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Hypergeometric2F1

Hypergeometric2F1[a,b,c,z]

超幾何関数である．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
関数は級数展開 $TemplateBox[{a, b, c, z}, Hypergeometric2F1]=sum_(k=0)^(infty)TemplateBox[{a, k}, Pochhammer]TemplateBox[{b, k}, Pochhammer]/TemplateBox[{c, k}, Pochhammer] z^k/k!$ を持つ．ここで，はPochhammer記号である．
特別な引数の場合，Hypergeometric2F1は，自動的に厳密値を計算する．
Hypergeometric2F1は任意の数値精度で評価できる．
Hypergeometric2F1逆ヤコビ楕円関数は楕円積分に関係する．
Hypergeometric2F1[a,b,c,z]は，複素平面上，〜の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
FullSimplifyおよびFunctionExpandは，Hypergeometric2F1の変換規則を含む．
Hypergeometric2F1はIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (7)

数値的に評価する：

記号的に評価する：

実数の部分集合上でをプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

テイラー(Taylor)級数におけるHypergeometric2F1を原点で展開する：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (44)

数値評価 (5)

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素引数について評価する：

Hypergeometric2F1を高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のHypergeometric2F1関数を計算することもできる：

特定の値 (6)

Hypergeometric2F1は，ある種の引数については評価すると自動的により簡単な関数になる：

単位元におけるHypergeometric2F1の厳密値：

最初の2つのパラメータのどちらかが負の整数の場合は，超幾何級数は停止する：

方程式を満たすの値を求める：

置換対称性：

Heun関数は超幾何関数に簡約できる：

可視化 (3)

Hypergeometric2F1関数をプロットする：

Hypergeometric2F1をその第3パラメータの関数としてプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (9)

Hypergeometric2F1の実数領域：

Hypergeometric2F1の複素数領域：

は実領域上では解析関数ではない：

複素平面上では解析的でも有理型でもない：

は実領域上では非減少である：

は単射である：

は全射ではない：

は実領域上で非負である：

はのとき特異点と不連続点の両方を持つ：

は実領域上で凸である：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

一次導関数：

高次導関数：

高次導関数を，，についてプロットする：

次導関数の式：

積分 (3)

Hypergeometric2F1の不定積分：

Hypergeometric2F1の定積分：

ベキ関数を含む積分：

級数展開 (6)

Hypergeometric2F1のテイラー展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

Hypergeometric2F1の級数展開における一般項：

の近くにおけるHypergeometric2F1の級数展開：

の近くにおけるHypergeometric2F1の級数展開：

任意の記号方向についての結果を与える：

Hypergeometric2F1をベキ級数に適用する：

積分変換 (2)

LaplaceTransformを使ってラプラス(Laplace)変換を計算する：

HankelTransform：

関数の恒等式と簡約 (2)

引数の簡約：

再帰関係：

関数表現 (5)

基本定義：

JacobiP多項式との関係：

Hypergeometric2F1はDifferentialRootとして表現できる：

Hypergeometric2F1はMeijerGによって表現できる：

TraditionalFormによる表示：

アプリケーション (3)

半径の中性誘電体球の外側の点電荷上で作用している力の式：

荷電されていない絶縁導電球に対応する無限大の誘電定数の極限：

球から遠く離れた点での力の近似：

2人のプレーヤーがサイコロを振っている．両者の数の合計が10未満なら2番目のプレーヤーに4セントが支払われる．それ以外の場合は最初のプレーヤーに9セントが支払われる．このゲームは公平だろうか．最初のプレーヤーが支払いを受ける確率を計算する：

ゲームあたりの平均スコアが等しくないのでこのゲームは公平ではない：

n ゲーム後に不利なプレーヤーの方がスコアがよくなる確率を求める：

この確率は振動を示している：

のときに最大確率に達する：

3つの確定特異点と指数パラメータを持ち制約条件に従うリーマンの微分方程式：

Hypergeometric2F1によって2つの線形独立解を構築する：

解がリーマンの方程式を満足することを確認する：

特性と関係 (2)

FunctionExpandを使ってHypergeometric2F1を他の関数に展開する：

分枝切断線の上下でHypergeometric2F1の極限を求める：

考えられる問題 (1)

のとき，はに等しい：

しかし，が負の整数である場合は，Hypergeometric2F1は多項式を返す：

おもしろい例題 (1)

初期条件がとの離散的なケプラー(Kepler)問題は，超幾何関数によって解くことができる：

エネルギーはに依存する：

で，の引力ポテンシャルに存在する有限なノルムの状態：

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