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FractionalD

FractionalD[f,{x,α}]

给出函数 f 的 α 阶黎曼–刘维尔分数导数 .

更多信息和选项

FractionalD 也称为 f 的黎曼–刘维尔微分积分.
FractionalD 将 D 推广到分数阶，并统一了微积分的导数和积分的概念.
FractionalD 在分数微积分中起着基础作用，因为可以根据它定义其他类型的分数导数，例如 CaputoD.
的阶黎曼–刘维尔分数导数由定义，其中 .
分数阶导数在整数阶导数之间“插值”，如下所示，对于函数及其阶分数导数由 $2/TemplateBox[{{3, -, alpha}}, Gamma] x^(2-alpha)$ 给出，其中：

分数导数的阶 α 可以是符号数或任意实数.
FractionalD[array,{x,α}] 将 FractionalD 线性作用于 array 的各个元素.
FractionalD 对输入函数的参数采取不同的 Assumptions.
所有不显式依赖给定变量的表达式都被解释为常量.

范例

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基本范例 (4)

计算二次函数关于 x 的半阶分数导数：

二次函数关于 x 的任意阶分数导数：

绘制不同的分数导数的图形：

计算常数关于 x 的阶分数导数：

MittagLefflerE 的分数导数：

范围 (8)

幂函数关于 x 的分数导数：

Exp 函数关于 x 的 0.23-阶分数导数：

对于正整数，分数黎曼–刘维尔导数与普通导数是一致的：

对于负整数，FractionalD 与普通不定积分相差一个常数：

Sin 函数的分数导数用 HypergeometricPFQ 的形式写成：

BesselJ 函数的分数导数：

MeijerG 函数的分数导数以另一个 MeijerG 函数的形式给出：

一般形式分数积分的拉普拉斯变换：

代入指数函数：

将 LaplaceTransform 应用于 Exp 的 FractionalD 得到相同的结果：

选项 (1)

Assumptions (1)

FractionalD 可能返回 ConditionalExpression：

使用 Assumptions 限制参数将简化输出：

应用 (2)

计算三次函数的半阶分数导数：

得到三次函数重复半阶分数微分的普通导数：

使用分数积分恢复初始函数：

考虑以下分数阶积分方程：

对拉普拉斯变换求解：

求逆变换：

验证解：

属性和关系 (6)

FractionalD 对所有实数有定义：

函数的 0-阶分数导数是该函数自身：

FractionalD 对于复阶数没有定义：

通常，常数的分数导数不为 0：

FractionalD 结果可能包含 DifferenceRoot 序列：

如果是给定的实数，则此一般表达式被简化为 HypergeometricPFQ 实例的有限和：

计算一个函数在某个点的分数导数：

使用 NFractionalD 函数可以更快地进行数值计算：

巧妙范例 (1)

创建几个特殊函数的 α 阶和 n 阶普通导数表：

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