求机器精度矩阵的最小二乘：

复矩阵的最小二乘：

对精确的非方阵使用 LeastSquares：

任意精度矩阵的最小二乘：

对符号矩阵使用 LeastSquares：

高效计算大型数字矩阵的最小二乘：

在 LeastSquares[m,b] 中，b 可以是一个矩阵：

结果中的每一列都等于使用 b 中的相应列作为输入求出的解：

求解稀疏矩阵的最小二乘问题：

求解结构化矩阵的最小二乘问题：

使用不同类型的矩阵结构：

LeastSquares[IdentityMatrix[n],b] 给出向量 ：

HilbertMatrix 的最小二乘：

用一个 2×3×4 的数组 和一个 2×3×5×6 的数组 求解最小二乘问题：

结果是一个 4×5×6 的数组：

m 是一个 20×20 Hilbert 矩阵，b 是一个向量，所以求出 m.x==b 的解：

用默认的公差，数字舍入是受约束的，因此错误就被分散了：

设置 Tolerance->0，数值舍入可以产生额外的错误：

指定一个较大的公差，将以产生较大的残差为代价限制舍入误差：

LeastSquares[m,b] 可被理解为求 的解，其中 是 在 的列空间上的正交投影. 考虑下面的 和 ：

求 的列所生成的空间的标准正交基：

计算 在 生成的空间上的正交投影：

可视化 、它在 的投影 和 ：

求解 ：

这与 LeastSquares 给出的结果是一致的：

比较并解释 LeastSquares[m,b] 和 LinearSolve[m,b^⟂] 对下面的 和 返回的答案：

求 的列所生成的空间的正交基：

返回的是零向量，因为矩阵的秩小于列数：

计算 在 生成的空间上的正交投影：

求解 ：

给出 LeastSquares 返回的解：

尽管 x 和 xPerp 不一样，但它们都解决了最小二乘问题，因为 m.x==m.xPerp：

这两个解的不同之处在于 NullSpace[m] 的一个元素：

对于具有线性独立列的矩阵使用矩阵投影算子来求以下 和 的 LeastSquares[m,b]：

的列空间上的投影算子为 ：

最小二乘问题的解则为 的唯一解：

用 LeastSquares 确认结果：

对于下面的 和 ，将 LeastSquares[m,b] 与 LinearSolve 和 的正规方程求得的解相比较：

用 LeastSquares 求解：

用 LinearSolve 和正规方程 求解：

尽管 x 和 xNormal 不一样，但它们都解决了最小二乘问题，因为 m.x==m.xNormal：

这两个解的不同之处在于 NullSpace[m] 的一个元素：

可用 LeastSquares 求数据的最佳拟合曲线. 考虑以下数据：

从数据中提取 和 坐标：

令 含有列 和 ，因此最小化 将拟合到直线 ：

获取线性最小二乘拟合的系数 和 ：

用 Fit 验证系数：

绘制数据与最佳拟合曲线：

求以下数据的最佳拟合抛物线：

从数据中提取 和 坐标：

令 含有列 、 和 ，因此最小化 将拟合到 ：

获取最小二乘拟合的系数 、 和 ：

用 Fit 验证系数：

绘制数据与最佳拟合曲线：

健康儿童的收缩压 （以毫米汞柱为单位）和体重 （以磅为单位）之间的关系近似为 . 利用以下实验数据点 估计一个体重为 100 磅的健康儿童的收缩压：

用 DesignMatrix 构建列为 和 的矩阵：

从数据中提取 值：

的最小二乘解：

将参数代入模型：

那么预计一个 100 磅重的孩子的血压大约是 ：

可视化数据与最佳拟合曲线：

根据开普勒第一定律，彗星的轨道满足 ，其中 是常数， 是离心率. 离心率决定了轨道的类型， 时为椭圆， 时是抛物线， 时为双曲线. 使用以下观测数据来确定彗星的轨道类型，并预测 时彗星与太阳的距离：

为了求出 和 ，先使用 DesignMatrix 创建列为 和 的矩阵：

用 LeastSquares 求出最小化设计矩阵中 的误差的 和 ：

由于 ，轨道是椭圆形，对于每一个 值有唯一的 值：

计算 时的函数值，给出预期的距离，大约为 ：

考虑以下数据：

从数据中提取 和 坐标：

定义以 t 为中心的三次基函数，适用于区间 [t-2,t+2]：

为以 0, 1, ..., 10 为中心的基函数设置稀疏设计矩阵：

求解最小二乘问题：

可视化数据与最佳拟合分段三次曲线，即 ：