Primeを含む数列：

多変量数列 (2)

ネストした最小極限を計算する：

数列とその極限をプロットする：

多変量最小極限：

オプション (6)

Assumptions (1)

パラメータについての仮定を指定する：

仮定が変わると生成される結果が変わることがある：

GenerateConditions (3)

条件を述べずに結果を返す：

この結果は x>1のときにのみ有効である：

結果がパラメータの値に依存する場合には未評価で返す：

デフォルトで，一意的な結果が返されるような条件が生成される：

デフォルトで，特殊な値だけが結果を無効にする場合は条件が生成されない：

GenerateConditions->Trueとすると，一般的ではない条件もレポートされる：

Method (1)

周期数列の最小極限をデフォルトメソッドを使って計算する：

周期数列用のメソッドを使って同じ答を得る：

0と1の間で振動しているので，数列の極限は定義されない：

PerformanceGoal (1)

DiscreteMinLimitは，任意に大きい周期の数列を含む極限を計算する：

PerformanceGoalを使って，そのような場合に高くつくかもしれない計算を避ける：

MethodオプションはPerformanceGoalをオーバーライドする：

アプリケーション (3)

数列の漸近的最小値を計算する：

数列と漸近的最小値をプロットする：

次の数列には極限がないことを検証する：

DiscreteMaxLimitとDiscreteMinLimitは等しくないことを示す：

DiscreteLimitを使って極限が存在しないことを確認する：

$_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))>0$ のとき，アルゴリズムのランタイム関数は「big-omega of 」()であると言われる：

同様に， $_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty) (f(n))/(g(n))<infty$ および $_(n->_(TemplateBox[{}, Integers])infty)(f(n))/(g(n))>0$ のとき，は「big-theta of 」()であると言われる：