LinearModelFit

LinearModelFit[{{x₁,y₁},{x₂,y₂},…},{f₁,f₂,…},x]

連続する x_iの値に対して y_iをフィットするの形の線形モデルを構築する．

LinearModelFit[data,{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…}]

f_iが変数 x_kに依存する線形モデルを構築する．

LinearModelFit[{m,v}]

計画行列 m と応答ベクトル v から線形モデルを構築する．

詳細とオプション

LinearModelFitは，関数の線形結合を使って入力データをモデル化しようとする．
LinearModelFitは，もとのが平均で共通標準偏差を持つ独立正規分布に従うという仮定の下に，の形式の線形モデルを作成する．

LinearModelFitは，構築する線形モデルを表す記号FittedModelオブジェクトを返す．
特定の点 x₁, …におけるLinearModelFitからの最もよくフィットした関数の値は model[x₁,…]で得ることができる．
次は，data の可能な形である．

	{y₁,y₂,…}	{{1,y₁},{2,y₂},…}という形式に等しい
	{{x₁₁,x₁₂,…,y₁},…}	独立した値 x_ijと応答 y_iのリスト
	{{x₁₁,x₁₂,…}y₁,…}	入力値と応答の間の規則のリスト
	{{x₁₁,x₁₂,…},…}{y₁,y₂,…}	入力値と応答のリストの間の規則
	{{x₁₁,…,y₁,…},…}n	行列の第 n 列をフィットする

${{x_(11),x_(12),... ,y_(1)},{x_(21),x_(22),... ,y_(2)},...}$ のような多変量のデータの場合，座標 x_i1, x_i2, …の数は変数 x_iの数と一致しなければならない．
データ点は近似実数でよい．不確かさはAroundを使って指定できる．
さらに，data は，関数および変数を指定しなくても計画行列を使って指定できる．
{m,v} 計画行列 m と対応ベクトル v
LinearModelFit[{m,v }]の計画行列 m は，{{f₁,f₂,…},{f₁,f₂,…},…}形のデータ点における基底関数 f_iの値によって形成される．応答ベクトル v は応答のリスト{y₁,y₂,…}である．
計画行列が使われるとき，基底関数 f_iはLinearModelFit[{m,v},{f₁,f₂,…}]の形を使って指定できる．
計画行列 m と応答ベクトル v についてのモデルはである．ここで，は推定すべきパラメータのベクトルである．

オプション

LinearModelFitで使用可能なオプション

ConfidenceLevel	95/100	母数と予測の信頼水準
IncludeConstantBasis	True	定数基底関数を入れるかどうか
LinearOffsetFunction	None	線形予測器における既知のオフセット
NominalVariables	None	名義的あるいはカテゴリ的とみなされる変数
VarianceEstimatorFunction	Automatic	誤差分散の推定のための関数
Weights	Automatic	データ要素の重み
WorkingPrecision	Automatic	内部計算で使う精度

設定をIncludeConstantBasis->Falseとすると，の形式のモデルがフィットされる．入力で計画行列が指定された場合は，オプションIncludeConstantBasisは無視される．
LinearOffsetFunction->h と設定すると，の形式のモデルがフィットされる．
ConfidenceLevel->p のとき，確率 p の信頼区間は母数と予測区間に基づいて計算される．
Weights->{w₁,w₂,…}と設定すると，y_iの誤差分散はに比例すると考えられる．
Weights->Automaticの設定でデータが厳密値を含んでいるときは，重みが1に設定される．データにAround値が含まれているなら，重みはに設定される．ただし，は応答分散の合計である．
応答分散の合計は，初期応答分散 s_i²と独立値の分散の関数である．
はAroundReplaceを使ってモデル内を伝播し，結果の分散が応答分散 s_i²に加えられる．関数FindRootを内部的に使ってFasanoおよびVioのメソッドに従った自己矛盾しない解が求められる．
VarianceEstimatorFunction->f と設定すると，分散は f[res,w]で予測される．ただし res={y₁-,y₂-,…}は剰余のリスト，w={w₁,w₂,…}は測定 y_iの加重リストである．
VarianceEstimatorFunction->(1&)およびWeights->{1/Δy₁²,1/Δy₂²,…}を使うと，Δy_iは測定y_iの既知の不確実性として扱われ，母数標準誤差は事実上加重のみから計算される．

特性

FittedModelのデータと診断は model["property"]で得ることができる．
データと model["property"]を使って得られたフィットされた関数に関連する特性

	"BasisFunctions"	基底関数のリスト
	"BestFit"	フィットされた関数
	"BestFitParameters"	母数推定
	"Data"	入力データあるいは計画行列と応答ベクトル
	"DesignMatrix"	モデルの計画行列
	"Function"	最もよくフィットした純関数
	"Response"	入力データの応答値
	"Weights"	データのフィットに使われる重み

残差のタイプ

	"FitResiduals"	実際の応答と予測された応答の差
	"StandardizedResiduals"	各残差について標準誤差で割られたフィットの残差
	"StudentizedResiduals"	単一の削除誤差推定で割られたフィットの残差

平方誤差の総和に関連する特性

	"ANOVA"	分散データの解析
	"CoefficientOfVariation"	応答平均で割られた推定標準偏差
	"EstimatedVariance"	誤差分散の推定
	"PartialSumOfSquares"	非定数基底関数が除去されるときのモデル平方和の変化
	"SequentialSumOfSquares"	要素ごとに区切られたモデル平方和

母数推定の特性と診断

	"CorrelationMatrix"	母数相関行列
	"CovarianceMatrix"	母数共分散行列
	"Eigenstructure"	母数相関行列の固有構造
	"ParameterEstimates"	フィットされた母数情報の表
	"VarianceInflationFactors"	推定母数の拡大要因のリスト

影響力の統計量関連特性

	"BetaDifferences"	母数値の影響のDFBETAS尺度
	"CatcherMatrix"	キャッチャー行列
	"CookDistances"	クック(Cook)の距離のリスト
	"CovarianceRatios"	観察影響のCOVRATIO尺度
	"DurbinWatsonD"	自己相関のDurbin–Watson 統計
	"FitDifferences"	予測値に対する影響のDFFITS尺度
	"FVarianceRatios"	観察影響のFVARATIO尺度
	"HatDiagonal"	ハット行列の対角要素
	"SingleDeletionVariances"	番目のデータ点を除いた分散推定のリスト

予測値関連特性

	"MeanPredictionBands"	平均予測の信頼帯
	"MeanPredictions"	平均予測の信頼区間
	"PredictedResponse"	データのフィットされた値
	"SinglePredictionBands"	1回の観察に基づいた信頼帯
	"SinglePredictions"	1回の観察の予想される応答の信頼区間

適合度の尺度特性

	"AdjustedRSquared"	モデル母数の数に適応された
	"AIC"	赤池情報量基準
	"AICc"	有限サンプル修正AIC
	"BIC"	ベイズ(Bayes)情報量基準
	"RSquared"	決定係数

特性"RSquared"と"AdjustedRSquared"については，平方和の合計の計算は，一定の基準が含まれている場合にのみ平均値補正される．
"PredictedResponse" データのフィットされた値

"SinglePredictionBands" 1回の観察に基づいた信頼帯

例題

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例 (1)

線形モデルをデータにフィットする：

関数形を得る：

関数の形を取得する：

任意の点でモデルを評価する：

フィットされた関数をデータとともに可視化する：

フィットに関する情報を抽出する：

スコープ (17)

データ (7)

増加する整数独立値を仮定して，1変数のモデルをフィットする：

これは以下に等しい：

応答が最後のものだと仮定して，2つ以上の変数を持つモデルをフィットする：

これは以下に等しい：

列を応答として指定する：

規則のリストをフィットする：

入力値と応答の規則をフィットする：

カテゴリ予測変数でモデルをフィットする：

計画行列と応答ベクトルで与えられたモデルをフィットする：

x と y として基底関数を参照してモデルをフィットする：

モデル (3)

関数の最適フィット線形係数を求める：

独立変数の線形関数の線形結合にデータをフィットする：

これは，定数関数を明示的に指定することに等しい：

データを独立変数の非線形関数の線形結合にフィットする：

特性 (7)

データとフィットされた関数 (1)

線形モデルをフィットする：

線形モデルに使用可能な特性のリストを取得する：

もとのデータを抽出する：

最高のフィットを求め，プロットする：

フィットされた関数を純関数として求める：

フィットのための計画行列と応答ベクトルを求める：

残差 (1)

フィットのために残差を調べる：

生のフィット残差を可視化する：

スケールされた残差をステムプロットで可視化する：

標準残差とスチューデント化残差の絶対差分をプロットする：

平方和 (1)

線形モデルを何等かのデータにフィットする：

推定誤差分散と変動係数を抽出する：

モデルの分散分析表を得る：

表からF統計を得る：

母数推定診断 (1)

パラメータ情報のフォーマットされた表を入手する：

フィットされたパラメータの統計を取得する：

影響力の統計量 (1)

極値を含むデータを線形モデルにフィットする：

1点を除いた分散を使って各点を除いた場合の誤差分散に対するインパクトをチェックする：

高影響点を見付けるためにクック(Cook)距離をチェックする：

DFFITS値を使ってフィットされた値の各点の影響を評価する：

DFBETAS値を使って各推定母数上の各点の影響をチェックする：

予測値 (1)

線形モデルをフィットする：

予測値を観察値に対してプロットする：

平均予測信頼区間の結果を表で求める：

単一の予測信頼区間の結果を表で求める：

表から単一予測区間を得る：

99%平均予測帯を抽出する：

適合度尺度 (1)

線形モデルの適合度尺度表を得る：

すべての可能な線形サブモデルの適合度尺度を計算する：

モデルにでランクを付ける：

追加項にペナルティを科した修正でモデルにランクを付ける：

一般化と拡張 (1)

モデルの関数形に他の数学的操作を施す：

数値的・記号的に積分する：

モデルに特定の値を与える予測器の値を求める：

オプション (11)

ConfidenceLevel (1)

デフォルトでは95%の信頼区間が与えられる：

代りに99%の信頼区間を使用する：

FittedModel内で水準を90%に設定する：

IncludeConstantBasis (1)

単純な線形回帰モデルをフィットする：

ゼロ切片を持つ線形モデルをフィットする：

LinearOffsetFunction (1)

データを線形モデルにフィットする：

データを既知のSqrt[x]項がある線形モデルにフィットする：

NominalVariables (1)

第1変数を名義変数として扱ってデータをフィットする：

両方の変数を名義変数として扱う：

VarianceEstimatorFunction (1)

デフォルトの誤差分散の不偏推定量を使う：

既知の誤差分散を推定する：

平均平方誤差で分散を推定する：

Weights (5)

等しい重みを使ってモデルをフィットする：

データ点に明示的な重みを与える：

Aroundの値を使ってデータ点に異なる重みを与える：

データの不確かさを説明するために使われた重みを求める：

Aroundの値を独立変数と応答の両方に使う：

Aroundの値の複数の変数を持つモデルをフィットする：

FixedPointアルゴリズムを使ってモデルの重みを求めてみる：

DampingFactorを小さくし，MaxIterationsを大きくすることで収束させる：

WorkingPrecision (1)

WorkingPrecision を使ってより高い精度の母数推定を得る：

フィットされた関数を得る：

フィットの後で特性計算で精度を低くする：

アプリケーション (6)

最初の100個の素数を線形モデルにフィットする：

フィットを可視化する：

残差の系統的傾向は独立規誤差推定の仮定に反する：

複数の変数を持つ線形モデルをフィットする：

残差をデータ点で視覚的に調べる：

残差を各予測変数に対してプロットする：

てこ比を診断するためにクック(Cook)距離をプロットする：

与えられた切捨て値より上の距離の位置を求める：

関連するデータ点を抽出する：

- プロットを使って正規誤差の仮定をチェックする：

標準化残差と標準正常値を比較する：

スチューデント化された残差で比較する：

連続変数と名義変数であるデータをシミュレーションする：

共分散分析のモデルをデータにフィットする：

モデルの分散分析表を得る：

データを処置別でグループ化する：

グループ化されたデータと関連曲線を可視化する：

特性を使って追加的な結果を計算する：

計画行列と残差を抽出する：

ホワイト(White)の不均一分散一致共分散推定を計算する：

不均一分散を想定した共分散で計算する：

2つの共分散推定に基づいて標準誤差を比較する：

Breusch–Pagan検定を行う：

モデルをフィットする：

平方誤差を同じ予測器を持ったモデルにフィットする：

Breusch–Pagan検定統計を計算する：

値を計算する：

特性と関係 (9)

DesignMatrixはLinearModelFitで使われる計画行列を構築する：

デフォルトで，LinearModelFitとGeneralizedLinearModelFitは同じモデルをフィットする：

LinearModelFitは正規分布した誤差を想定して線形モデルをフィットする：

NonlinearModelFitは正規分布した誤差を想定して非線形モデルをフィットする：

FitとLinearModelFitは等しいモデルをフィットする：

LinearModelFitはフィットに関する追加的な情報を除去することを許す：

線形モデルをデータにフィットする：

計画行列を応答ベクトルを使って同じフィットを行う：

LeastSquaresを介して母数推定を得る：

LinearModelFitは線形モデルをフィットする：

FindFitは線形モデルおよび非線形モデルの母数推定を与える：

LinearModelFitは，TimeSeriesのタイムスタンプを変数として使う：

タイムスタンプを再スケールし，フィットし直す：

値についてのフィットを求める：

LinearModelFitは，複数の経路のあるTemporalDataについては，経路ごとに作用する：

簡単な線形モデルフィットを行う：

単一の線形層があるニューラルネットを使って同じフィットを行う：

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