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MardiaCombinedTest[data]

Mardiaの結合検定を使って data がMultinormalDistributionに従うかどうかを調べる．

MardiaCombinedTest[data,"property"]

"property"の値を返す．

詳細とオプション
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MardiaCombinedTest

MardiaCombinedTest[data]

Mardiaの結合検定を使って data がMultinormalDistributionに従うかどうかを調べる．

MardiaCombinedTest[data,"property"]

"property"の値を返す．

詳細とオプション

  • MardiaCombinedTestは data がMultinormalDistributionから引き出されたという帰無仮説 とそうではないという対立仮説 で適合度検定を行う．
  • デフォルトで，確率値つまり 値が返される．
  • 小さい 値は data が正規分布に従っている可能性が低いことを示す．
  • data は一変量{x1,x2,…}あるいは多変量{{x1,y1,…},{x2,y2,…},…}でよい．
  • Mardiaの結合検定は事実上MardiaSkewnessTestとMardiaKurtosisTestからの結果をプールする．
  • MardiaCombinedTest[data,dist,"HypothesisTestData"]はHypothesisTestDataオブジェクト htd を返す．これは htd["property"]として追加的な検定結果と特性の抽出に使うことができる．
  • MardiaCombinedTest[data,dist,"property"]を使って直接"property"を与えることができる．
  • 検定結果のレポートに関連する特性
  • "DegreesOfFreedom"検定で使う自由度
    "PValue" 値
    "PValueTable""PValue"のフォーマットされたバージョン
    "ShortTestConclusion"検定結果の簡単な説明
    "TestConclusion"検定結果の説明
    "TestData"検定統計と 値
    "TestDataTable""TestData"のフォーマットされたバージョン
    "TestStatistic"検定統計
    "TestStatisticTable""TestStatistic"のフォーマットされたバージョン
  • 次の特性はどの検定が行われているかに依存しない．
  • データ分布に関連する特性
  • "FittedDistribution"データのフィットした分布
    "FittedDistributionParameters"データの分布母数
  • 使用可能なオプション
  • Method Automatic 値を計算するメソッド
    SignificanceLevel 0.05診断とレポートのための切捨て
  • 適合度検定では， のときにのみ が棄却されるような切捨て が選択される．特性"TestConclusion"および"ShortTestConclusion"で使われる の値はSignificanceLevelオプションで制御される．デフォルトで は0.05に設定されている．
  • Method->"MonteCarlo"の設定では，入力 と同じ長さの 個のデータ集合が，フィットされた分布を使って のもとで生成される．次に，MardiaCombinedTest[si,"TestStatistic"]からのEmpiricalDistributionを使って 値が推定される．

例題

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例  (3)

多変量の正規性についての検定を行う：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[MultinormalDistribution[{1, 2, 3}, IdentityMatrix[3]], 1000];
Wolfram Language code: htd = MardiaCombinedTest[data, "HypothesisTestData"]
Wolfram Language code: htd[Automatic]

Mardiaの結合検定から検定統計を抽出する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[MultinormalDistribution[{1, 2, 3}, IdentityMatrix[3]], 1000];
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "TestStatistic"]

フォーマットされた検定表を得る：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, IdentityMatrix[3]], 1000];
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "TestDataTable"]

スコープ  (5)

検定  (2)

多変量の正規性についてMardia検定を行う：

Wolfram Language code: data1 = RandomVariate[MultinormalDistribution[{1, 2, 3}, IdentityMatrix[3]], 1000]; data2 = RandomVariate[MultivariateTDistribution[IdentityMatrix[2], 3], 1000];

正規データの 値は，非正規データの 値と比べて大きい：

Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data1]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data2]

繰り返し特性を抽出するためにHypothesisTestDataオブジェクトを作成する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 10^5];
Wolfram Language code: ℋ = MardiaCombinedTest[data, "HypothesisTestData"]

抽出に使用できる特性：

Wolfram Language code: ℋ["Properties"]

レポート  (3)

Mardiaの結合検定の結果を表にする：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 10^3];
Wolfram Language code: ℋ = MardiaCombinedTest[data, "HypothesisTestData"];

完全な検定表：

Wolfram Language code: ℋ["TestDataTable"]

値の表：

Wolfram Language code: ℋ["PValueTable"]

検定統計：

Wolfram Language code: ℋ["TestStatisticTable"]

カスタマイズされたレポート用にMardiaの結合検定の表から項目を取り出す：

Wolfram Language code: data1 = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 10^4]; data2 = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 10^3];
Wolfram Language code: ℋ1 = MardiaCombinedTest[data1, "TestData"]
Wolfram Language code: ℋ2 = MardiaCombinedTest[data2, "TestData"]
Wolfram Language code: BarChart[{Labeled[ℋ1, "Set 1"], Labeled[ℋ2, "Set 2"]}, ChartLabels -> {"SubscriptBox[M, S]", "p‐value"}]

"ShortTestConclusion"と"TestConclusion"を使って検定の結論をレポートする：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];RandomVariate[StudentTDistribution[4], {100, 2}]];
Wolfram Language code: ℋ = MardiaCombinedTest[data, "HypothesisTestData"];
Wolfram Language code: ℋ["ShortTestConclusion"]
Wolfram Language code: ℋ["TestConclusion"]//TraditionalForm

有意水準が異なると，結論も異なることがある：

Wolfram Language code: ℋ = MardiaCombinedTest[data, "HypothesisTestData", SignificanceLevel -> .001];
Wolfram Language code: ℋ["ShortTestConclusion"]
Wolfram Language code: ℋ["TestConclusion"]//TraditionalForm

オプション  (4)

Method  (3)

モンテカルロ(Monte Carlo)法に基づくメソッドあるいは計算式を使う：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 100];
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, Method -> "MonteCarlo"]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, Method -> Automatic]

モンテカルロ法に基づくメソッドで使うサンプル数を設定する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 500];
Wolfram Language code: pts = Table[{i, MardiaCombinedTest[data, Method -> {"MonteCarlo", "MonteCarloSamples" -> i}]}, {i, Range[5, 1000, 150]}];

モンテカルロ推定は，サンプルを増やすと，真の 値に収束する：

Wolfram Language code: pval = MardiaCombinedTest[data];
Wolfram Language code: Show[ListLinePlot[pts, PlotRange -> {0, 1}, FrameLabel -> {"Samples", "P-Value"}, Frame -> True, AxesOrigin -> {0, 0}], Graphics[{Dashed, Line[{{0, pval}, {1000, pval}}]}]]

モンテカルロ法に基づくメソッドで使われるランダムなシードを設定する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 500];
Wolfram Language code: pts = Table[{i, MardiaCombinedTest[data, Method -> {"MonteCarlo", "MonteCarloSamples" -> 100, "RandomSeed" -> i}]}, {i, Range[1, 10]}];

シードは生成器の状態に影響を与え，結果の 値にもいくらか影響を与える：

Wolfram Language code: pval = MardiaCombinedTest[data];
Wolfram Language code: Show[ListLinePlot[pts, PlotRange -> {Min[pts[[All, 2]]], Max[pts[[All, 2]]]}, FrameLabel -> {"Seed", "P-Value"}, Frame -> True, AxesOrigin -> {0, 0}], Graphics[{Dashed, Line[{{0, pval}, {100, pval}}]}]]

SignificanceLevel  (1)

"TestConclusion"と"ShortTestConclusion"で使う有意水準を設定する：

Wolfram Language code: data = BlockRandom[SeedRandom[1];RandomVariate[StudentTDistribution[5], {100, 2}]];
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "ShortTestConclusion", SignificanceLevel -> .1]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "ShortTestConclusion", SignificanceLevel -> .25]

デフォルトで0.05が使われる：

Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "TestConclusion"]//TraditionalForm

アプリケーション  (2)

Mardiaの結合検定の検出力曲線：

Wolfram Language code: data = Table[RandomVariate[MultivariateTDistribution[IdentityMatrix[2], 3], {500, i}], {i, n = {10, 15, 20, 25, 30}}];
Wolfram Language code: ℋ = Table[MardiaCombinedTest[data[[i, j]]], {i, Length[data]}, {j, Length[data[[i]]]}];
Wolfram Language code: pC = Interpolation[Transpose[{n, Table[Probability[x ≤ 0.05, xi], {i, ℋ}]}], InterpolationOrder -> 1];

近似検出力曲線を可視化する：

Wolfram Language code: Plot[pC[x], {x, 10, 30}, PlotRange -> {0, 1}, Ticks -> {n, Automatic}, AxesOrigin -> {7, 0}]

基礎となる分布がMultivariateTDistributionであり，検定サイズが0.05，サンプルサイズが12である場合の，Mardiaの結合検定の検出力を推定する：

Wolfram Language code: pC[12.]

2つの異なるカニの種類について，5つの形態学的な尺度を記録した．研究者は，多変量分散分析を使ってすべての尺度について種類で比較したいと考えている．多変量分散分析では，データが多変量正規分布に従わなければならない：

Wolfram Language code: data = ExampleData[{"Statistics", "CrabMeasures"}];
Wolfram Language code: ExampleData[{"Statistics", "CrabMeasures"}, "ColumnDescriptions"]
Wolfram Language code: var = data[[All, 1]];

MardiaCombinedTestを使って，どちらのデータ集合も多変量正規分布に従うかどうかを判断する：

Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[d1 = Pick[data[[All, -5 ;; -1]], var, "B"], "TestDataTable"]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[d2 = Pick[data[[All, -5 ;; -1]], var, "O"], "TestDataTable"]

それぞれの種類についての5つの尺度の一変量密度推定：

Wolfram Language code: measures = {"frontal lobe size", "rear width", "carapace length", "carapace width", "body depth"};
Wolfram Language code: {SmoothHistogram[Transpose@d1, PlotRange -> (r = {0, .16}), ImageSize -> (s = 180), PlotLabel -> "Blue crab"], SmoothHistogram[Transpose@d2, PlotRange -> r, ImageSize -> s, PlotLabel -> "Orange crab", PlotLegends -> measures]}

正規性からの偏差は歪度にあるように見受けられる：

Wolfram Language code: MardiaKurtosisTest[#, "ShortTestConclusion"]& /@ {d1, d2}
Wolfram Language code: MardiaSkewnessTest[#, "ShortTestConclusion"]& /@ {d1, d2}

特性と関係  (3)

多変量検定統計：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], 100];
Wolfram Language code: MCombined[data_] := With[{p = Dimensions[data][[2]], n = Length[data]}, ((1 + n) (3 + n) (1 + p)/n (-5 + n + p + n p))MardiaSkewnessTest[data, "TestStatistic"] + MardiaKurtosisTest[data, "TestStatistic"] ^ 2]
Wolfram Language code: MCombined[data]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "TestStatistic"]

において検定統計は漸近的にChiSquareDistributionに従う：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], {1000, 250}];
Wolfram Language code: t = MCombined /@ data;
Wolfram Language code: With[{dim = 2, n = 100}, DistributionFitTest[t, ChiSquareDistribution[(1/6) dim (dim + 1) (dim + 2) + 1]]]

一変量データにおいて検定はJarqueBeraALMTestに等しい：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[NormalDistribution[], 100];
Wolfram Language code: JarqueBeraALMTest[data, "TestDataTable"]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data, "TestDataTable"]

Mardiaの結合検定は，入力がTimeSeriesのときにのみ値に使うことができる：

Wolfram Language code: ts = TemporalData[TimeSeries, {{{{-0.49926617600557877, -0.9693358407186422, 0.5958383000077166}, {-1.33047395864177, -0.8677417392521979, -0.07701839279253664}, {-0.0007329523045247477, 0.3732688420773089, 0.4231608535246955}, {-0.628458 ... 1802556, -0.646006722738045, 0.22111034631867293}, {0.5843977994899021, 0.20194372201917066, 0.04486228650659786}}}, {{0, 100, 1}}, 1, {"Continuous", 1}, {"Discrete", 1}, 3, {ValueDimensions -> 3, ResamplingMethod -> None}}, False, 10.1];
Wolfram Language code: ts["ValueDimensions"]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[ts]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[ts["Values"]]

考えられる問題  (1)

データの共分散行列が正定値でなければ，検定は失敗に終る：

Wolfram Language code: data = {{37, 67, 72, 25}, {39, 27, 22, 51}, {63, 71, 59, 2}};
Wolfram Language code: PositiveDefiniteMatrixQ@Covariance[data]
Wolfram Language code: MardiaCombinedTest[data]

データ点の数は，データの次元よりも大きくなければならない：

Wolfram Language code: Tally@Table[PositiveDefiniteMatrixQ[Covariance[RandomVariate[NormalDistribution[], {4, 5}]]], 10 ^ 3]
Wolfram Language code: Tally@Table[PositiveDefiniteMatrixQ[Covariance[RandomVariate[NormalDistribution[], {5, 5}]]], 10 ^ 3]
Wolfram Language code: Tally@Table[PositiveDefiniteMatrixQ[Covariance[RandomVariate[NormalDistribution[], {6, 5}]]], 10 ^ 3]

おもしろい例題  (1)

帰無仮説 が真であるときの統計量を計算する：

Wolfram Language code: data1 = RandomVariate[BinormalDistribution[.5], {250, 100}];
Wolfram Language code: T1 = MardiaCombinedTest[#, "TestStatistic"]& /@ data1;

特定の対立仮説による検定統計：

Wolfram Language code: data2 = RandomVariate[MultivariateTDistribution[{{1, .2}, { .2, 1}}, 10], {250, 100}];
Wolfram Language code: T2 = MardiaCombinedTest[#, "TestStatistic"]& /@ data2;

検定統計の分布を比較する：

Wolfram Language code: SmoothHistogram[{T1, T2}, Filling -> Axis, PlotLegends -> {"SubscriptBox[H, 0]は真", "SubscriptBox[H, 0]は偽"}, PlotRange -> All]
Wolfram Research (2010), MardiaCombinedTest, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MardiaCombinedTest.html.

テキスト

Wolfram Research (2010), MardiaCombinedTest, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/MardiaCombinedTest.html.

CMS

Wolfram Language. 2010. "MardiaCombinedTest." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/MardiaCombinedTest.html.

APA

Wolfram Language. (2010). MardiaCombinedTest. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/MardiaCombinedTest.html

BibTeX

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BibLaTeX

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