Fourier

Fourier[list]

複素数のリストに対して離散フーリエ(Fourier)変換を行う

Fourier[list,{p1,p2,…}]

指定の位置の離散フーリエ変換を返す．

詳細とオプション

  • 長さ n のリスト urの離散フーリエ変換 vsは，デフォルトでure2π i(r-1)(s-1)/nであると定義される． »
  • 結果として返されるリストの位置1には周波数ゼロの項が現れることに注意．
  • 理工系の分野によっては他の定義も使われることがある．
  • 異なる定義は，オプションFourierParametersを使用して指定できる．
  • FourierParameters->{a,b}の設定で，Fourierにより計算される離散フーリエ変換はure2πib(r-1)(s-1)/nとなる． »
  • よく使われる{a,b}の選択として，{0,1}(デフォルト)，{-1,1}(データ解析)，{1,-1}(信号処理)がある．
  • と設定すると，事実上，入力と出力のリストを両方とも共役させることになる．
  • 離散フーリエ変換が一意的になるためには，bは n と互いに素である必要がある． »
  • Fourierに供給されるデータのリストの長さは，2のベキ乗である必要はない．
  • Fourier[list]における list は，任意の次元のデータの配列を表すためにネストさせることができる．
  • このデータの配列は，矩形でなければならない．
  • リスト list の要素が厳密な数値である場合，Fourierは，まずこの要素にNを適用する．
  • Fourier[list,{p1,p2,…}]は，一般に，Extract[Fourier[list],{p1,p2,…}]に等しい．位置が少ない場合，p は，メモリ量や時間が少なくて済むが，数値誤差の影響を（特に list が長い場合に）受けやすいアルゴリズムを使って計算される．
  • FourierはSparseArrayオブジェクトに使うことができる．

例題

すべて開くすべて閉じる

例  (2)

離散フーリエ変換を求める：

パワースペクトルを求める：

スコープ  (3)

x は実数値のリストである：

機械演算でフーリエ変換を計算する：

24桁精度演算で計算する：

2Dフーリエ変換を計算する：

x は，対角要素にゼロを持たない階数3のテンソルである：

3Dフーリエ変換を計算する：

オプション  (2)

FourierParameters  (2)

正規化しない：

で正規化する：

で正規化する：

Sinc関数からのノイズを含むデータ：

正規化なしの一般的なスペクトル：

部分的なスペクトル：

アプリケーション  (10)

スペクトルの計算  (6)

「ホワイトノイズ」のフーリエスペクトル：

第1(DC) 要素を含む対数スペクトルを示す：

「パルス」のスペクトルは完全に平らである：

Thue–Morseのネストしたシーケンスのパワースペクトル [詳細]：

フィボナッチのネストしたシーケンスのパワースペクトル[もっと詳しく]：

ネストしたパターンの2Dパワースペクトル：

ネストしたパターンをプロットする：

対数パワースペクトルを求める：

規則30のセルオートマトンパターンのフーリエ変換を求める：

対数パワースペクトル：

データにフィルタをかける  (1)

離散循環たたみ込みを計算し，ガウスの不連続関数を平坦化する：

循環たたみ込みを計算する：

もとの関数と平坦化した関数を示す：

たたみ込みはListConvolveと矛盾しない：

周波数の同定  (1)

次は，ノイズを含んだ周期データである：

スペクトルの最大モードを求める：

正の周波数に対応する位置を得て，その位置をスペクトルプロット上に示す：

最大値が求まるモード間の高解像スペクトルを求める：

周波数から周期を求める：

固有ベクトルの計算  (1)

m は巡回微分行列である：

なので，m の固有値は：

固有ベクトルは離散フーリエ変換行列の列であるので，フーリエは m を対角化する：

次は，特定のベクトルについてのMatrixExp[m,r]の非常に効率的な計算を可能にする：

単位区間上での熱伝導方程式の近似進化を示す：

非整数次フーリエ変換  (1)

さまざまなFourierParametersを使って非整数次フーリエ変換を定義する：

特性と関係  (6)

InverseFourierはFourierを逆にする：

実数の入力については，最初のものを除くすべての要素が複素共役のペアになる：

パワースペクトルは対称である：

循環たたみ込みはフーリエ変換の乗算に相当する：

はで与えられる：

FourierはFourierMatrix倍するのに等しい：

行列の共役転置はInverseFourierに等しい：

考えられる問題  (4)

が と互いに素ではない場合，変換は不可逆的かもしれない：

2のベキ乗である，あるいは小さい素数の積に因数分解できる長さはより速い：

Fourierは，少数の係数のみが必要な場合は，効率のよいアルゴリズムを使う：

高速で効率のよい実装は，重大な数値誤差を生じかねない：

Wolfram Research (1988), Fourier, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html （2012年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), Fourier, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html （2012年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Fourier." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2012. https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Fourier. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2024_fourier, author="Wolfram Research", title="{Fourier}", year="2012", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2024_fourier, organization={Wolfram Research}, title={Fourier}, year={2012}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Fourier.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}