FractionalD
FractionalD
FractionalD[f,{x,α}]
给出函数 f 的 α 阶黎曼–刘维尔分数导数 
.
更多信息和选项
- FractionalD 也称为 f 的黎曼–刘维尔微分积分.
- FractionalD 将 D 推广到分数阶，并统一了微积分的导数和积分的概念.
- FractionalD 在分数微积分中起着基础作用，因为可以根据它定义其他类型的分数导数，例如 CaputoD.
的 
阶黎曼–刘维尔分数导数由 
定义，其中 ![n=max(0,TemplateBox[{alpha}, Ceiling])](Files/FractionalD.zh/1.png "n=max(0,TemplateBox[{alpha}, Ceiling])")
. - 分数阶导数在整数阶导数之间“插值”，如下所示，对于函数
及其 
阶分数导数由 ![2/TemplateBox[{{3, -, alpha}}, Gamma] x^(2-alpha)](Files/FractionalD.zh/2.png "2/TemplateBox[{{3, -, alpha}}, Gamma] x^(2-alpha)")
给出，其中 
： - 分数导数的阶 α 可以是符号数或任意实数.
- FractionalD[array,{x,α}] 将 FractionalD 线性作用于 array 的各个元素.
- FractionalD 对输入函数的参数采取不同的 Assumptions.
- 所有不显式依赖给定变量
的表达式都被解释为常量.
范例
打开所有单元 关闭所有单元基本范例 (4)
FractionalD[x^2, {x, 1 / 2}]FractionalD[x^2, {x, α}]
Plot[Evaluate[Table[(2 x^2 - α/Gamma[3 - α]), {α, {0, 1 / 2, 9 / 10, 1}}]], {x, 0, 1}]
FractionalD[c, {x, α}]MittagLefflerE 的分数导数：
FractionalD[MittagLefflerE[a, x], {x, 3 / 2}]范围 (8)
FractionalD[x ^ n, {x, 1 / 3}]Exp 函数关于 x 的 0.23-阶分数导数：
FractionalD[Exp[x], {x, 0.23}]
FractionalD[ArcTan[x], {x, 2}]D[ArcTan[x], {x, 2}]对于负整数 
，FractionalD 与普通不定积分相差一个常数：
FractionalD[Sin[a x], {x, -1}]Integrate[Sin[a x], x]Together[%% - %]Sin 函数的分数导数用 HypergeometricPFQ 的形式写成：
FractionalD[Sin[x], {x, α}]BesselJ 函数的分数导数：
FractionalD[BesselJ[ν, x], {x, α}]MeijerG 函数的分数导数以另一个 MeijerG 函数的形式给出：
FractionalD[MeijerG[{{a1}, {a2}}, {{b1}, {b2}}, x], {x, α}]LaplaceTransform[FractionalD[f[t], {t, -2 / 3}], t, s]% /. {f[t_] -> Exp[t]}//Simplify将 LaplaceTransform 应用于 Exp 的 FractionalD 得到相同的结果：
LaplaceTransform[FractionalD[Exp[t], {t, -2 / 3}], t, s]//FullSimplify选项 (1)
Assumptions (1)
FractionalD 可能返回 ConditionalExpression：
FractionalD[MittagLefflerE[a, x], {x, α}]使用 Assumptions 限制参数将简化输出：
FractionalD[MittagLefflerE[a, x], {x, α}, Assumptions -> {a > 0, α∈ℤ, α ≥ 0}]应用 (2)
FractionalD[x ^ 3, {x, 1 / 2}]FractionalD[%, {x, 1 / 2}]FractionalD[FractionalD[FractionalD[%, {x, -1 / 3}], {x, -1 / 3}], {x, -1 / 3}]eqn = FractionalD[y[t], {t, -2 / 3}] - y[t] == 1;Solve[LaplaceTransform[eqn, t, s], LaplaceTransform[y[t], t, s]]sol = InverseLaplaceTransform[%, s, t]eqn /. sol /. t -> 0.3属性和关系 (6)
FractionalD 对所有实数 
有定义：
FractionalD[x ^ 2, {x, 4 / 5}]FractionalD[x ^ 2, {x, -4 / 5}]FractionalD[x ^ 2, {x, 0}]FractionalD 对于复阶数 
没有定义：
FractionalD[x ^ 2, {x, -4 / 5 + I}]
FractionalD[c, {x, α}]FractionalD 结果可能包含 DifferenceRoot 序列：
FractionalD[Sin[x] Cos[x], {x, α}, Assumptions -> {α∉ℤ, α > 0}]如果 
是给定的实数，则此一般表达式被简化为 HypergeometricPFQ 实例的有限和：
% /. α -> 0.2N[FractionalD[Sin[x]Cos[x - 1], {x, 1 / 2}] /. x -> 1 / 3]//AbsoluteTiming使用 NFractionalD 函数可以更快地进行数值计算：
NFractionalD[Sin[x]Cos[x - 1], {x, 1 / 2}, 1 / 3]//AbsoluteTiming巧妙范例 (1)
flist = {E ^ (x), x ^ 2, Log[x], Sin[x], ArcTan[x], BesselJ[0, x], Hypergeometric1F1[a, b, x]};Grid[Join[{{f[x], Subsuperscript[D, x, α][f[x]], D[f[x], {x, n}]}}, Transpose[{flist, Map[FractionalD[#, {x, α}]&, flist], Map[D[#, {x, n}]&, flist]}]], Background -> {None, {{None, GrayLevel[.7]}}, {{1, 1} -> Hue[.6, .4, 1], {1, 2} -> Hue[.6, .4, 1], {1, 3} -> Hue[.6, .4, 1]}}, BaseStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12}, Dividers -> All, FrameStyle -> Hue[.6, .4, .8], Spacings -> {2, 1}]//TraditionalForm
Wolfram Research (2022)，FractionalD，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FractionalD.html.
文本
Wolfram Research (2022)，FractionalD，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FractionalD.html.
CMS
Wolfram 语言. 2022. "FractionalD." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FractionalD.html.
APA
Wolfram 语言. (2022). FractionalD. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FractionalD.html 年