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FractionalD

FractionalD[f,{x,α}]

関数 f の階数 α のリーマン・リウヴィル(Riemann–Liouville)非整数階微分を与える．

詳細とオプション

FractionalDは f のリーマン・リウヴィル非整数階微分としても知られている．
FractionalDはDを非整数階に一般化して微積分の微分と積分の概念を統一したものである．
FractionalDは非整数階微積分において基礎となる役割を果たしており，CaputoDのような他のタイプの非整数階微分はこれを使って定義することができる．
の階のリーマン・リウヴィル非整数階微分はと定義できる．ここで，である．
非整数階の微分は，以下で示す関数とその非整数階微分（階数はのとき $2/TemplateBox[{{3, -, alpha}}, Gamma] x^(2-alpha)$ で与えられる）のように整数階の微分の間を「補間」する．

非整数階微分の階数 α は記号でも任意の実数でもよい．
FractionalD[array,{x,α}]は array の各要素にFFractionalDを縫い込む．
FractionalDは入力関数のパラメータについて異なるAssumptionsを取る．
与えられた変数に明示的に依存しない式はすべて定数であると解釈される．

例題

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例 (4)

二次関数の x についての二分の一階微分を計算する：

二次関数の x についての任意階微分：

さまざまなについてこれらの非整数階微分をプロットする：

定数の x についての階微分を計算する：

MittagLefflerEの非整数階微分：

スコープ (8)

x についてのベキ関数の非整数階微分：

x についてのExp関数の0.23階微分：

正の整数については，非整数階リーマン・リウヴィル微分は通常の微分と一致する：

負の整数については，FractionalDは通常の不定積分とは定数が一致しない：

Sin関数の非整数階微分はHypergeometricPFQによって書かれる：

BesselJ関数の非整数微分：

MeijerG関数の非整数階微分は別のMeijerG関数によって与えられる：

一般形の非整数階積分のラプラス(Laplace)変換：

指数関数を代入する：

ExpのFractionalDにLaplaceTransformを適用することで同じ結果を得る：

オプション (1)

Assumptions (1)

FractionalDはConditionalExpressionを返すかもしれない：

Assumptionsを使ってパラメータを制限すると出力が簡単になる：

アプリケーション (2)

三次関数の二分の一階微分を計算する：

二分の一階微分を繰り返すことで三次関数の通常の微分を得る：

非整数階積分を使って最初の関数を回復する：

次の非整数階積分方程式について考える：

ラプラス変換を使ってこれを解く：

逆変換を求める：

解を確かめる：

特性と関係 (6)

FractionalDはすべての実数について定義される：

関数の0階微分は関数それ自体である：

FractionalDは複素数階については定義されない：

一般に，定数の非整数階微分は0ではない：

FractionalDの結果はDifferenceRoot数列を含むことがある：

この一般式はが与えられた実数のときはHypergeometricPFQの例の有限和に簡約される：

ある時点における関数の非整数階微分を計算する：

より速く数値計算するためにNFractionalD関数を使う：

おもしろい例題 (1)

いくつかの特殊関数の α 番目の非整数階微分と n 番目の通常の微分の表を作成する：

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