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MangoldtLambda[n]

マンゴルト(Mangoldt)関数 を返す．

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MangoldtLambda

MangoldtLambda[n]

マンゴルト(Mangoldt)関数 を返す．

詳細

  • MangoldtLambdaはフォン・マンゴルト関数としても知られている．
  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学的整数関数である．
  • MangoldtLambda[n]は素数 n が素数ベキの場合にはその素数の対数を，それ以外の場合はゼロを返す．
  • 正の整数 n= p1k1⋯ pmkm（piは素数）について，MangoldtLambda[n]は m が1ではない場合は0を返す．1の場合はLog[p1]を返す．

例題

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例  (2)

におけるマンゴルト関数を計算する：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[25]

最初の100の数についてMangoldtLambda数列をプロットする：

Wolfram Language code: DiscretePlot[MangoldtLambda[n], {n, 100}]

スコープ  (8)

数値評価  (3)

MangoldtLambdaは整数に使うことができる：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[125]

大きい整数について計算する：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[7 ^ 300]

MangoldtLambdaはリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[{2, 6, 9, 8, 15}]

記号演算  (5)

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[n]//TraditionalForm

式を簡約する：

Wolfram Language code: Reduce[MangoldtLambda[n] == Log[2] && 0 < n < 10, n, Integers]

方程式を解く：

Wolfram Language code: Solve[MangoldtLambda[a + b ^ 2] == Log[b] && 0 < a < 10 && 0 < b < 10, {a, b}, Integers]

除数上のMangoldtLambdaの和：

Wolfram Language code: DivisorSum[x, MangoldtLambda[#]&]

MangoldtLambdaのDirichletTransform：

Wolfram Language code: DirichletTransform[MangoldtLambda[n], n, s]

同様に：

Wolfram Language code: Sum[MangoldtLambda[k] / k ^ s, {k, 1, Infinity}]

アプリケーション  (5)

基本的なアプリケーション  (3)

である数 n を青で，である数 n の素数基底を赤でハイライトする：

Wolfram Language code: Multicolumn[If[MangoldtLambda[#] == 0, Style[#, Blue, Bold], Style[Exp[MangoldtLambda[#]], Red, Bold]]& /@ Range[100], 10, ...]

MangoldtLambda数列を対数関数と比較する：

Wolfram Language code: Show[LogPlot[x, {x, 1, 100}, PlotStyle -> Orange], ListLinePlot[MangoldtLambda[Range[100]]]]

第2種チェビシェフ(Chebyshev)関数をプロットする [詳細]：

Wolfram Language code: ψ[x_] := Total@MangoldtLambda[Range[Floor[x]]];

これが と漸近的であることを示す：

Wolfram Language code: DiscretePlot[ψ[x] / x, {x, 200}]

整数論  (2)

MangoldtLambdaを使って素数ベキをテストする：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[81] ≠ 0
Wolfram Language code: PrimePowerQ[81]

MangoldtLambdaとZetaZeroを使って素数と素数ベキの数を近似する：

Wolfram Language code: f[x_, n_] := Module[{zero = Flatten[N[Table[ZetaZero[{j, -j}], {j, n}]]]}, x - Log[2 Pi] - Total[x ^ zero / zero] - Log[1 - 1 / x ^ 2] / 2]; g[x_] := Sum[MangoldtLambda[j], {j, 1, Floor[x]}]; vis[n_] := Plot[{g[x], f[x, n]}, {x, 2, 15}, Exclusions -> None, Frame -> True, PlotRange -> {0, 15}, PlotLegends -> {g, f}];
Wolfram Language code: vis[1]

0を増やすについれて近似が近くなる：

Wolfram Language code: vis[15]

特性と関係  (7)

MangoldtLambdaは素数ベキ以外にはゼロを返す：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[2 3]
Wolfram Language code: MangoldtLambda[2 ^ 3]

MangoldtLambdaは加算的でも乗算的でもない：

Wolfram Language code: {MangoldtLambda[2 3], MangoldtLambda[2] + MangoldtLambda[3]}
Wolfram Language code: {MangoldtLambda[2 3], MangoldtLambda[2]MangoldtLambda[3]}

MangoldtLambdaは恒等式を満足する：

Wolfram Language code: Log[16] == DivisorSum[16, MangoldtLambda[#] &]

MoebiusMuを使ってMangoldtLambdaを計算する：

Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu[n / #] Log[#] &]

LCMを使ってMangoldtLambdaを計算する：

Wolfram Language code: Log[ LCM@@Range[5] / LCM@@Range[4]]

以下と比較する：

Wolfram Language code: MangoldtLambda[5]

最初の n 個の整数のMangoldtLambdaの和は，最初の n 個の整数のLCMの自然対数に等しい：

Wolfram Language code: Sum[MangoldtLambda[n], {n, 20}]//Simplify
Wolfram Language code: Log[Apply[LCM, Range[20]]]

MangoldtLambdaは以下の恒等式を満足する：

Wolfram Language code: n = 16;
Wolfram Language code: Log[n] == DivisorSum[n, MangoldtLambda[#] &]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu[n / #] Log[#]&] == MangoldtLambda[n]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu[#] Log[#]&] == -MangoldtLambda[n]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu[n / #] MangoldtLambda[#]&] == -MoebiusMu[n] Log[n]

おもしろい例題  (3)

2つの平方の和についてMangoldtLambdaをプロットする：

Wolfram Language code: ArrayPlot[Table[MangoldtLambda[a ^ 2 + b ^ 2], {a, 50}, {b, 50}], ColorFunction -> "BlueGreenYellow"]

MangoldtLambdaのフーリエ(Fourier)変換の引数をプロットする：

Wolfram Language code: ArrayPlot[Arg[Fourier[Table[MangoldtLambda[m + n], {m, 200}, {n, 200}]]], ColorFunction -> Hue]

MangoldtLambdaのウラム(Ulam)螺線をプロットする：

Wolfram Language code: ulam[n_] := Partition[Permute[Range[n ^ 2], Accumulate[Take[Flatten[{{n ^ 2 + 1} / 2, Table [(-1) ^ j i, {j, n}, {i, {-1, n}}, {j}]}], n ^ 2]]], n];
Wolfram Language code: ArrayPlot[MangoldtLambda[ulam[101]], ColorFunction -> "Rainbow"]
Wolfram Research (2008), MangoldtLambda, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MangoldtLambda.html.

テキスト

Wolfram Research (2008), MangoldtLambda, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MangoldtLambda.html.

CMS

Wolfram Language. 2008. "MangoldtLambda." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/MangoldtLambda.html.

APA

Wolfram Language. (2008). MangoldtLambda. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/MangoldtLambda.html

BibTeX

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BibLaTeX

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