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FunctionContinuous

FunctionContinuous[f,x]

测试 x∈Reals 的情况下，是否是实值连续函数.

FunctionContinuous[f,x,dom]

测试 x∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…},dom]

测试 x₁,x₂,…∈dom 的情况下，是否是连续函数.

FunctionContinuous[{funs,cons},xvars,dom]

如果约束条件 cons 限制 xvars∈dom，测试是否是连续函数.

更多信息和选项

如果对于所有的和，存在，使得对于所有的，可推出，则称函数是集合上的连续函数.
如果对于所有的和，存在，使得对于所有的， $TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {y, _, 1}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {y, _, n}}}, }}}, Norm]<delta({x_1,...,x_n},epsilon)$ 可推出 $TemplateBox[{{{f, (, {{, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, }}, )}, -, {f, (, {{, {{y, _, 1}, ,, ..., ,, {y, _, n}}, }}, )}}}, Abs]<epsilon$ ，则称函数是集合上的连续函数.
如果 funs 含有除 xvars 之外的参数，则结果通常为 ConditionalExpression.
dom 的可能的值为 Reals 和 Complexes. 默认值为 Reals.
如果 dom 为 Reals，则所有变量、参数、常数和函数值都必须为实数.
cons 可以包含等式、不等式或它们的逻辑组合.
函数 funs 必须在满足约束条件 cons 的值上有定义.
可给出以下选项：

	Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
	GenerateConditions	True	是否生成关于参数的条件
	PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优先考虑速度还是质量

GenerateConditions 的可能的设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置为 "Speed" 和 "Quality".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

测试实函数是否为连续函数：

测试复变函数是否为连续函数：

在受限定义域上测试连续性：

测试多变量函数的连续性：

范围 (6)

实单变量函数：

复单变量函数：

具有受限定义域的函数：

实多变量函数：

复多变量函数：

含有符号参数的函数：

选项 (4)

Assumptions (1)

FunctionContinuous 无法针对参数的任意值给出答案：

如果假设，FunctionContinuous 则可以给出答案：

GenerateConditions (2)

默认情况下，FunctionContinuous 可能会对符号参数生成条件：

如果设置 GenerateConditionsNone，FunctionContinuous 会失败，而不是给出有条件的结果：

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

默认情况下，报告所有的条件：

如果设置 GenerateConditions->Automatic，不报告通常为真的条件：

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

应用 (14)

连续函数的类别 (6)

多项式是连续的：

Sin、Cos 和 Exp 是连续函数：

可视化这些函数：

这些函数在复平面上也是连续的：

在上可视化这些函数：

连续函数的倒数在处是连续的：

因此，有理函数在实数上可能是连续的也可能不是连续的：

但是，由于每个非常数多项式都在复平面中有一个根，因此有理函数永远不会在上连续：

在复平面上可视化该函数，显示处的 blowup：

因为 Cot 和 Csc 是 Sin 和 Cos 的有理函数，因此当正弦值不为零时，它们是连续的：

可视化这些函数与正弦函数：

同样，Tan 和 Sec 在余弦非零的地方是连续的：

同样的原理也适用于双曲三角函数 Coth 和 Csch：

可视化这些函数与 Sinh：

由于 Cosh 从不为零，余下的两个函数 Tanh 和 Sech 是连续的：

连续函数的复合函数是连续函数：

只要将定义域映射到的连续子域中，不连续函数和连续函数的复合函数将会是一个连续函数. 例如，令为 Sqrt. Sqrt 在实数上是不连续的：

但是，在是连续的：

Exp 映射：

因此，Sqrt 与 Exp 的复合函数在上连续：

多元多项式在实数和复数上连续：

有理多元函数在实数上可能连续，也可能不连续：

在复数上则总是不连续：

有时，不连续的有理函数可以被扩展为连续函数：

通过与连续单变量函数复合，可以生成更多连续函数：

可视化连续函数：

微积分 (5)

对于连续函数，可通过替换计算极限：

函数和在实轴上一致，零除外：

Sinc 是连续函数：

函数不连续：

具体来讲，在原点处不连续，因此，无法通过替代来计算原点处的极限：

因为时两个函数是相等的，它们的极限一样：

下面的函数不连续：

唯一的断点在原点处：

其原因是在原点处没有定义：

但是，当时，有极限：

定义为在原点处的扩展：

该函数为连续函数：

可视化：

函数是连续的：

但是，一阶导数不连续：

因此不解析：

当平稳地趋于零时，其导数则在原点处剧烈振荡：

可视化及其一阶导数：

有界函数的定积分是连续的，尽管不连续. 考虑下面的函数：

它不连续：

定义为从原点到任意实数的定积分：

函数是连续的：

可视化该函数及其积分：

概率 (3)

连续概率分布的 CDF 是连续的：

可视化这些函数：

离散分布的 CDF 是不连续的：

这些分布有分段恒定的累积分布函数：

混合分布的 CDF 是不连续的：

这些分布有分段但不恒定的累积分布函数：

属性和关系 (3)

在定义域的每一点，连续函数的极限等于它的函数值：

用 Limit 计算极限：

在区间上连续的函数的值位于最小值和最大值之间：

用 Minimize 和 Maximize 求最小值和最大值：

确认位于最小值和最大值之间：

用 Solve 求的值是的点：

说明该属性：

用 FunctionAnalytic 查看函数是否是解析的：

解析函数是连续函数：

连续函数不一定是解析的：

可能存在的问题 (2)

函数必须处处有定义才可以是连续的：

一个函数必须为实值才能在实域上连续：

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