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GARCHProcess[κ,{α1,…,αq},{β1,…,βp}]

標準ホワイトノイズで駆動される，次数 p および q のGARCH（一般化された自己回帰条件付き分散不均一）過程を表す．

GARCHProcess[κ,{α1,…,αq},{β1,…,βp},init]

初期データが init であるGARCH過程を表す．

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基本的な用法  
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GARCHProcess

GARCHProcess[κ,{α1,…,αq},{β1,…,βp}]

標準ホワイトノイズで駆動される，次数 p および q のGARCH（一般化された自己回帰条件付き分散不均一）過程を表す．

GARCHProcess[κ,{α1,…,αq},{β1,…,βp},init]

初期データが init であるGARCH過程を表す．

詳細

  • GARCHProcessは，離散時間・連続状態のランダム過程である．
  • 条件付き平均Expectation[x[t]{x[t-1],…}]=0およびExpectation[x[t]2{x[t-1],…}]で与えられる条件付き分散 が方程式 を満足するのであれば，過程 x[t]はGARCH過程である．
  • 初期データinit はリスト{…,y[-2],y[-1]}として，またはタイムスタンプが{…,-2,-1}であると了解される単一路TemporalDataオブジェクトとして与えることができる．
  • スカラーGARCHProcessは非負の係数 αi および βj，また正の係数 κ を持たなければならない．
  • GARCHProcess[q,p]は，EstimatedProcessおよび関連関数で使われる，次数 q および p のGARCH過程を表す．
  • GARCHProcessは，RandomFunction，CovarianceFunction，TimeSeriesForecast等の関数で使うことができる．

例題

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例  (3)

GARCHProcessのシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: RandomFunction[GARCHProcess[2, {.1}, {.2}], {0, 10}]
Wolfram Language code: %["Path"]
Wolfram Language code: ListPlot[RandomFunction[GARCHProcess[2, {.1}, {.2}], {0, 100}], Filling -> Axis]

弱定常過程の無条件平均値関数および無条件分散関数：

Wolfram Language code: Mean[GARCHProcess[κ, {Subscript[α, 1], Subscript[α, 2]}, {Subscript[β, 1], Subscript[β, 2], Subscript[β, 3]}][t]]
Wolfram Language code: Variance[GARCHProcess[κ, {Subscript[α, 1], Subscript[α, 2]}, {Subscript[β, 1], Subscript[β, 2], Subscript[β, 3]}][t]]

固定した初期値で：

Wolfram Language code: Mean[GARCHProcess[1, {1 / 3}, {1 / 4}, {Subscript[x, -1]}][t]]
Wolfram Language code: Variance[GARCHProcess[1, {1 / 3}, {1 / 4}, {Subscript[x, -1]}][t]]

観測は無相関であるが依存する：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[GARCHProcess[1, {.1, .3}, {.2}], {10 ^ 3}]; corr = CorrelationFunction[data, {20}];
Wolfram Language code: ListPlot[corr, Filling -> Axis, PlotRange -> All]

データの平方値には相関関係がある：

Wolfram Language code: corr2 = CorrelationFunction[data ^ 2, {20}];
Wolfram Language code: ListPlot[corr2, Filling -> Axis, PlotRange -> All]

スコープ  (13)

基本的な用法  (8)

経路の集合のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: data = RandomFunction[GARCHProcess[.3, {.5}, {.2}], {0, 30}, 4]
Wolfram Language code: ListLinePlot[data, Filling -> Axis]

任意精度でシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: RandomFunction[GARCHProcess[1 / 3, {1 / 10}, {1 / 4}], {5}, WorkingPrecision -> 20]["Path"]

指定された初期値で弱定常過程のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: sproc[x_] := GARCHProcess[.03, {.4}, {.3}, {x}];
Wolfram Language code: pts = {-1, 0, 2};
Wolfram Language code: samples = Table[SeedRandom[4];RandomFunction[sproc[x], {20}], {x, pts}];
Wolfram Language code: ListLinePlot[samples, DataRange -> {0, 12}, PlotLegends -> (StringJoin["x = ", ToString[#]]& /@ pts)]

非弱定常過程：

Wolfram Language code: tproc[x_] := GARCHProcess[.03, {.7}, {.8}, {x}];
Wolfram Language code: tsamples = Table[SeedRandom[4];RandomFunction[tproc[x], {20}], {x, pts}];
Wolfram Language code: ListLinePlot[tsamples, DataRange -> {0, 12}, PlotRange -> All, PlotLegends -> (StringJoin["x = ", ToString[#]]& /@ pts)]

積分されたGARCHProcess：

Wolfram Language code: α = .4; proc = GARCHProcess[1, {α}, {1 - α}, {}];
Wolfram Language code: ListPlot[RandomFunction[proc, {0, 100}], Filling -> Axis]

爆発GARCHProcess：

Wolfram Language code: proc = GARCHProcess[2, {.3, .7}, {.4, .2}, {}];
Wolfram Language code: ListPlot[RandomFunction[proc, {0, 100}], Filling -> Axis]

そのような過程は二次定常ではない：

Wolfram Language code: WeakStationarity[proc]

GARCHProcessが共分散定常になるための条件：

Wolfram Language code: WeakStationarity[GARCHProcess[κ, {Subscript[α, 1], Subscript[α, 2]}, {Subscript[β, 1], Subscript[β, 2]}]]

GARCHProcess[1,1]の二次定常性の範囲：

Wolfram Language code: cond = WeakStationarity[GARCHProcess[κ, {α}, {β}]]
Wolfram Language code: RegionPlot[cond, {α, 0, 1}, {β, 0, 1}, FrameLabel -> Automatic]

GARCHProcessを推定する：

Wolfram Language code: SeedRandom[34]; data = RandomFunction[GARCHProcess[.3, {.2}, {.4}], {6 10 ^ 2}];
Wolfram Language code: tsm = TimeSeriesModelFit[data, {"GARCH", {1, 1}}]
Wolfram Language code: tsm["Process"]

条件付きの最大尤度を使う：

Wolfram Language code: EstimatedProcess[data, GARCHProcess[1, 1], ProcessEstimator -> "MaximumConditionalLikelihood"]

予測する：

Wolfram Language code: proc = GARCHProcess[.3, {.5}, {.4}]; data = RandomFunction[proc, {10 ^ 2}];

20ステップ先を予測する：

Wolfram Language code: forecast = TimeSeriesForecast[proc, data, {20}];
Wolfram Language code: forecast["Path"]

予測の平均二乗誤差を求める：

Wolfram Language code: errors = forecast["MeanSquaredErrors"]

予測状態は0に等しい．従って，予測される標準偏差境界は以下の通りである：

Wolfram Language code: ubound = TimeSeriesMap[Sqrt, errors]; lbound = TimeSeriesMap[-Sqrt[#]&, errors];

値を平均二乗誤差とともにプロットする：

Wolfram Language code: ListLinePlot[{data, forecast, lbound, ubound}, PlotStyle -> {Automatic, Automatic, Red, Red}, Filling -> {3 -> {4}}]

過程スライス特性  (5)

次数の弱定常GARCHのモーメント：

Wolfram Language code: proc = GARCHProcess[k, {α}, {β}];
Wolfram Language code: Moment[proc[t], 4]//Simplify
Wolfram Language code: Cumulant[proc[2], 4]

指定された初期条件でのGARCH過程のモーメント：

Wolfram Language code: DiscretePlot[Moment[GARCHProcess[1, {.4}, {.1}, {}][t], 4], {t, 0, 4}]
Wolfram Language code: Moment[GARCHProcess[.06, {0.5}, {.3}, {}][2], 4]
Wolfram Language code: Cumulant[GARCHProcess[.3, {.1, .4}, {.2}, {}][2], 4]

歪度：

Wolfram Language code: Skewness[GARCHProcess[κ, {α}, {β}][t]]
Wolfram Language code: Skewness[GARCHProcess[κ, {α}, {β}, {x}][t]]

尖度：

Wolfram Language code: Kurtosis[GARCHProcess[κ, {α}, {β}][t]]

尖度が定義されている領域：

Wolfram Language code: RegionPlot[Not[β ≤ 0 || 105 α^4 + 60 α^3 β + 18 α^2 β^2 + 4 α β^3 + β^4 ≥ 1], {α, 0, 1}, {β, 0, 1}, FrameLabel -> Automatic]

スライス分布のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code: proc[α_] := GARCHProcess[.3, {α}, {.2}]; sample[α_] := RandomVariate[proc[α][3], 10 ^ 4];

サンプルの確率密度関数：

Wolfram Language code: r = {.1, .3, .5, .7};Histogram[sample[#], Automatic, "PDF", PlotLabel -> StringJoin["α = ", ToString[#]]]& /@ r

モンテカルロ法を使い，スライス分布についてのNProbabilityを計算する：

Wolfram Language code: proc = GARCHProcess[1, {.3}, {.2}];
Wolfram Language code: NProbability[x[1] > .3, xproc, Method -> {"MonteCarlo", "SamplingIncrement" -> 10 ^ 4}]

NExpectationを計算する：

Wolfram Language code: NExpectation[x[2] ^ 2, xproc, Method -> {"MonteCarlo", "SamplingIncrement" -> 10 ^ 4}]

2次’Momentと比較する：

Wolfram Language code: Moment[proc[2], 2]

特性と関係  (3)

GARCHProcessの値は無相関である：

Wolfram Language code: Correlation[GARCHProcess[2, {.3, .2}, {.2, .1}][{1, 2, 3}]]//MatrixForm

対応するARMAProcess：

Wolfram Language code: ARMAProcess[GARCHProcess[2, {.3}, {.1}]]

初期値が与えられた過程について：

Wolfram Language code: ARMAProcess[GARCHProcess[2, {.3}, {.1}, {3, 2}]]

GARCHProcessの値を平方したものはARMAProcessに従う：

Wolfram Language code: proc = GARCHProcess[1, {.2, .3}, {.4}];
Wolfram Language code: data = RandomFunction[proc, {10 ^ 6}];

平方値のCorrelationFunctionおよびPartialCorrelationFunction：

Wolfram Language code: dataSQ = data ^ 2; ListPlot[#[dataSQ, {1, 30}], Filling -> Axis, PlotRange -> {-.2, 1}, PlotLabel -> #]& /@ {CorrelationFunction, PartialCorrelationFunction}

対応するARMA過程：

Wolfram Language code: arma = ARMAProcess[proc]

ARMA過程のCorrelationFunctionおよびPartialCorrelationFunction：

Wolfram Language code: ListPlot[#[arma, {1, 30}], Filling -> Axis, PlotRange -> {-.2, 1}, PlotLabel -> #]& /@ {CorrelationFunction, PartialCorrelationFunction}
Wolfram Research (2014), GARCHProcess, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GARCHProcess.html.

テキスト

Wolfram Research (2014), GARCHProcess, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GARCHProcess.html.

CMS

Wolfram Language. 2014. "GARCHProcess." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GARCHProcess.html.

APA

Wolfram Language. (2014). GARCHProcess. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/GARCHProcess.html

BibTeX

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BibLaTeX

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