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FussellVeselyImportance[rdist,t]

给出时间 t 处 ReliabilityDistribution rdist 中所有元件的 Fussell–Vesely 重要度.

FussellVeselyImportance[fdist,t]

给出时间 t 处 FailureDistribution fdist 中所有元件的 Fussell–Vesely 重要度.

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ReliabilityDistribution 模型  
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FussellVeselyImportance

FussellVeselyImportance[rdist,t]

给出时间 t 处 ReliabilityDistribution rdist 中所有元件的 Fussell–Vesely 重要度.

FussellVeselyImportance[fdist,t]

给出时间 t 处 FailureDistribution fdist 中所有元件的 Fussell–Vesely 重要度.

更多信息

  • 元件 在时间 处的 Fussell–Vesely 重要度由 给出，其中 是至少有一个包含元件 的最小割集在时间 发生故障的概率，而 是系统在时间 发生故障的概率. 最小割集是元件的最小集合，如果发生故障，就会使系统发生故障.
  • 结果以 rdist 或者 fdist 中的分布列表中给出的元件顺序返回.

范例

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基本范例  (3)

两个寿命分布不同的串联元件：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, ExponentialDistribution[1]}, {y, ExponentialDistribution[2]}}];

结果按照 ReliabilityDistribution 中的分布列表相同的顺序给出：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]
Wolfram Language code: {Subscript[fv, x], Subscript[fv, y]} = FussellVeselyImportance[ℛ, t]
Wolfram Language code: Plot[{Subscript[fv, x], Subscript[fv, y]}, {t, 0, 2}, Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}]

两个寿命分布不同的并联元件：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∨y, {{x, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 1]]}, {y, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 2]]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]

使用基于故障树的建模方法来定义系统：

Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∨y, {{x, WeibullDistribution[2, 3]}, {y, WeibullDistribution[4, 5]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℱ, t]
Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 8}, Filling -> Axis]

范围  (16)

ReliabilityDistribution 模型  (8)

两个具有相同寿命分布的串联元件：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, ExponentialDistribution[λ]}, {y, ExponentialDistribution[λ]}}];

任何一个元件的可靠性改变将产生相同的系统可靠性改变：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]

一个系统中三个具有相同的寿命分布的元件中须有两个元件可以运作：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[BooleanCountingFunction[{2, 3}, {x, y, z}], {{x, ExponentialDistribution[λ]}, {y, ExponentialDistribution[λ]}, {z, ExponentialDistribution[λ]}}];

这些元件一样重要：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]//Simplify

具有相同寿命分布的简单混合系统：

Wolfram Language code: d = ExponentialDistribution[1];
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧(y∨z), {{x, d}, {y, d}, {z, d}}];

计算重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t]

改变元件 x 的重要度将最影响系统可靠性：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {x, y, z}}], {t, 0, 6}, PlotRange -> All]

串联系统与一个元件并联：

Wolfram Language code: d = ExponentialDistribution[1];
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∨(y∧z), {{x, d}, {y, d}, {z, d}}];

计算重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t]

改善 x 元件对系统可靠性有最大的影响力：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {x, y, z}}], {t, 0, 4}]

研究简单混合系统中参数改变的效果：

Wolfram Language code: {Subscript[d, 1], Subscript[d, 2], Subscript[d, 3]} = {ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[2], ExponentialDistribution[λ]};
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∨(y∧z), {{x, Subscript[d, 1]}, {y, Subscript[d, 2]}, {z, Subscript[d, 3]}}];

计算重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t]

当使并行元件之一 z 变差时，显示重要度的改变：

Wolfram Language code: Table[ Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv /. λ -> k, {x, y, z}}], {t, 0, 4}, PlotRange -> All, PlotLabel -> k] , {k, 1, 5, 2}]

一个元件与其他两个具有不同分布的元件并联：

Wolfram Language code: dists = {{x, ExponentialDistribution[1]}, {y, ExponentialDistribution[2]}, {z, ExponentialDistribution[1]}};
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧(y∨z), dists];

求以精确结果表示的在时间上某一点处的重要度测量：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, 3 / 2]

以机器精度结果表示：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, 1.5]

以符号式表达式表示：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]

可以使用任何有效的 ReliabilityDistribution：

Wolfram Language code: {Subscript[𝒟, 1], Subscript[𝒟, 2]} = {ExponentialDistribution[1 / 2], ExponentialDistribution[2]};
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, Subscript[𝒟, 1]}, {y, StandbyDistribution[Subscript[𝒟, 2], {Subscript[𝒟, 2], Subscript[𝒟, 2]}]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]

在寿命的后期，改变备用元件 y 的可靠性将产生更多效果：

Wolfram Language code: Plot[%, {t, 0, 6}, Filling -> Axis]

按步骤建立模型，以获取子系统的重要度度量：

Wolfram Language code: ℛsub = ReliabilityDistribution[x∨y, {{x, ExponentialDistribution[1]}, {y, ExponentialDistribution[1]}}];
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[z∧r, {{z, ExponentialDistribution[1]}, {r, ℛsub}}];
Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t]

绘制重要度随着时间变化的图线：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {z, r}}], {t, 0, 4}]

FailureDistribution 模型  (8)

两个基本事件中的一个将产生顶级事件：

Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∨y, {{x, ExponentialDistribution[λ]}, {y, ExponentialDistribution[λ]}}];

任何事件中可靠性的改变都会产生相同的顶级事件可靠性改变：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℱ, t]

只有两个基本事件同时会产生顶级事件：

Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∧y, {{x, ExponentialDistribution[λ]}, {y, ExponentialDistribution[λ]}}];

FussellVeselyImportance 将两个事件视为具有相同的重要性：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℱ, t]

在简单事件具有相同分布的表决门（voting gate）：

Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[BooleanCountingFunction[{2, 3}, {x, y, z}], {{x, ExponentialDistribution[λ]}, {y, ExponentialDistribution[λ]}, {z, ExponentialDistribution[λ]}}];

任何事件的可靠性的改变将产生相同的顶级事件可靠性改变：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℱ, t]//Simplify

具有 And 和 Or 门的简单系统：

Wolfram Language code: d = ExponentialDistribution[1];
Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∧(y∨z), {{x, d}, {y, d}, {z, d}}];

基本事件 x 最重要：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℱ, t]

改变事件 x 的可靠性将最影响顶级事件的可靠性：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {x, y, z}}], {t, 0, 4}, PlotRange -> All]

同时具有 And 和 Or 门的简单系统：

Wolfram Language code: d = ExponentialDistribution[1];
Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∨(y∧z), {{x, d}, {y, d}, {z, d}}];

计算重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℱ, t]

改变事件 x 对避免顶级事件（top event）产生最大影响：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {x, y, z}}], {t, 0, 4}, PlotRange -> All]

研究简单混合系统中参数改变的效果：

Wolfram Language code: {Subscript[d, 1], Subscript[d, 2], Subscript[d, 3]} = {ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[λ]};
Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∧(y∨z), {{x, Subscript[d, 1]}, {y, Subscript[d, 2]}, {z, Subscript[d, 3]}}];

计算重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℱ, t]

当使基本事件之一 z 变差时，显示重要度的改变：

Wolfram Language code: Table[ Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv /. λ -> k, {x, y, z}}], {t, 0, 2}, PlotRange -> All, PlotLabel -> k] , {k, 1, 5, 2}]

可以使用任何有效的 FailureDistribution：

Wolfram Language code: {Subscript[𝒟, 1], Subscript[𝒟, 2]} = {ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[3]};
Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[x∨y, {{x, Subscript[𝒟, 1]}, {y, StandbyDistribution[Subscript[𝒟, 2], {Subscript[𝒟, 2], Subscript[𝒟, 2]}]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℱ, t]

在寿命的早期，改变备用元件 y 的可靠性将产生更多效果：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@%, {t, 0, 5}, Filling -> Axis]

按步骤建立系统模型，以获取子系统的重要度测量：

Wolfram Language code: ℱsub = FailureDistribution[x∨y, {{x, ExponentialDistribution[1]}, {y, ExponentialDistribution[1]}}];
Wolfram Language code: ℱ = ReliabilityDistribution[z∧f, {{z, ExponentialDistribution[1]}, {f, ℱsub}}];
Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℱ, t]

绘制重要度随着时间变化的图线：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, {z, f}}], {t, 0, 4}]

应用  (3)

求持续三个小时的系统中哪个元件最重要：

Wolfram Language code: {Subscript[𝒟, 1], Subscript[𝒟, 2], Subscript[𝒟, 3], Subscript[𝒟, 4]} = {ExponentialDistribution[1], ExponentialDistribution[3], WeibullDistribution[2, 2], ErlangDistribution[1, 2]};
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[(x∧(y∨z))∨v, {{x, Subscript[𝒟, 1]}, {y, Subscript[𝒟, 2]}, {z, Subscript[𝒟, 3]}, {v, Subscript[𝒟, 4]}}];

根据 Fussell–Vesely 重要度，元件v 是最重要：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, 3.]

在煤矿发生的一个问题是推土机通过桥接空隙掉在煤堆中. 推土机可以有意或无意地形成一个空隙（void）：

Wolfram Language code: dozerOverVoid = intentional∨unintentional;

若要形成一个空隙（void），煤中必须有地下水流. 这要求在传送带上从下面去除煤，并且形成到传送带的一个开放供给装置：

Wolfram Language code: subsurfaceFlow = conveyorOperation∧feeder;

它也需要在不流动时的表面上发生. 如果煤炭冻结，就会发生这种情况：

Wolfram Language code: frozenArch = temperature∧inactivity∧waterContent;

压实的煤也可以导致非流动的表面：

Wolfram Language code: compaction = waterContent∧force;
Wolfram Language code: noSurfaceFlow = compaction∨frozenArch;

完整的故障树：

Wolfram Language code: dozerFalls = dozerOverVoid∧(subsurfaceFlow∧noSurfaceFlow);

对事件假定采用下列分布：

Wolfram Language code: vars = {conveyorOperation, intentional, feeder, force, inactivity, temperature, unintentional, waterContent};
Wolfram Language code: lifetimes = ExponentialDistribution /@ {5.25, 0.00525, 1.768, 0.0175, 0.000175, 0.0175, 0.1075, 3.5};
Wolfram Language code: dists = Table[{vars[[i]], lifetimes[[i]]}, {i, Length[vars]}];
Wolfram Language code: ℱ = FailureDistribution[dozerFalls, dists];

若要决定应该采取什么行动来避免意外发生，计算基本事件的重要度：

Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℱ, t]

我们可以看到重要度为 1 的事件最高：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate@MapThread[Tooltip, {fv, vars}], {t, 0, 300}, PlotRange -> All]

求重要度为 1 的基本事件:

Wolfram Language code: Cases[Transpose[{fv, vars}], {1, _}]

考虑一个具有一个阀门和两个冗余泵的抽水系统. 元件的可靠性以概率给出：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[valve∧(pump1∨pump2), {{valve, BernoulliDistribution[0.99]}, {pump1, BernoulliDistribution[0.97]}, {pump2, BernoulliDistribution[0.97]}}];

求哪个元件是最重要的：

Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]//Refine[#, t < 1]&

属性和关系  (6)

串联情况下 FussellVeselyImportance 可以用概率定义：

Wolfram Language code: {Subscript[𝒟, 1], Subscript[𝒟, 2]} = {ExponentialDistribution[Subscript[λ, 1]], ExponentialDistribution[Subscript[λ, 2]]};
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, Subscript[𝒟, 1]}, {y, Subscript[𝒟, 2]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]
Wolfram Language code: Refine[Table[Probability[𝒯 ≤ t, 𝒯d] / Probability[𝒯 ≤ t, 𝒯ℛ], {d, {Subscript[𝒟, 1], Subscript[𝒟, 2]}}], t > 0]
Wolfram Language code: % - %%//FullSimplify

所有并行系统中的 FussellVeselyImportance 等于 1:

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∨y, {{x, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 1]]}, {y, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 2]]}}];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ℛ, t]

具有并行结构的子系统将具有相同的重要度：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧(y∨z), {{x, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 1]]}, {y, ExponentialDistribution[Subscript[λ, 2]]}, {z, ErlangDistribution[α, β]}}];
Wolfram Language code: fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t]
Wolfram Language code: fv[[2]] - fv[[3]]

CriticalityFailureImportance 总是小于或者等于 Fussell–Vesely 重要度：

Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, WeibullDistribution[1 / 2, 3]}, {y, ExponentialDistribution[2]}}];
Wolfram Language code: cf = CriticalityFailureImportance[ℛ, t]; fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t];
Wolfram Language code: Plot[{First[cf], First[fv]}, {t, 0, 10}]

对于可靠性高的元件，CriticalityFailureImportance 接近 Fussell–Vesely：

Wolfram Language code: 𝒟 = ExponentialDistribution[λ];
Wolfram Language code: ℛ = ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, 𝒟}, {y, 𝒟}}];

计算差值：

Wolfram Language code: cf = CriticalityFailureImportance[ℛ, t]; fv = FussellVeselyImportance[ℛ, t];

差值总是 ，当故障率 接近 :

Wolfram Language code: Limit[fv - cf, λ -> 0]

无关元件的重要度为 0:

Wolfram Language code: 𝒟 = ExponentialDistribution[λ];
Wolfram Language code: FussellVeselyImportance[ReliabilityDistribution[x∧y, {{x, 𝒟}, {y, 𝒟}, {z, 𝒟}}], t]
Wolfram Research (2012)，FussellVeselyImportance，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FussellVeselyImportance.html.

文本

Wolfram Research (2012)，FussellVeselyImportance，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FussellVeselyImportance.html.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "FussellVeselyImportance." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FussellVeselyImportance.html.

APA

Wolfram 语言. (2012). FussellVeselyImportance. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FussellVeselyImportance.html 年

BibTeX

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