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JacobiEpsilon[u,m]

ヤコビのイプシロン関数 TemplateBox[{u, m}, JacobiEpsilon]を与える．

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JacobiEpsilon

JacobiEpsilon[u,m]

ヤコビのイプシロン関数 TemplateBox[{u, m}, JacobiEpsilon]を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • TemplateBox[{u, m}, JacobiEpsilon]=int_0^uTemplateBox[{z, m}, JacobiDN]^2dz
  • 楕円積分における引数の規約については「楕円積分と楕円関数」を参照のこと．
  • JacobiEpsilonは，両方の引数で有理型関数である．
  • 特別な引数の場合，JacobiEpsilonは自動的に厳密値を計算する．
  • JacobiEpsilonは任意の数値精度で評価できる．
  • JacobiEpsilonは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例  (3)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2.5, 0.5]

実軸に沿ってプロットする：

Wolfram Language code: Plot[JacobiEpsilon[u, 3 / 4], {u, -3, 3}]

原点についての級数展開：

Wolfram Language code: Series[JacobiEpsilon[u, m], {u, 0, 7}]
Wolfram Language code: Series[JacobiEpsilon[u, m], {m, 0, 1}]

スコープ  (23)

数値評価  (4)

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[JacobiEpsilon[2, 1 / 3], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2, 1 / 3`55]

複素引数について評価する：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2.3 + 0.7I, 0.5]
Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2.3 + 0.7I, 0.5 + I]

JacobiEpsilonを高精度で効率的に評価する：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2, 0.3`500]//Timing
Wolfram Language code: JacobiEpsilon[2, 0.3`10000];//Timing

JacobiEpsilonは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[{u1, u2}, m]

特定の値  (3)

簡単な厳密値は自動的に生成される：

Wolfram Language code: {JacobiEpsilon[u, 0], JacobiEpsilon[u, 1]}
Wolfram Language code: {JacobiEpsilon[0, m], JacobiEpsilon[EllipticK[m] / 2, m], JacobiEpsilon[EllipticK[m], m]}
Wolfram Language code: {JacobiEpsilon[I EllipticK[1 - m], m], JacobiEpsilon[EllipticK[m] + I EllipticK[1 - m], m]}

JacobiEpsilonはJacobiDNと同じ極を持つ：

Wolfram Language code: Asymptotic[Table[JacobiEpsilon[u + (2r + 1)I EllipticK[1 - m] + 2s EllipticK[m], m], {r, -1, 1}, {s, -1, 1}], u -> 0]
Wolfram Language code: Asymptotic[Table[JacobiDN[u + (2r + 1)I EllipticK[1 - m] + 2s EllipticK[m], m], {r, -1, 1}, {s, -1, 1}], u -> 0]

JacobiEpsilon[u,]=2の根を求める：

Wolfram Language code: {xroot} = x /. NSolve[JacobiEpsilon[x, 2 / 3] == 2 && 1 < x < 5, x]
Wolfram Language code: Plot[JacobiEpsilon[x, 2 / 3], {x, -π, 2π}, Epilog -> Style[Point[{xroot, JacobiEpsilon[xroot, 2 / 3]}], PointSize[Large], Red]]

可視化  (3)

JacobiEpsilon関数を m のさまざまな値についてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{JacobiEpsilon[u, -1], JacobiEpsilon[u, 0], JacobiEpsilon[u, 2 / 3], JacobiEpsilon[u, 4]}, {u, -Pi, Pi}]

JacobiEpsilonをそのパラメータ m の関数としてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{JacobiEpsilon[1, m], JacobiEpsilon[2, m], JacobiEpsilon[3, m]}, {m, -7, 10}]

JacobiEpsilon[x+y,]の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ContourPlot[Re[JacobiEpsilon[x + I y, 1 / 2]], {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

JacobiEpsilon[x+y,]の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ContourPlot[Im[JacobiEpsilon[x + I y, 1 / 2]], {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

関数の特性  (2)

JacobiEpsilonは，準周期2 TemplateBox[{m}, EllipticK]で加法的に準周期的である：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u + 2 llipticK[m], m]

JacobiEpsilonは，準周期2 ⅈ TemplateBox[{{1, -, m}}, EllipticK]で加法的に準周期的である：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u + 2I EllipticK[1 - m], m]

JacobiEpsilonは奇関数である：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[-u, m]

微分  (3)

一次導関数：

Wolfram Language code: D[JacobiEpsilon[u, m], u]

高次導関数：

Wolfram Language code: derivs = Table[D[JacobiEpsilon[u, m], {u, n}], {n, 1, 4}]//FullSimplify

導関数をパラメータ についてプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[derivs /. m -> 1 / 3], {u, -6, 6}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative", "Fourth Derivative"}]

パラメータ m についての導関数：

Wolfram Language code: D[JacobiEpsilon[u, m], m]

積分  (1)

JacobiEpsilonの不定積分：

Wolfram Language code: Integrate[JacobiEpsilon[u, m], u]

級数展開  (3)

JacobiEpsilon[u,]についての級数展開：

Wolfram Language code: Series[JacobiEpsilon[u, 1 / 3], {u, 0, 7}]

JacobiEpsilon[u,]についての の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[JacobiEpsilon[u, 1 / 3], {u, 0, n}], {n, 2, 7, 2}]; Plot[{JacobiEpsilon[u, 1 / 3], terms}, {u, -2, 2}]

JacobiEpsilon[2,m]についてのテイラー(Taylor)展開：

Wolfram Language code: Series[JacobiEpsilon[2, m], {m, 0, 3}]

JacobiEpsilon[2,m]についての の周りの最初の3つの近似をプロットする：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[JacobiEpsilon[2, m], {m, 0, n}], {n, 1, 3}]; Plot[{JacobiEpsilon[2, m], terms}, {m, -2, 2}]

JacobiEpsilonはベキ級数に適用できる：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[JacobiAmplitude[ϕ, m] + O[ϕ] ^ 4, m]

関数の恒等式と簡約  (2)

パリティ変換と準周期関係は自動的に適用される：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[-u, m]
Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u + 2EllipticK[m] + 2I EllipticK[1 - m], m]

自動的な引数の簡約：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u + EllipticK[m], m]
Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u + I EllipticK[1 - m], m]

関数表現  (2)

JacobiEpsilonは第2種楕円積分に関連している：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[EllipticF[ϕ, m], m]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: JacobiEpsilon[u, m]//TraditionalForm

アプリケーション  (7)

JacobiEpsilonは，パラメータ についてのヤコビの楕円関数の導関数に現れる：

Wolfram Language code: D[JacobiSN[u, m], m]

JacobiEpsilonを複素平面上にプロットする：

Wolfram Language code: Plot3D[Im[JacobiEpsilon[x + I y, 1 / 3]], {x, -4EllipticK[1 / 3], 4EllipticK[1 / 3]}, {y, -4EllipticK[2 / 3], 4EllipticK[2 / 3]}]

磁場における荷電粒子の運動：

Wolfram Language code: With[{ω = Sqrt[v0 γ / 2]}, x[t_] = 2ω / γ JacobiSN[ω t, -1]; y[t_] = 2ω / γ(ω t - JacobiEpsilon[ω t, -1]) ];

ローレンツ力でニュートンの運動方程式を解くことを確認する：

Wolfram Language code: {x''[t], y''[t], 0} - γ Cross[{x'[t], y'[t], 0}, {0, 0, x[t]}]//FullSimplify

いくつかの異なる初速度の粒子軌道をプロットする：

Wolfram Language code: ParametricPlot[Evaluate[Table[{x[t], y[t]} /. γ -> 1, {v0, 1 / 4, 1, 1 / 4}]], {t, 0, 12}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

回転している弾性ロッドのパラメータ化（原点に固定）：

Wolfram Language code: y[F_, β_, m_][ℓ_] = -Integrate[2Sqrt[m]JacobiSN[F + β σ, m]JacobiDN[F + β σ, m], {σ, 0, ℓ}, GenerateConditions -> False]
Wolfram Language code: z[F_, β_, m_][ℓ_] = Integrate[1 - 2JacobiDN[F + β σ, m]^2, {σ, 0, ℓ}, GenerateConditions -> False]

変形したロッドの形状をプロットする：

Wolfram Language code: ParametricPlot[Evaluate[{z[1.1, 1, 0.96][ℓ], y[1.1, 1, 0.96][ℓ]}], {ℓ, 0, 3}]

パラメータ化のパラメータ はロッドの長さである：

Wolfram Language code: With[{F = 1.1, β = 1, m = 0.96, ℓ = 2.5}, ArcLength[{z[F, β, m][t], y[F, β, m][t]}, {t, 0, ℓ}]]

コスタ(Costa)の極小曲面のパラメータ化[MathWorld]：

Wolfram Language code: x[w_, m_] := With[{c = 2EllipticK[m]}, Re[((π/2) + (c^2/4))w - (c/2)(JacobiEpsilon[c w, m] + JacobiCN[c w, m]JacobiDS[c w, m]) - (π/4c)JacobiSD[c w, m](JacobiNC[c w, m] + JacobiCN[c w, m])]];
Wolfram Language code: y[w_, m_] := With[{c = 2EllipticK[m]}, Im[((π/2) - (c^2/4))w + (c/2)(JacobiEpsilon[c w, m] + JacobiCN[c w, m]JacobiDS[c w, m]) - (π/4c)JacobiSD[c w, m](JacobiNC[c w, m] + JacobiCN[c w, m])]];
Wolfram Language code: z[w_, m_] := With[{c = 2EllipticK[m]}, Sqrt[(π/8)]Log[Abs[JacobiCN[c w, m]^2]]];
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[With[{w = u + I v}, {x[w, 1 / 2], y[w, 1 / 2], z[w, 1 / 2]}], {u, 0, 1}, {v, 0, 1}, Mesh -> False]

Chen–Gackstatter極小曲面をパラメータ化する：

Wolfram Language code: x[w_] := With[{c = 2EllipticK[(1/2)]}, Re[(π + (c^2/2))w - c JacobiEpsilon[c w, (1/2)] + JacobiCS[c w, (1/2)]JacobiDS[c w, (1/2)]((2 π/c)JacobiNS[c w, (1/2)] - c JacobiSN[c w, (1/2)])]];
Wolfram Language code: y[w_] := With[{c = 2EllipticK[(1/2)]}, Im[(π - (c^2/2))w + c JacobiEpsilon[c w, (1/2)] + JacobiCS[c w, (1/2)] JacobiDS[c w, (1/2)]((2 π/c)JacobiNS[c w, (1/2)] + c JacobiSN[c w, (1/2)])]];
Wolfram Language code: z[w_] := With[{c = 2EllipticK[(1/2)]}, Sqrt[6 π] Re[JacobiNS[c w, (1/2)]^2] - Sqrt[(3π/2)]];
Wolfram Language code: ParametricPlot3D[With[{w = r E^I θ}, {x[w], y[w], z[w]}], {r, 1 / 5, 4 / 5}, {θ, -π, π}, Mesh -> False]

Lamé微分方程式の非周期解を周期解から構築する：

Wolfram Language code: ν = 1;j = 1;m = 1 / 2; fsol = FunctionExpand[LameC[ν, j, x, m]]Integrate[FunctionExpand[LameC[ν, j, x, m] ^ -2], x]
Wolfram Language code: gsol = FunctionExpand[LameS[ν, j, x, m]]Integrate[FunctionExpand[LameS[ν, j, x, m] ^ -2], x]

解がLamé方程式を満足することを確かめる：

Wolfram Language code: D[fsol, {x, 2}] + (LameEigenvalueA[ν, j, m] - ν(ν + 1)m JacobiSN[x, m]^2)fsol == 0//FullSimplify
Wolfram Language code: D[gsol, {x, 2}] + (LameEigenvalueB[ν, j, m] - ν(ν + 1)m JacobiSN[x, m]^2)gsol == 0//FullSimplify

すべての解を一緒にプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{LameC[ν, j, x, m], fsol, LameS[ν, j, x, m], gsol}//Evaluate, {x, -4EllipticK[m], 4EllipticK[m]}]

特性と関係  (3)

JacobiEpsilonはTemplateBox[{u, m}, JacobiDN]^2の定積分として定義される：

Wolfram Language code: Integrate[JacobiDN[𝓊, m] ^ 2, {𝓊, 0, u}]

JacobiEpsilon[u,m]は TemplateBox[{TemplateBox[{u, m}, JacobiAmplitude], m}, EllipticE2]の有理型拡張である：

Wolfram Language code: With[{m = 2 / 3}, Plot[{Im[JacobiEpsilon[1 + I t, m]], Im[EllipticE[JacobiAmplitude[1 + I t, m], m]]}, {t, -7, 7}, IconizedObject[«PlotOptions»]]]

JacobiEpsilonはJacobiZNに関連している：

Wolfram Language code: JacobiZN[u, m]//FunctionExpand
Wolfram Research (2020), JacobiEpsilon, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiEpsilon.html.

テキスト

Wolfram Research (2020), JacobiEpsilon, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiEpsilon.html.

CMS

Wolfram Language. 2020. "JacobiEpsilon." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiEpsilon.html.

APA

Wolfram Language. (2020). JacobiEpsilon. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiEpsilon.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_jacobiepsilon, author="Wolfram Research", title="{JacobiEpsilon}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiEpsilon.html}", note=[Accessed: 15-November-2026]}

BibLaTeX

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