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KendallTau[v1,v2]

对于向量 v1 和 v2，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[m]

对于矩阵 m，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[m1,m2]

对于矩阵 m1 和 m2，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[dist]

对于多变量符号式分布 dist，给出 Kendall 的阶数相关性矩阵.

KendallTau[dist,i,j]

对于多变量符号式分布 dist，给出第 Kendall 阶数相关性.

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按以下格式引用：

KendallTau

KendallTau[v1,v2]

对于向量 v1 和 v2，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[m]

对于矩阵 m，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[m1,m2]

对于矩阵 m1 和 m2，给出 Kendall 的阶数相关性系数 .

KendallTau[dist]

对于多变量符号式分布 dist，给出 Kendall 的阶数相关性矩阵.

KendallTau[dist,i,j]

对于多变量符号式分布 dist，给出第 Kendall 阶数相关性.

更多信息

  • KendallTau[v1,v2] 给出位于 v1 和 v2 之间的 Kendall 的阶数相关性系数 .
  • Kendall 的 是基于两个列表的连续元素的相对顺序的单调关联性测量.
  • 位于 和 之间的 Kendall 的 由 给出，其中 是一致的观测数对， 是不一致的对的数目， 是只涉及 变量的等值数目，而 是只涉及 变量的等值数目.
  • 一致的观测数对 和 同时满足 和 或者同时满足 和 . 不一致的观测数对同时满足 和 或者同时满足 和 .
  • 返回的 Kendall 的 的等值校验版本有时候称为 Kendall 的 Tau-b.
  • 参数 v1 和 v2 可以是相等长度的任意实值向量.
  • 对于具有 列的矩阵 m，KendallTau[m] 是由位于 m 的列之间的阶数相关性组成的 × 矩阵.
  • 对于 × 矩阵 m1 和 × 矩阵 m2，KendallTau[m1,m2] 是由位于 m1 的列之间和 m2 的列之间的阶数相关性组成的 × 矩阵.
  • KendallTau[dist,i,j] 是一致概率减去偏差概率 Probability[(x1-x2)(y1-y2)>0,{{x1,y1}disti,j,{x2,y2}disti,j}]-Probability[(x1-x2)(y1-y2)<0,{{x1,y1}disti,j,{x2,y2}disti,j}] 其中 disti,j 是 dist 的第 边缘分布.
  • KendallTau[dist] 给出矩阵 ，其中第 元素是由 KendallTau[dist,i,j] 给出的.

范例

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基本范例  (4)

两个向量的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: v1 = {3, -4, 1, 4, 22, 17, -2, 2, 13, -11}; v2 = {-20, -24, 0, 4, 24, 36, -12, -12, 56, -14};
Wolfram Language code: KendallTau[v1, v2]

矩阵的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[BinormalDistribution[.6], 10^3];
Wolfram Language code: KendallTau[m]//MatrixForm

两个矩阵的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: m1 = RandomReal[1, {10^3, 4}];
Wolfram Language code: m2 = RandomReal[1, {10^3, 3}];
Wolfram Language code: KendallTau[m1, m2]//MatrixForm

计算双变量分布的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: 𝒟 = BinormalDistribution[.5];
Wolfram Language code: KendallTau[𝒟]//MatrixForm

与模拟数值比较：

Wolfram Language code: KendallTau[RandomVariate[𝒟, 10^4]]//MatrixForm

范围  (7)

数据  (4)

精确输入产生精确输出：

Wolfram Language code: KendallTau[{5, 3 / 4, 12}, {2, 1 / 2, 1}]

近似输入产生近似输出：

Wolfram Language code: KendallTau[{1.5, 3, 5, 10}, {2, 1.25, 15, 8}]
Wolfram Language code: KendallTau[N[{1, 3, 5, 6, 6}, 30], N[{2, -1, 6, 8, 9}, 30]]

作用于大型数组：

Wolfram Language code: KendallTau[RandomReal[1, 10 ^ 4], RandomReal[1, 10 ^ 4]]

可以使用 SparseArray 数据：

Wolfram Language code: KendallTau[SparseArray[{{2, 2} -> 1, {5, 3} -> 2, {10, 1} -> 3}]]//MatrixForm

分布和过程  (3)

连续多变量分布的 Kendall 的 矩阵：

Wolfram Language code: KendallTau[BinormalDistribution[ρ]]//MatrixForm
Wolfram Language code: KendallTau[BinormalDistribution[ρ], 1, 2]

导出分布的 Kendall 的 矩阵：

Wolfram Language code: KendallTau[ProductDistribution[ExponentialDistribution[1], NormalDistribution[3, 5]]]//MatrixForm
Wolfram Language code: 𝒟 = CopulaDistribution[{"Frank", 2}, {UniformDistribution[{0, 1}], UniformDistribution[{0, 1}]}];
Wolfram Language code: KendallTau[𝒟]//MatrixForm

数据分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = HistogramDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[.15], 10 ^ 2]];
Wolfram Language code: KendallTau[𝒟]//MatrixForm
Wolfram Language code: KendallTau[BinormalDistribution[.15]]//MatrixForm

时间 和 处的随机过程的Kendall 的 矩阵：

Wolfram Language code: KendallTau[WienerProcess[][{0.2, 0.3}]]//MatrixForm

应用  (4)

Kendall 的 通常用于检测两个向量之间的线性独立性：

Wolfram Language code: {v11, v21} = Transpose[RandomVariate[BinormalDistribution[.99], 1000]]; {v12, v22} = Transpose[RandomVariate[BinormalDistribution[0], 1000]];

给定强线性独立性， 的绝对赋值趋近于1：

Wolfram Language code: KendallTau[v11, v21]

对于线性无关的向量数值趋近于0：

Wolfram Language code: KendallTau[v12, v22]

Kendall 的 可用于测量线性相关性：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];Table[RandomVariate[BinormalDistribution[i], 1000], {i, {-.99, -.75, -.25, -.5, 0., .25, .5, .75, .99}}]];
Wolfram Language code: Grid[Partition[Table[ListPlot[i, PlotStyle -> Directive[PointSize[Tiny]], FrameTicks -> None, Frame -> True, Axes -> None, PlotLabel -> Row[{"ρ : ", KendallTau[i][[1, 2]]}]], {i, data}], 3]]

Kendall 的 只能检测单调相关性：

Wolfram Language code: uni = RandomReal[{-3, 3}, 1000];
Wolfram Language code: f[x_] := {{x, -Sqrt[Abs[x]] + RandomReal[.5]}, {x, .25x^2 + RandomReal[.5]}, {x, -Sinc[x] + RandomReal[.5]}, {Cos[x], Sin[x] + RandomReal[.5]}}
Wolfram Language code: data = f /@ uni;
Wolfram Language code: Table[ListPlot[data[[All, i]], Frame -> True, Axes -> None, PlotLabel -> Row[{"ρ : ", KendallTau[data[[All, i]]][[1, 2]]}], PlotStyle -> Directive[PointSize[Tiny]], FrameTicks -> None], {i, 4}]

HoeffdingD 可用于检测其他独立性结构：

Wolfram Language code: Table[HoeffdingD[data[[All, i]]][[1, 2]], {i, 4}]

在 506 个波士顿郊区测量一系列因子，确定这些因素与房屋价值的相关性. 例如氮氧化物浓度和房屋价值中位数之类的因素之间的强关联表明相关性并不意味着因果关系：

Wolfram Language code: ExampleData[{"Statistics", "BostonHomes"}, "LongDescription"]
Wolfram Language code: data = ExampleData[{"Statistics", "BostonHomes"}][[All, {3, 5, 14}]];
Wolfram Language code: labs = {"Industrial Percentage", "Nitrogen Oxide Conc.", "Median Home Value"};

散点图矩阵比较非零售业务、氮氧化物浓度、房屋价值中位数的比例：

Wolfram Language code: GraphicsGrid[Table[If[i == j, Style[labs[[i]], Bold, FontSize -> 12], ListPlot[Transpose[{data[[All, j]], data[[All, i]]}], Frame -> True, Axes -> None, AspectRatio -> 1, FrameTicks -> None, PlotStyle -> PointSize[.01], ImageSize -> {100, 100}, PlotRange -> All]], {i, 3}, {j, 3}]]

对于散点图矩阵，Kendall 的 矩阵：

Wolfram Language code: KendallTau[data]//MatrixForm

KendallTauTest 说明氮氧化物的浓度增加时，房屋价值下降：

Wolfram Language code: KendallTauTest[data[[All, 2]], data[[All, 3]], "TestDataTable"]

属性和关系  (8)

对于高负相关和高正相关，Kendall 的 范围分别为 -1 到 1：

Wolfram Language code: d1 = RandomVariate[NormalDistribution[], 100]; d2 = -d1;
Wolfram Language code: KendallTau[d1, d1]
Wolfram Language code: KendallTau[d1, d2]

Kendall 的 矩阵是对称的：

Wolfram Language code: ktau = KendallTau[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 10 ^ 3]];
Wolfram Language code: SymmetricMatrixQ[ktau]

Kendall 的 矩阵的对角线元素是 1:

Wolfram Language code: data = RandomInteger[{-3, 3}, {100, 15}];
Wolfram Language code: Diagonal[KendallTau[data]]

Kendall 的 与 SpearmanRho 相关：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];Table[RandomVariate[BinormalDistribution[i], 2000], {i, {-.99, -.75, -.25, -.5, 0., .25, .5, .75, .99}}]];

给定弱线性相关，SpearmanRho 大约趋向于 ：

Wolfram Language code: Grid[Partition[Table[ListPlot[i, PlotStyle -> Directive[PointSize[Tiny]], FrameTicks -> None, Frame -> True, Axes -> None, PlotLabel -> Row[{"ρ / τ : ", (SpearmanRho[i][[1, 2]]/KendallTau[i][[1, 2]])}]], {i, data}], 3]]

使用 KendallTauTest 来测试独立性：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 1000];
Wolfram Language code: ListPlot[data, PlotStyle -> Directive[PointSize[Small]], PlotLabel -> KendallTauTest[Sequence@@Transpose[data], "TestDataTable"]]

或者，使用 IndependenceTest 来自动选择适当的测试方法：

Wolfram Language code: IndependenceTest[Sequence@@Transpose[data], "TestDataTable"]

如果变量很好地单调相关，Kendall 的 将保持 1 或者 -1：

Wolfram Language code: x = RandomReal[{-1, 1}, 1000]; y = ArcTanh[x]; z = -ArcTanh[x];
Wolfram Language code: ListPlot[{Transpose[{x, y}], Transpose[{x, z}]}]
Wolfram Language code: KendallTau[x, y]
Wolfram Language code: KendallTau[x, z]

与 Correlation 相反，它严格测量线性相关性：

Wolfram Language code: Correlation[x, y]
Wolfram Language code: Correlation[x, z]

连续双变量分布的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: 𝒟 = CopulaDistribution[{"AMH", 2 / 3}, {UniformDistribution[{0, 1}], UniformDistribution[{0, 1}]}];
Wolfram Language code: KendallTau[𝒟]
Wolfram Language code: Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) > 0, {{Subscript[x, 1], Subscript[y, 1]}𝒟, {Subscript[x, 2], Subscript[y, 2]}𝒟}] - Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) < 0, {{Subscript[x, 1], Subscript[y, 1]}𝒟, {Subscript[x, 2], Subscript[y, 2]}𝒟}]
Wolfram Language code: % - %%[[1, 2]]//FullSimplify

考虑等值分布，离散分布的 Kendall 的 ：

Wolfram Language code: 𝒟 = CopulaDistribution[{"FGM", 1 / 2}, {DiscreteUniformDistribution[{0, 5}], DiscreteUniformDistribution[{0, 5}]}];
Wolfram Language code: KendallTau[𝒟, 1, 2]
Wolfram Language code: dist = {Distributed[{Subscript[x, 1], Subscript[y, 1]}, 𝒟], Distributed[{Subscript[x, 2], Subscript[y, 2]}, 𝒟]};
Wolfram Language code: nc = Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) > 0, dist]; nd = Probability[(Subscript[x, 1] - Subscript[x, 2])(Subscript[y, 1] - Subscript[y, 2]) < 0, dist]; nx = Probability[Boole[Subscript[x, 1] == Subscript[x, 2]∧Subscript[y, 1] ≠ Subscript[y, 2]], dist]; ny = Probability[Boole[Subscript[y, 1] == Subscript[y, 2]∧Subscript[x, 1] ≠ Subscript[x, 2]], dist];
Wolfram Language code: tauExpected = (nc - nd) / Sqrt[(nc + nd + nx) (nc + nd + ny)]

在有对等值进行校验和没有校验的情况下，分别比较模拟数值：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[𝒟, 5 * 10^4];
Wolfram Language code: tauSim = KendallTau[data]

等值校验期望：

Wolfram Language code: tauExpected - tauSim[[1, 2]]//N

不校验等值：

Wolfram Language code: (nc - nd) - tauSim[[1, 2]]//N
Wolfram Research (2012)，KendallTau，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/KendallTau.html.

文本

Wolfram Research (2012)，KendallTau，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/KendallTau.html.

CMS

Wolfram 语言. 2012. "KendallTau." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/KendallTau.html.

APA

Wolfram 语言. (2012). KendallTau. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/KendallTau.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_kendalltau, author="Wolfram Research", title="{KendallTau}", year="2012", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/KendallTau.html}", note=[Accessed: 01-August-2026]}

BibLaTeX

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