JordanDecomposition

正方行列 m のジョルダン(Jordan)分解を行う．結果として，リスト{s,j}を与える．s は相似行列を表し，j は m のジョルダン標準形を表す．

詳細

もとの行列 m は s.j.Inverse[s]に等しい． »
行列 m は数値でも記号でも指定可能である．
j 行列はジョルダン標準形と呼ばれる．
行列のジョルダン標準形は，固有値が主対角上に重複して出現するブロック対角行列である．最初の上対角要素には複数の固有値から構成される非自明なジョルダンブロックが存在する1が含まれることがある．その他の要素はすべてゼロである．
各固有値はブロックを決定し，重複度を持つ固有値は常に同じブロック内に出現する．これらの固有値はサブブロックに分割されることがある．新しいサブブロックは，固有値の上，つまり上対角線の位置が1ではないことで示される．
ブロックの長さは，固有値の代数的重複度である．サブブロックの数は幾何学的重複度であり，その固有値の線形独立な固有ベクトルがスパンする部分空間の次元と同じである．この部分空間は，その固有値から固有空間と呼ばれる．
各サブブロックは，固有空間から独立した固有ベクトル v に関連付けられ，これらを合わせると，その空間をスパンする．サブブロックに関連付けられた後続のベクトルは，広義固有ベクトルと呼ばれる．j 番目のそのようなベクトル v_jは行列 m と固有値 λ に対してサブブロックの真の固有ベクトルと式(m-λ imat)^j.v_j=v で関連付けられる．ここで，imat は m と同じサイズの単位行列であり，指数は行列のベキ乗を表す．
ジョルダン標準形はブロックの順序とブロック内のサブブロックの順序まで一意である．順序の変更は相似行列の変化に対応する．
すべての固有値の重複度が1の場合，ジョルダ標準形はそれらの固有値からなる対角行列と順序付けまで同じである．これは，上対角に1が存在しない場合に，一部の固有値が非自明な重複度を持つ場合でも，より一般的にあてはまる．このような場合には，相似変換は対応する固有ベクトルの行列の転置に過ぎない．
同じ次元の正方行列 m₁と m₂は，同じ次元の可逆行列 s が存在し，m₂=s.m₁.Inverse[s]が成立する場合，相似行列と呼ばれる．相似行列は同じジョルダン標準形を持つ．

例題

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例 (1)

3×3行列のジョルダン分解を求める：

結果をフォーマットする：

スコープ (10)

基本的な用法 (6)

機械精度行列のジョルダン分解：

結果をフォーマットする：

複素行列のジョルダン分解：

不足固有空間を持つ厳密行列のジョルダン分解：

の第3列の1は，48に対応する固有空間が不足していることを示している：

の第3列は，したがって，がではなくを与える一般化された固有ベクトルである：

分解によって入力行列が正しく回復されることを確認する：

任意精度行列のジョルダン分解：

記号行列のジョルダン分解：

大きい数値行列のジョルダン分解は効率的に計算される：

特殊行列 (4)

疎な行列のジョルダン分解：

構造化行列のジョルダン分解：

IdentityMatrixはジョルダン標準形である：

関連付けられた相似行列は恒等行列の平方根である：

HilbertMatrixのジョルダン分解：

アプリケーション (13)

一般化された固有ベクトルと対角化可能性 (4)

行列について，ジョルダン分解の行列の列を真の固有ベクトルと一般化された固有ベクトルの観点から解釈する：

ジョルダン分解を計算する：

対応する（列1, 3, 4）の対角より上にが存在しないの列は，の真の固有ベクトルである：

残りの列はの一般化された固有ベクトルである：

以下の行列には，1つの固有ベクトルしかないが $TemplateBox[{}, Reals]^4$ の基底を形成する一般化された固有ベクトルの完全鎖はあることを示す：

Eigensystemは，84がただ一つの独立固有ベクトルを含む重複度4の固有値であることを示す：

JordanDecompositionの行列の第1列は固有ベクトルが見付かった列である：

残りの列はである鎖である：

は空のNullSpaceを持つので，その列は $TemplateBox[{}, Reals]^4$ の基底を形成する：

正方行列は固有ベクトルの完全集合を持ち，したがって行列が対角行列であるときかつそのときに限って対角化可能である：

特定の行列が対角化可能かどうかを調べる：

DiagonalizableMatrixQを使って確かめる：

1と0の4×4行列が対角化可能である確率を推定する：

のときなら × 行列はベキ零である：

対角化不可能な行列について考える：

はJordanDecompositionを使って対角化可能な行列とベキ零行列の和として書くことができる：

がの対角部分とから形成された行列であるとする：

がの上対角部分とから形成された行列であるとする：

そうするとはとの和ということになる：

行列は対角化可能である：

行列はベキ零である：

さらに，行列と行列は可換である：

相似行列 (5)

行列 m₁とランダム可逆行列 s は相似行列 m₂を与える：

m₁のジョルダン分解：

m₂のジョルダン分解：

相似行列はそのジョルダン形式を共有する：

m₁の固有ベクトルを求める：

固有値はすべて異なるため，固有ベクトルは順序付けと定数による乗算まで相似変換の転置と一致する：

対角化可能な行列について，ジョルダン分解は対角化をとして直接与える．これを使って行列を対角化する：

ジョルダン分解を計算する：

対角化を確認する：

は標準行列が行列で与えられる線形変換であるとする．基底が対角であるの表現における特性で $TemplateBox[{}, Reals]^4$ の基底を求める：

のジョルダン分解を求める：

は固有ベクトルつまりの列からなるとする．が -座標から標準座標に変換されるとその逆行列は逆の方向に変換される：

したがって，はで与えられるが，これは対角行列である：

これは成分が固有値である単純な対角行列である点に注意のこと：

実数値対称行列はとして直交対角化可能である．ただし，は実数値の対角では直交である．以下の行列が対称行列であることを確認してこれを対角化する：

ジョルダン分解を計算する：

がと等しいとする：

列を正規化した後でとが等しいとする：

が実際に直交行列であることを確かめる：

であることを確認する：

ならその行列は正規行列と呼ばれる．正規行列はユニタリ変換で対角化可能な最も一般的な行列である．実数値対称行列は方程式の両辺が単になのですべて正規行列である：

次の行列が正規行列であることを示し，次にこれを対角化する：

NormalMatrixQを使って確かめる：

ジョルダン分解を計算する：

対角行列は実数値対称行列とは違って複素数値である：

の列を正規化するとユニタリ行列になる：

直交化を確かめる：

行列関数と動的な系 (4)

以下の行列についてジョルダン分解を使ってとを計算する：

行列と行列を計算する：

恒等式を確認する：

$m^k=s.j.TemplateBox[{s}, Inverse].s.j.TemplateBox[{s}, Inverse].....s.j.TemplateBox[{s}, Inverse]=s.j^k.TemplateBox[{s}, Inverse]$ である．は上三角行列でほぼ対角行列なので，対角成分は乗され，成分はになる：

したがって，についての式は以下のようになる：

MatrixPowerを使った直接計算で確認する：

指数行列にベキ級数を適用すると，対角成分が明らかにになり，非対角成分は単に指数を再構成した指数和になる．したがって，これもまたになる：

したがって，の式は以下になる：

MatrixExpによる直接計算を使って確かめる：

以下の行列の単一鎖と，，の各関数からなるジョルダン行列についての式を確認する：

まず，についての式を計算する：

MatrixFunctionを使って計算を確かめる：

についての計算も類似している：

MatrixFunctionで結果を確認する：

にはパラメータがあるので，Derivativeの代りにDを使ってを代入する：

再度，Functionを使ってが入力された際の結果をMatrixFunctionで確認する：

常微分方程式系 , , を解く．まず，右辺についての係数行列を構築する：

のジョルダン分解を計算する：

前の例の式を使う．は以下で与えられる：

3つの任意の初期値についての一般解は $exp(ta).{c_1,c_2,c_3}=s.exp(tj).TemplateBox[{s}, Inverse].{TemplateBox[{1}, CTraditional],TemplateBox[{2}, CTraditional],TemplateBox[{3}, CTraditional]}$ である：