用矩阵指定几何问题：

给出问题的等效目标函数和几何约束条件：

求解几何问题，以标准形式给出等式约束条件：

求解以广义正多项式给出的几何问题：

该算法会自动添加额外的变量，以得到中间的正多项式形式：

求解以向量变量形式给出的几何问题：

求解以标准正多项式形式给出的几何问题：

获取最小值和最小化向量：

显示问题的矩阵表示形式：

求解以广义正多项式形式给出的几何问题：

获取被转换过的约束条件，包括引入的中间变量：

以下是相应的矩阵表示：

求解以矩阵形式给出的几何问题：

获取用形式变量表示的符号形式的几何问题：

求 ，其中 最小化受 限制的 ：

对偶问题是最大化受 限制的 ：

用 ConicOptimization 形成的式子用中间变量 替换了凸项 ，添加了约束条件 ，等价于先前使用的对偶指数锥约束条件； 要求 .

可以通过 "DualMaximizer" 属性更容易地获得 和 ：

由于强对偶性，原始最小值和对偶最大值相同：

最小化受约束条件 和 限制的 ：

获取对偶问题的解：

原始最小值和对偶最大值相同，因为 GeometricOptimization 具有强对偶性. 它们的差被称为对偶间隙：

对偶问题是用问题的矩阵表示来定义的：

因为所有项都是单项式，所以所有矩阵 只有一个行，对偶向量 只有一个元素，所以 . 最大化 相当于最小化 ，由于指数是单调递增函数，因此相当于最小化 ，所以可用以下方式求解对偶问题：

注意，原问题也可以通过利用指数的单调性的线性优化来求解：

最大化一个开口盒子的体积，盒子的高度 、宽度 和深度 的约束条件为要使得盒子的成本小于 $100. 底部的成本为每单位面积 $10，侧面的成本为每单位面积 $1：

如果底部的成本降低了 10%，请估算盒子体积的相对变化：

底部的成本是第二个元素的第一部分（第一个元素对应于目标）. 敏感性为负的，因为 ：

一个盒子，高度为 ，宽度为 ，深度为 ，如果顶部和底部的面积和侧面的面积受约束条件而发生变化，求盒子的最大体积的相对变化. 最大化体积等同于最小化体积的倒数：

将侧面的总面积限制为小于或等于 ，并将顶部和底部的面积限制为小于或等于 ：

此外，限制高宽比：

定义一个函数，给定 和 ，计算体积：

求 时的最大体积：

求 时目标函数对约束条件的相对灵敏度：

与面积约束条件相关的是第二个和第三个（第一个与目标相关）元素：

体积关于 的相对变化为 ：

这意味着 的微小变化不会改变 {α,β}={38,47} 时的体积：

当 足够小时，它会影响体积：

灵敏度是对数-对数图上曲线的斜率：

的两个元素来自两组相对的边，所以体积的相对变化为：

将 增大 .5，预测的变化为：

实际的变化为：

可以用有限差分验证灵敏度：

求受约束条件 限制的 的最小值关于 和 的相对变化：

用有限差分来验证 ：

用类似方法来验证 和 ：

有限差分估计值在优化的容差范围内：

确定使问题可行的约束条件的限制：

问题可行：

下面的问题则不可行：

最小化面积为 4 的矩形的对角线的长度，以使宽度加上高度的三倍小于 7：

为体积为 的球形冰淇淋设计一个锥形杯. 假定冰淇淋的半径和锥形杯的半径相同. 最小化锥形杯的表面积，使得冰淇淋融化时锥形杯能盛下整个冰淇淋：

求能最大化椭圆体（最大表面积为 1）的体积的 ：

当 相差不大时，，表面积可以近似为：

通过最小化其倒数来最大化体积：

不出所料，是一个球. 对轴的长度进行限制，情况发生变化：

最大化高度为 、宽度为 、深度为 的盒子的体积，使得任意两个尺寸的差别不超过 2 倍，并且限制侧面、顶部和底部的总表面积：

定义一个函数，给定总侧面积 及顶部和底部面积的和 ，返回体积：

计算体积表：

用对数图显示作为侧面面积及顶部和底部面积的函数的体积：

针对侧面面积的不同值，显示体积与允许的顶部/底部面积的权衡曲线：

给定具有非负实数项的 的矩阵 ，求可最小化相似矩阵 的平方和（Frobenius 范数的平方）的具有正数项的对角矩阵 ：

令 d={d₁,…,d_n} 为 的对角线项. 因为 d_i 是正的， 的项为 {1/d₁,…,1/d_n}，所以积的项为 ：

比较原始矩阵和缩放过的矩阵的范数：

矩阵相似，因此特征值相等：

令 为一个 矩阵，由用 变量表示的正多项式元素组成. 求可最小化 的光谱半径的 . 光谱半径等于 的特征值的绝对值的最大值，:

光谱半径也等于 Perron–Frobenius 特征值 ，可用 来计算：

以下是具有最小光谱半径的矩阵：

验证算出的 为光谱半径：

随机选择 ，比较相应的光谱半径：

在半径 ，高度 和长宽比 受到限制的情况下，最小化圆柱形储存罐的建造和运营成本：

建造成本是底部的成本加上侧壁的成本：

装填成本与货物的体积 和储存罐的体积 之比成正比：

最小化总成本：

规划具有最小总面积的矩形平面，该矩形平面将 个指定面积的矩形围在一起，限制这些矩形的长宽比、矩形之间的距离和相对位置.

用 Rectangle[{0,0},{H,W}] 描述大矩形，用 r_i=Rectangle[{x_i,y_i},{x_i+w_i,y_i+h_i}], i=1,…,n 描述被围的小矩形.

对于 ，将每个小矩形的长宽比 限制在 和 之间，.

可以用两个有向图来描述相对位置，用 描述水平方向上的放置，用 描述垂直方向上的放置. 如果存在边 ij，则 r_i 应在 r_j 的左侧（或下方）：

令 为矩形之间的最小间距. 当 有边 ij 时，矩形 被限制为位于矩形 的左侧，因而 . 当 有边 ij 时，矩形 被限制为位于矩形 的下边，因而 . 可用以下函数对图进行遍历并考虑可能位于平面边缘的矩形：

给定布局图、面积 和 ，可通过使用 GeometricOptimization 的函数将规则合并起来：

以下是描述 3 个矩形的相对位置的图，第一个位于其他两个矩形的左侧，第二个位于第三个矩形的下方：

下面是显示布局的函数：

下面是随机指定面积的 10 个矩形的布局：

设计能承受垂直载荷 或水平载荷 的重量最小的桁架. 桁架的杆是空心管，内径为 ，外径为 ，密度为 ：

用桁架的高度 和宽度 定义杆的长度. 截面积为 . 目标是最小化重量：

当施加垂直载荷 时，每个杆的受力为：

当施加水平载荷 时，每个杆的受力为：

杆上承受的总力不得超过允许的最大受力 ，其中 为允许的最大应力：

桁架高度 和桁架宽度 被限制为：

要求空心管的壁厚最小. 可要求 () 来实现. 杆的面积与半径之间的关系为 ，不是单项函数. 通过使用 和约束条件 ，所得约束条件为单项式：

指定桁架的参数：

解 ，求得最佳桁架：

通过 得出杆的外半径 ：

设计能承受垂直载荷 的重量最小的桁架. 已知桁架的高度 和宽度 . 节点 的垂直位置未知：

令 分别为杆 和 的截面积， 为杆的密度. 桁架的重量由下式给出：

杆 承受的是张力. 令 为材料的拉伸应力. 杆 上承受的力不得超过允许的最大受力：

杆 承受的是压力. 令 为材料的抗压应力. 杆 上承受的力不得超过允许的最大受力：

指定参数：

给定 的值，可求解几何优化问题的的特定实例. 假设节点 的垂直位置必须在一定范围内，在该范围内求解：

绘制最小重量：

求给出最小重量的 的特定值：

求最佳截面积和桁架的重量：

设计一个自由端能承受垂直载荷 的重量最小的悬臂. 悬臂由 个单位长度的节段组成. 每个节段的宽度为 ，高度为 ：

载荷使梁偏斜，在梁的每个节段上产生应力 . 应力必须小于允许的最大应力 ：

令 为节段 右端的挠度. 可递归式求出自由端的挠度 ： ，其中 是杨氏模量，斜率 . 由于第 个节段是固定的，所以 ：

梁的自由端的挠度必须小于允许的最大挠度 ：

宽度、高度和长宽比被限制在一定范围内：

指定参数：

通过最小化重量求每个节段的尺寸：

可视化悬臂梁：

设计数字电路门的大小：求给定电路中受功率和面积限制的门的最佳尺寸，以最小化电路中的延迟. 考虑由七个门组成的电路：

令 为每个门必须增大的比例因子：

假定每个门占用的面积与比例因子成正比，因此电路的总面积为：

门 转换时损失的能量与比例因子 成正比，门转换时的转换频率 和能量损失 为：

门 的输入电容 ，门 6 和 7 除外，它们的输入电容为 10：

门 的驱动电阻为 ：

门 的电容是与其输出相连的门的输入电容之和，输出门 6 和 7 除外，它们的电容与其输入电容相同：

门 的延迟是其驱动电阻和门电容的乘积：

目标是使电路中可遍历的所有路径组合的最坏情况下的延迟最小化：

电路的面积必须小于规定的最大面积：

消耗的功率必须小于指定的最大功率：

求对允许的最大面积和功率进行组合得出的最小面积：

绘制最佳折衷曲线：

在已知电容的电路中，求 段电线的宽度. 下面的网络中有五段电线：

每段电线的电阻为 ，电容为 ，其中 为正常数，具体取决于电线的特性， 是电线的长度，宽度为 :

使用 模型，用一个电阻和电容来模拟电线. 所得网络为电阻器-电容器网络：

通过将各个网络电容与电线的电容 相加，可以得到模型的新电容：

Elmore 延迟测量的是电压变化并收敛到新值所造成的延迟. 每个电容 的 Elmore 延迟为 ，其中 是电容 和 之间的一组电阻：

目标是最小化最大的 Elmore 延迟：

电线的宽度被限制在以下范围内：

总面积不能超过允许的最大面积：

指定参数：

求电线的宽度：

求晶体管的最佳掺杂分布，以最小化基区渡越时间. 令 为掺杂分布，其中 为基区宽度. 令 为基区渡越时间. 给出了作为 的函数的简化模型，其中 是一个常数. 令 ；可用 个等距点将积分离散化：

掺杂梯度约束条件 可被近似为：

掺杂分布具有上限和下限以及指定的初始和最终状态：

指定参数：

求解由此产生的几何优化问题，获得最佳掺杂分布：

绘制所得分布：

最小化 个发射机发射到 个接收机的总功率 ：

接收机 接收的来自发射机 的功率为 ，其中 表示从发射机 到接收机 的路径增益：

接收机 处的信号功率为 ：

接收机 处的干扰功率是接收的来自除 之外的所有发射机的总功率 ：

第 个接收机/发射机对的信号与干扰加噪声比 (SINR) 为 ，其中 是接收机 处的噪声功率：

任意接收机/发射机对的 SINR 有一个最小阈值a. 为了使它成为一个正多项式约束条件，取 SINR 约束条件的倒数 ：

功率有上限和下限：

指定参数：

求功率：