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FunctionContinuous

FunctionContinuous[f,x]

测试 x∈Reals 的情况下，是否是实值连续函数.

FunctionContinuous[f,x,dom]

测试 x∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…},dom]

测试 x₁,x₂,…∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{funs,cons},xvars,dom]

如果约束条件 cons 限制 xvars∈dom，测试是否是连续函数.

FunctionContinuous

FunctionContinuous[f,x]

测试 x∈Reals 的情况下，是否是实值连续函数.

FunctionContinuous[f,x,dom]

测试 x∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…},dom]

测试 x₁,x₂,…∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{funs,cons},xvars,dom]

如果约束条件 cons 限制 xvars∈dom，测试是否是连续函数.

范例

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基本范例 (4)

测试实函数是否为连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x], x]

测试复变函数是否为连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sqrt[x], x, Complexes]

在受限定义域上测试连续性：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Log[x], x > 0}, x]

测试多变量函数的连续性：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Gamma[x ^ 2 + y ^ 2 + 1, E ^ (x y)], {x, y}]

范围 (6)

实单变量函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Tanh[x], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Floor[x], x]

Wolfram Language code: Plot[{Tanh[x], Floor[x]}, {x, -3, 3}]

复单变量函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Exp[z], z, Complexes]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Log[z], z, Complexes]

Wolfram Language code: GraphicsRow[ComplexPlot[#, {z, -2 - 2I, 2 + 2I}]& /@ {Exp[z], Log[z]}, ImageSize -> Medium]

具有受限定义域的函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Tan[x], -Pi / 2 < x < Pi / 2}, x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Log[z], Im[z] ≠ 0}, z]

实多变量函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Erf[Sin[x + y] / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)], {x, y}]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Erf[Sin[x + y] / (x ^ 2 + y ^ 2 - 1)], {x, y}]

Wolfram Language code: GraphicsRow[Plot3D[Erf[Sin[x + y] / (x ^ 2 + y ^ 2 + #)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]& /@ {1, -1}, ImageSize -> Medium]

复多变量函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[LaguerreL[E ^ (x + z), Sin[y z]], {x, y, z}, Complexes]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Erf[Sin[x + y] / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)], {x, y}, Complexes]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Erf[Sin[x + y] / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)], x ^ 2 + y ^ 2 ≠ -1}, {x, y}, Complexes]

含有符号参数的函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Gamma[x ^ 2 + a], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x y] / (x ^ 2 + a x y + y ^ 2 + b), {x, y}]

选项 (4)

Assumptions (1)

FunctionContinuous 无法针对参数的任意值给出答案：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x + y] / (Exp[x y] + a), {x, y}]

如果假设，FunctionContinuous 则可以给出答案：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x + y] / (Exp[x y] + a), {x, y}, Assumptions -> a > 0]

GenerateConditions (2)

默认情况下，FunctionContinuous 可能会对符号参数生成条件：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Log[x ^ 2 + a], x]

如果设置 GenerateConditionsNone，FunctionContinuous 会失败，而不是给出有条件的结果：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Log[x ^ 2 + a], x, GenerateConditions -> None]

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Log[x ^ 2 + a], x, GenerateConditions -> False]

默认情况下，报告所有的条件：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Cos[x y] / a, {x, y}]

如果设置 GenerateConditions->Automatic，不报告通常为真的条件：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Cos[x y] / a, {x, y}, GenerateConditions -> Automatic]

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[1 / (x ^ 4 + a x ^ 3 y + b x y ^ 3 + y ^ 4 + c), {x, y}, PerformanceGoal -> "Speed"]

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[1 / (x ^ 4 + a x ^ 3 y + b x y ^ 3 + y ^ 4 + c), {x, y}]

应用 (14)

连续函数的类别 (6)

多项式是连续的：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[x, x], FunctionContinuous[x^2 + 1, x], FunctionContinuous[x^3 - 2 x^2 - 5 x + 6, x]}

Sin、Cos 和 Exp 是连续函数：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[Sin[x], x], FunctionContinuous[Cos[x], x], FunctionContinuous[Exp[x], x]}

可视化这些函数：

Wolfram Language code: Grid[Partition[Table[Plot[f, {x, -5, 5}], {f, {x, x^2 + 1, x^3 - 2 x^2 - 5 x + 6, Sin[x], Cos[x], Exp[x]}}], 3]]

这些函数在复平面上也是连续的：

Wolfram Language code: Table[FunctionContinuous[f, x, Complexes], {f, {x, x^2 + 1, x^3 - 2 x^2 - 5 x + 6, Sin[x], Cos[x], Exp[x]}}]

在上可视化这些函数：

Wolfram Language code: Grid[Partition[Table[ComplexPlot3D[f, {x, 5}], {f, {x, x^2 + 1, x^3 - 2 x^2 - 5 x + 6, Sin[x], Cos[x], Exp[x]}}], 3]]

连续函数的倒数在处是连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{(1/x), x ≠ 0}, x]

因此，有理函数在实数上可能是连续的也可能不是连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[(4/x^2 + 4), x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[(1/x^2 - 4), x]

Wolfram Language code: Plot[{(4/x^2 + 4), (1/x^2 - 4)}, {x, -4, 4}, PlotTheme -> {"DashedLines", "Detailed"}]

但是，由于每个非常数多项式都在复平面中有一个根，因此有理函数永远不会在上连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[(4/x^2 + 4), x, Complexes]

在复平面上可视化该函数，显示处的 blowup：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[(4/x^2 + 4), {x, 4}]

因为 Cot 和 Csc 是 Sin 和 Cos 的有理函数，因此当正弦值不为零时，它们是连续的：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[{Cot[x], (x/π)∉ℤ}, x], FunctionContinuous[{Csc[x], (x/π)∉ℤ}, x]}

可视化这些函数与正弦函数：

Wolfram Language code: Plot[{Cot[x], Csc[x], Sin[x]}, {x, -3π, 3π}, PlotLegends -> "Expressions", PlotTheme -> "DashedLines"]

同样，Tan 和 Sec 在余弦非零的地方是连续的：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[{Tan[x], (x/π) - (1/2)∉ℤ}, x], FunctionContinuous[{Sec[x], (x/π) - (1/2)∉ℤ}, x]}

Wolfram Language code: Plot[{Tan[x], Sec[x], Cos[x]}, {x, -3π, 3π}, PlotLegends -> "Expressions", PlotTheme -> "DashedLines"]

同样的原理也适用于双曲三角函数 Coth 和 Csch：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[{Coth[x], x ≠ 0}, x], FunctionContinuous[{Csch[x], x ≠ 0}, x]}

可视化这些函数与 Sinh：

Wolfram Language code: Plot[{Coth[x], Csch[x], Sinh[x]}, {x, -3, 3}, PlotLegends -> "Expressions", PlotTheme -> "DashedLines"]

由于 Cosh 从不为零，余下的两个函数 Tanh 和 Sech 是连续的：

Wolfram Language code: Reduce[Cosh[x] == 0, x, Reals]

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[Tanh[x], x], FunctionContinuous[Sech[x], x]}

连续函数的复合函数是连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x ^ 2 + 3x + 2], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Exp[Sin[x]], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Cos[Sin[x]]^2 + Sin[x]Cos[x] + Exp[-x], x]

只要将定义域映射到的连续子域中，不连续函数和连续函数的复合函数将会是一个连续函数. 例如，令为 Sqrt. Sqrt 在实数上是不连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sqrt[x], x]

但是，在是连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Sqrt[x], x > 0}, x]

Exp 映射：

Wolfram Language code: FunctionRange[E^x, x, y]

因此，Sqrt 与 Exp 的复合函数在上连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sqrt[E^x], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[x ^ (3 / 2), x]

多元多项式在实数和复数上连续：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[x ^ 2 + 3x y - 7y ^ 2, {x, y}], FunctionContinuous[x ^ 2 + 3x y - 7y ^ 2, {x, y}, ℂ]}

有理多元函数在实数上可能连续，也可能不连续：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[(x^2 - y^2/x^2 + y^2 + 1), {x, y}], FunctionContinuous[(x^2 - y^2 + 1/x^2 - y), {x, y}]}

在复数上则总是不连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[(x^2 - y^2/x^2 + y^2 + 1), {x, y}, ℂ]

有时，不连续的有理函数可以被扩展为连续函数：

Wolfram Language code:

f[x_, y_] := ( -6 + 8 x - 2 x^2 + 5 y - 6 x y + x^2 y - y^2 + x y^2/5 - 2 x + x^2 - 4 y + y^2)
g[x_, y_] := Piecewise[{{0, x == 1 && y == 2}, {f[x, y], True}}]

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[f[x, y], {x, y}], FunctionContinuous[g[x, y], {x, y}]}

通过与连续单变量函数复合，可以生成更多连续函数：

Wolfram Language code:

{FunctionContinuous[ArcTan[x ^ 2 + 3x y - 7y ^ 2], {x, y}], FunctionContinuous[Cos[(x^2 - y^2/x^2 + y^2 + 1)], {x, y}], FunctionContinuous[Sin[(x^2 - y^2/Exp[x^2 - y])], {x, y}]}

可视化连续函数：

Wolfram Language code:

Grid[Partition[Table[Plot3D[f, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> All, Exclusions -> None, ImageSize -> 165], {f, {x ^ 2 + 3x y + 7y ^ 2, (x^2 - y^2/x^2 + y^2 + 1), g[x, y], ArcTan[x ^ 2 + 3x y - 7y ^ 2], Cos[(x^2 - y^2/x^2 + y^2 + 1)], Sin[(x^2 - y^2 + 1/Exp[x^2 - y])]}}], 3]]

微积分 (5)

对于连续函数，可通过替换计算极限：

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[Cosh[x], x], Underscript[, x -> 0]Cosh[x], Cosh[0]}

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[ArcTan[x], x], Underscript[, x -> 1]ArcTan[x], ArcTan[1]}

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[BesselJ[1, x], x], Underscript[, x -> 1]BesselJ[1, 0], BesselJ[1, 0]}

函数和在实轴上一致，零除外：

Wolfram Language code: Reduce[(Sin[x]/x) == Sinc[x], x, Reals]

Sinc 是连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sinc[x], x]

Wolfram Language code: {Sinc[0], Underscript[, x -> 0]Sinc[x]}

函数不连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[(Sin[x]/x), x]

具体来讲，在原点处不连续，因此，无法通过替代来计算原点处的极限：

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[(Sin[x]/x), x]

因为时两个函数是相等的，它们的极限一样：

Wolfram Language code: Underscript[, x -> 0](Sin[x]/x) == Underscript[, x -> 0]Sinc[x]

下面的函数不连续：

Wolfram Language code: f[x_] := Exp[-(1/x^2)]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[f[x], x]

唯一的断点在原点处：

Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[f[x], x]

其原因是在原点处没有定义：

Wolfram Language code: f[0]

但是，当时，有极限：

Wolfram Language code: Limit[f[x], x -> 0]

定义为在原点处的扩展：

Wolfram Language code: g[x_] := Piecewise[{{f[x], x != 0}, {0, x == 0}}]

该函数为连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[g[x], x]

可视化：

Wolfram Language code: Plot[g[x], {x, -10, 10}, PlotRange -> All]

函数是连续的：

Wolfram Language code: h[x_] := Piecewise[{{x*Sin[1/x], x != 0}, {0, x == 0}}]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[h[x], x]

但是，一阶导数不连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[h'[x], x]

因此不解析：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[h[x], x]

当平稳地趋于零时，其导数则在原点处剧烈振荡：

Wolfram Language code: {MinLimit[h'[x], x -> 0], MaxLimit[h'[x], x -> 0]}

可视化及其一阶导数：

Wolfram Language code: Plot[{h[x], h'[x]}, {x, -1, 1}, PlotRange -> {-4, 4}, PlotTheme -> "DashedLines"]

有界函数的定积分是连续的，尽管不连续. 考虑下面的函数：

Wolfram Language code: f[x_] := Piecewise[{{-x + 1, x < 0}, {x, 0 < x < 1}, {x ^ 2, True}}]

它不连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[f[x], x]

定义为从原点到任意实数的定积分：

Wolfram Language code: g[x_] = Integrate[f[t], {t, 0, x}, Assumptions -> x∈Reals];

函数是连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[g[x], x]

可视化该函数及其积分：

Wolfram Language code: Plot[{f[x], g[x]}, {x, -2, 2}, PlotTheme -> {"Detailed", "DashedLines"}]

概率 (3)

连续概率分布的 CDF 是连续的：

Wolfram Language code:

cdf1 = CDF[NormalDistribution[], x];
cdf2 = CDF[BetaDistribution[3, 1], x];
cdf3 = CDF[BinormalDistribution[0], {x, y}];

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[cdf1, x], FunctionContinuous[cdf2, x], FunctionContinuous[cdf3, {x, y}]}

可视化这些函数：

Wolfram Language code: Grid[{{Plot[cdf1, {x, -5, 5}], Plot[cdf2, {x, -5, 5}], Plot3D[cdf3, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]}}]

离散分布的 CDF 是不连续的：

Wolfram Language code: cdfs = {CDF[PoissonDistribution[1], n], CDF[BernoulliDistribution[(1/2)], n], CDF[GeometricDistribution[1 / 2], n]};

Wolfram Language code: Table[FunctionContinuous[cdf, n], {cdf, cdfs}]

这些分布有分段恒定的累积分布函数：

Wolfram Language code: Table[Plot[cdf, {n, -5, 5}, ExclusionsStyle -> Dashed], {cdf, cdfs}]

混合分布的 CDF 是不连续的：

Wolfram Language code:

cdf1 = CDF[CensoredDistribution[{-1, 2}, CauchyDistribution[0, 1]], x];
cdf2 = CDF[CensoredDistribution[{-1, 1}, NormalDistribution[]], x];
cdf3 = CDF[CensoredDistribution[{{-∞, 1 / 2}, {1 / 3, 3 / 5}}, BinormalDistribution[0]], {x, y}];

Wolfram Language code: {FunctionContinuous[cdf1, x], FunctionContinuous[cdf2, x], FunctionContinuous[cdf3, {x, y}]}

这些分布有分段但不恒定的累积分布函数：

Wolfram Language code:

Grid[{{Plot[cdf1, {x, -5, 5}, ExclusionsStyle -> ColorData[106][2]], Plot[cdf2, {x, -5, 5}, ExclusionsStyle -> ColorData[106][2]], Plot3D[cdf3, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]}}]

属性和关系 (3)

在定义域的每一点，连续函数的极限等于它的函数值：

Wolfram Language code: f = Sin[2 ^ x] ^ 2 + x / 3;

Wolfram Language code: FunctionContinuous[f, x]

用 Limit 计算极限：

Wolfram Language code: Limit[f, x -> 1] == (f /. x -> 1)

在区间上连续的函数的值位于最小值和最大值之间：

Wolfram Language code: f = Log[Cos[3x E ^ x] ^ 2 + 2x];

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{f, 0 ≤ x ≤ 1}, x]

用 Minimize 和 Maximize 求最小值和最大值：

Wolfram Language code: {min, pmin} = Minimize[{f, 0 ≤ x ≤ 1}, x]

Wolfram Language code: {max, pmax} = Maximize[{f, 0 ≤ x ≤ 1}, x]

确认位于最小值和最大值之间：

Wolfram Language code: min < 1 / 2 < max

用 Solve 求的值是的点：

Wolfram Language code: sols = Solve[f == 1 / 2 && 0 ≤ x ≤ 1, x]

说明该属性：

Wolfram Language code: Plot[{f, 1 / 2}, {x, 0, 1}, Rule[...]]

用 FunctionAnalytic 查看函数是否是解析的：

Wolfram Language code: f = 2 ^ Sin[x ^ 2 + 7] - x;

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[f, x]

解析函数是连续函数：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[f, x]

连续函数不一定是解析的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Abs[x], x]

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[Abs[x], x]

可能存在的问题 (2)

函数必须处处有定义才可以是连续的：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sin[x] / x, x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Sin[x] / x, x ≠ 0}, x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sinc[x], x]

一个函数必须为实值才能在实域上连续：

Wolfram Language code: FunctionContinuous[Sqrt[x], x]

Wolfram Language code: FunctionContinuous[{Sqrt[x], x ≥ 0}, x]

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Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
GenerateConditions	True	是否生成关于参数的条件
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优先考虑速度还是质量

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范例

基本范例 (4)

范围 (6)

选项 (4)

Assumptions (1)

GenerateConditions (2)

PerformanceGoal (1)

应用 (14)

连续函数的类别 (6)

微积分 (5)

概率 (3)

属性和关系 (3)

可能存在的问题 (2)

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	Automatic	只给出非通用条件
	True	所有条件
	False	不给出条件
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