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MassTransportPDEComponent

MassTransportPDEComponent[vars,pars]

生成具有变量 vars 和参数 pars 的传质 PDE 项.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

定义与时间相关的传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[t, x], t, {x}}, <||>]

使用特定的材料参数设置与时间相关的传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[t, x], t, {x}}, <|"DiffusionCoefficient" -> d|>]

对不可压缩流体中的一维化学物种场建模，该流体的右侧和左侧分别受到质量浓度和流入条件的影响：

设置平稳传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x], {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传质模型参数物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.026, "MassConvectionVelocity" -> {0.1}|>;

指定物种通量边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> 1|>]

指定质量浓度边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, C] = MassConcentrationCondition[x == 1, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 0|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, C]}, c, x∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Plot[cfun[x], x∈Ω, Rule[...]]

范围 (23)

基本用法 (9)

使用数值材料参数建立与时间相关的传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[t, x], t, {x}}, <|"DiffusionCoefficient" -> 2|>]

定义二维传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> 1.2 * 10 ^ -6|>]

设置具有正交各向异性质量扩散的二维平稳传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {1, 2}|>]

通过扩散矩阵设置二维平稳传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> IdentityMatrix[2]|>]

使用各向异性扩散矩阵设置二维平稳传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{2, 3}, {0, 4}}|>]

定义具有材料更改的二维平稳传质模型：

Wolfram Language code: MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> If[x < 1 / 2, 1, 2] * IdentityMatrix[2]|>]

定义具有材料更改和各向异性材料的二维平稳传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{c[x, y], {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> If[x < 1 / 2, {{1, 0}, {0, 1}}, {{2, 1}, {0, 3}}]|>]

设置耦合二维平稳传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{{c1[x, y], c2[x, y]}, {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{1, 10 ^ -3}, {2 * 10 ^ -3, 1}}|>]

使用交叉耦合的非线性反应项建立耦合的二维瞬态传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{{c1[t, x, y], c2[t, x, y]}, t, {x, y}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{1, 10 ^ -3}, {2 * 10 ^ -3, 1}}, "MassReactionRate" -> {{c1[t, x, y] * c2[t, x, y], c1[t, x, y]}, {0, Sqrt[c1[t, x, y]]}}|>]

一维 (1)

对不可压缩流体中的一维化学物种场建模，该流体的右侧和左侧分别受到质量浓度和流入条件的影响：

设置平稳传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x], {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传质模型参数物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.026, "MassConvectionVelocity" -> {0.1}|>;

指定物种通量边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> 1|>]

指定质量浓度边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, C] = MassConcentrationCondition[x == 1, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 0|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, C]}, c, x∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Plot[cfun[x], x∈Ω, Rule[...]]

1D 轴对称 (3)

定义一维轴对称静态传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{c[r], {r}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{d}}, "MassConvectionVelocity" -> {Subscript[v, r]}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric"|>]

定义一维轴对称保守静态传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{c[r], {r}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{d}}, "MassConvectionVelocity" -> {Subscript[v, r]}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric", "ModelForm" -> "Conservative"|>]

定义 Lamm 方程：

Wolfram Language code:

lammEquation = MassTransportPDEComponent[{c[t, r], t, {r}}, <|"DiffusionCoefficient" -> {{d}}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric", "MassConvectionVelocity" -> {sc ω ^ 2 r}, "ModelForm" -> "Conservative"|>] == 0

查看方程的激活和简化形式：

Wolfram Language code: Simplify[Activate[lammEquation]]

二维 (2)

模拟污染物在各向同性均质介质中二维矩形区域的质量传输. 最初，整个目标区域的污染物浓度为零. 在左边界中心处尺寸为 0.2 的条带上保持 3000 的浓度，而右边界经受浓度为 1500 的平行物质流动，允许传质. 在顶部和底部边界都有 100 的污染物流出. 0.833 的扩散系数以 0.01 的均匀水平速度均匀分布：

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x, y], {x, y}};

设置宽为、高为的矩形区域：

Wolfram Language code: Ω = Rectangle[{0, 0}, {20, 10}];

指定模型参数物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.833, "MassConvectionVelocity" -> {0.01, 0}|>;

在左表面的中心设置一个长度为 0.2 的物种集中源：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, concentration] = MassConcentrationCondition[x == 0 && y ≤ 5.1 && y ≥ 4.9, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 3000|>]

在右表面上设置传质边界：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, transfer] = MassTransferValue[x == 20, vars, pars, <|"AmbientConcentration" -> 1500, "MassTransferCoefficient" -> 5|>]

在顶部和底部表面上设置的流出通量：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[y == 0 || y == 10, vars, pars, <|"MassFlux" -> -100|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, transfer] + Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, concentration]}, c, {x, y}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: ContourPlot[cfun[x, y], {x, y}∈Ω, ...]

可用对称边界来减小模型的几何尺寸. 设置质量输运方程：

Wolfram Language code:

vars = {c[x, y], {x, y}};
pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 1, "MassSource" -> 1|>;

设置并可视化区域：

Wolfram Language code:

Ω = RegionDifference[Rectangle[{-1, 0}, {1, 1}], Rectangle[{-1 / 2, 0}, {1 / 2, 1 / 2}]];
RegionPlot[Ω, AspectRatio -> Automatic]

求解并可视化方程：

Wolfram Language code:

cfun = NDSolveValue[{MassTransportPDEComponent[vars, pars] == 0, MassConcentrationCondition[y == 0, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 0|>]}, c[x, y], {x, y}∈Ω];
ContourPlot[cfun, {x, y}∈Ω]

设置对称轴在处的区域：

Wolfram Language code:

Ω = RegionDifference[Rectangle[{0, 0}, {1, 1}], Rectangle[{0, 0}, {1 / 2, 1 / 2}]];
Show[Graphics[{{Dashed, Thick, Gray, Line[{{0, -0.1}, {0, 1.1}}]}}], RegionPlot[Ω, AspectRatio -> Automatic]]

求解和可视化对称边界在处的方程：

Wolfram Language code:

cfun = NDSolveValue[{MassTransportPDEComponent[vars, pars] == MassSymmetryValue[x == 0, vars, pars], MassConcentrationCondition[y == 0, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 0|>]}, c[x, y], {x, y}∈Ω];
ContourPlot[cfun, {x, y}∈Ω]

2D 轴对称 (2)

定义二维轴对称静态传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{c[r, z], {r, z}}, <|"DiffusionCoefficient" -> d * IdentityMatrix[2], "MassConvectionVelocity" -> {Subscript[v, r], Subscript[v, z]}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric"|>]

定义二维轴对称保守静态传质模型：

Wolfram Language code:

MassTransportPDEComponent[{c[r, z], {r, z}}, <|"DiffusionCoefficient" -> d * IdentityMatrix[2], "MassConvectionVelocity" -> {Subscript[v, r], Subscript[v, z]}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric", "ModelForm" -> "Conservative"|>]

三维 (1)

对单位立方域中的非保守化学物种场进行建模，其中在两个侧面有两个质量条件，并且在顶面中心半径为 0.2 的圆上有质量流入，以及正交各向异性质量扩散率为：

del .(-d del c(x,y,z))+v^->.del c(x,y,z)^(︷^( mass transport model )) =|_(Gamma_(z=1& (x-0.5)^2+(y-0.5)^2<=0.04))q(x,y,z)^(︷^( mass flux value ))

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x, y, z], {x, y, z}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Cuboid[{0, 0, 0}, {1, 1, 1}];

指定扩散率和流速场：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> {{1, 0, 0}, {0, 5, 0}, {0, 0, 10}}, "MassConvectionVelocity" -> {0, 10, 0}|>;

指定物质的浓度：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, CC] = {MassConcentrationCondition[x == 0, vars, <|"MassConcentration" -> 0|>], MassConcentrationCondition[x == 1, vars, <|"MassConcentration" -> 1|>]}

指定通过顶面上区域圆的通量条件为：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[z == 1 && (x - 0.5) ^ 2 + (y - 0.5) ^ 2 ≤ 0.04, vars, pars, <|"MassFlux" -> 100|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, CC]}, c, {x, y, z}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: GraphicsRow[Table[SliceContourPlot3D[cfun[x, y, z], sl, {x, y, z}∈Ω, ...], {...}]]

材料区域 (1)

给定化学物种在一种材料内的反应速率，模拟一维化学物种穿过不同材料的过程. 右侧和左侧分别受到质量浓度和流入条件的影响：

设置稳态传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x], {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传质模型参数物质扩散率和在区域中的反应速率：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.01, "MassReactionRate" -> If[x > 1 / 2, 1, 0]|>;

指定物种通量边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> 1|>]

指定质量浓度边界条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, C] = MassConcentrationCondition[x == 1, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 0|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, C]}, c, x∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Show[Plot[cfun[x], x∈Ω, Rule[...]], Graphics[...]]

随时间变化 (1)

用以下内容对一维非守恒化学物种场和穿过部分边界的质量通量建模：

设置与时间相关的传质模型模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, x], t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传质模型参数质量扩散率和质量对流速度：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.01, "MassConvectionVelocity" -> {0.02}|>;

设置方程，在最初的50秒内，在左端的质量通量为：

Wolfram Language code:

model = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> Piecewise[{{10, t ≤ 50}, {0, t > 50}}]|>]

求解零浓度初始条件的 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{model, c[0, x] == 0}, c, {t, 0, 100}, x∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Manipulate[Show[Plot[cfun[t, x], ...], Graphics[...]], {{t, 30}, 0, 100, 2.5}, Rule[...]]

非线性时间相关 (1)

对一维非保守化学物种场进行建模，其中非线性扩散系数为，并具有通过部分边界的流出条件，其表示如下：

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, x], t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定非线性物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> {{0.001 * Log[c[t, x] ^ 2 + 1]}}, "MassConvectionVelocity" -> {0.02}|>;

指定在右端施加的流出流量为：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 1, vars, pars, <|"MassFlux" -> -1|>]

指定与时间相关的质量浓度表面条件：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, C] = MassConcentrationCondition[x == 0, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 100 + 0.1 * t|>]

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = c[0, x] == 100;

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, ics, Subscript[Γ, C]}, c, {t, 0, 500}, x∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Manipulate[Show[Plot[cfun[t, x], ...], Graphics[...]], {{t, 30}, 0, 500, 1}, Rule[...]]

耦合时间相关 (2)

对给出了边界的左侧部分相应的质量通量的一维耦合非守恒二重化学物种场建模：

为和物种分别设置时间相关的传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {{Subscript[c, 1][t, x], Subscript[c, 2][t, x]}, t, {x}};

设置均匀区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

为和物种指定传质模型参数质量扩散率和：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> {{0.01, 0}, {0, 0.02}}|>;

设置边界条件，在最初的50秒内，和在左端的质量通量分别为 4 和 8 ：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> {If[t ≤ 50, 4, 0], If[t ≤ 50, 8, 0]}|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = {Subscript[c, 1][0, x] == 0, Subscript[c, 2][0, x] == 0};

解 PDE：

Wolfram Language code: {c1fun, c2fun} = NDSolveValue[{eqn, ics}, {Subscript[c, 1], Subscript[c, 2]}, {t, 0, 100}, {x}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code:

Manipulate[Show[Plot[{c1fun[t, x], c2fun[t, x]}, ..., PlotLegends -> {"SubscriptBox[c, 1](x)", "SubscriptBox[c, 2](x)"}], Graphics[...]], {{t, 30}, 0, 100, 2.5}, Rule[...]]

对给出了对流速度和穿过左边界的质量通量的一维耦合化学物种场建模：

分别为和物种设置时间相关的传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {{Subscript[c, 1][t, x], Subscript[c, 2][t, x]}, t, {x}};

设置均匀区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

分别为和物种设置传质模型参数质量扩散率和：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> {{0.02, 0}, {0, 0.02}}, "MassConvectionVelocity" -> {{{0.02}, {0}}, {{0}, {0.02}}}|>;

设置方程，在最初的50秒内，和在左端的质量通量分别为 6 和 12 ：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars, <|"MassFlux" -> {{Piecewise[{{6, t ≤ 50}, {0, t > 50}}], 0}, {0, Piecewise[{{12, t ≤ 50}, {0, t > 50}}]}}|>];

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = {Subscript[c, 1][0, x] == 0, Subscript[c, 2][0, x] == 0};

解 PDE：

Wolfram Language code: {c1fun, c2fun} = NDSolveValue[{eqn, ics}, {Subscript[c, 1], Subscript[c, 2]}, {t, 0, 100}, {x}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code:

Manipulate[Show[Plot[{c1fun[t, x], c2fun[t, x]}, ..., PlotLegends -> {"SubscriptBox[c, 1](x)", "SubscriptBox[c, 2](x)"}], Graphics[...]], {{t, 30}, 0, 100, 2.5}, Rule[...]]

应用 (7)

单一方程 (4)

该传质模型描述了在圆盘扇形单元中超速离心情况下溶质的沉降和扩散. 描述这种现象的控制方程称为 Lamm 方程，可用一维轴对称保守传质方程建模：

设置传质模型的变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, r], t, {r}};

设置一个线区域，其中表示在离心过程中形成的空气溶液弯液面的径向位置，表示单元底部的径向位置：

Wolfram Language code:

Subscript[r, a] = 5.8;
Subscript[r, b] = 7.2;
Ω = Line[{{Subscript[r, a]}, {Subscript[r, b]}}];

指定模型参数的物种扩散率，单位为，以及流体的流速，其中是沉降系数，单位为秒 ()，是角速度，单位为：

Wolfram Language code:

pars  = <|"DiffusionCoefficient" -> {d}, "RegionSymmetry" -> "Axisymmetric", "MassConvectionVelocity" -> {sc ω ^ 2 r}, "ModelForm" -> "Conservative"|>;

设置初始浓度为 1 时的参数：

Wolfram Language code: parameters = {c0 -> 1, sc -> 1.562*^-12, ω -> 5236, d -> 1.279*^-7};

设置初始条件：

Wolfram Language code: pde = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == 0, ic} /. parameters;

在区域的两个边界处通量为零，因此使用的边界条件为 MassImpermeableBoundaryValue，被应用于处. 该特定边界是保守模型的隐式默认边界条件.

设置方程：

Wolfram Language code: pde = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == 0, ic} /. parameters;

解 PDE：

Wolfram Language code:

Cfun = NDSolveValue[pde, c, {t, 0, 2525}, r∈ NDSolve`FEM`ToGradedMesh[Ω, <|"Alignment" -> "Right", "ElementCount" -> 700|>]]

可视化不同位置上不同时间点的浓度：

Wolfram Language code:

Plot[{Cfun[0, r], Cfun[101, r], Cfun[404, r], Cfun[1010, r], Cfun[2525, r]}, {r, Subscript[r, a], Subscript[r, b]}, PlotRange -> {0, 1.5}, AxesLabel -> {r, "C"}, PlotLegends -> {"t=0 s", "t=101 s", "t=404 s", "t=1010 s", "t=2525 s"}]

模拟污染物在各向同性均质介质中二维矩形区域的质量传输. 最初，整个目标区域的污染物浓度为零. 在左边界中心处尺寸为 0.2 的条带上保持 3000 的浓度，在顶部和底部边界都有 100 的污染物流出. 扩散系数为 0.833 ，呈均匀分布，但水平和垂直速度均与空间有关：

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x, y], {x, y}};

设置宽为、高为的矩形区域：

Wolfram Language code: Ω = Rectangle[{0, 0}, {20, 10}];

指定模型参数物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.833, "MassConvectionVelocity" -> {0.01x ^ 2, -0.02y}|>;

在左表面的中心设置一个长度为 0.2 的物种集中源：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, C] = MassConcentrationCondition[x == 0 && 4.9 ≤ y ≤ 5.1, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 3000|>]

在顶部和底部表面上设置的流出通量：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[y == 0 || y == 10, vars, pars, <|"MassFlux" -> -10|>]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux], Subscript[Γ, C]}

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[eqn, c, {x, y}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: ContourPlot[cfun[x, y], {x, y}∈Ω, Rule[...]]

设置一个 Fokker–Planck 方程：

设置质量传输模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, x, y], t, {x, y}};

设置长方形的区域：

Wolfram Language code: Ω = Rectangle[{-10, -10}, {10, 10}];

指定模型参数物种扩散率、对流速度和参数：

Wolfram Language code:

pars = <|"ModelForm" -> "Conservative", "DiffusionCoefficient" -> {{0, 0}, {0, d}}, "MassConvectionVelocity" -> {y, -2ξ ω y - x}, d -> 1 / 10, ω -> 1, ξ -> 1 / 20, μ -> {5, 5}, σ -> 1 / 9 * IdentityMatrix[2]|>;

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = c[0, x, y] == PDF[MultinormalDistribution[μ, σ] /. pars, {x, y}]

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == 0, ics}

在这种情况下，一阶网格足以求解 Fokker–Planck 方程. 使用更高阶数的网格将导致内存消耗增加. 求解时，NDSolve 将警告 PDE 的对流主导性质：

Wolfram Language code:

cfun = Monitor[NDSolveValue[eqn, c, {t, 0, 100}, {x, y}∈Ω, Method -> {"PDEDiscretization" -> {"MethodOfLines", {"SpatialDiscretization" -> {"FiniteElement", "MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.05, "MeshOrder" -> 1}}}}}, EvaluationMonitor :> (monitor = Row[{"t = ", CForm[t]}])], monitor]

可视化点 {0,0} 处的解：

Wolfram Language code:

Plot[cfun[t, 0, 0], {t, 0, 100}, Ticks -> {Automatic, Range[0, 0.18, 0.02]}, GridLines -> {Automatic, Range[0, 0.18, 0.02]}]

Smoluchowski 扩散方程是 Fokker–Plank 方程的特例. 这两个方程都可以用一个保守的质量传输方程建模：

设置质量传输模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, x], t, {x}};

设置宽为 8 个单位的线型区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{-8}, {8}}];

指定模型参数物种扩散率和依赖于线性势 U(x) 的迁移项，与 F(x) 的关系为 F(x)=-∇_xU(x)：

Wolfram Language code:

U[x_] := γ * x
pars = <|"ModelForm" -> "Conservative", "DiffusionCoefficient" -> {{d}}, "MassConvectionVelocity" -> β  * (-Grad[U[x], {x}]), d -> 1, γ -> 1, β -> 1|>;

设置已知的解析解：

Wolfram Language code:

solution[t_, x_] := Evaluate[With[{x0 = 0, t0 = 0}, 
	1 / Sqrt[4 π d (t - t0)] * Exp[-(x - x0 + d β γ (t - t0)) ^ 2 / (4d  * (t - t0))]] /. pars]

根据解析解设置的初始条件：

Wolfram Language code: ics = c[1 / 10, x] == solution[1 / 10, x];

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == 0, ics}

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[eqn, c, {t, 1 / 10, 1}, {x}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code:

frames = Table[Plot[cfun[t, x], {x}∈Ω, PlotRange -> {0, 1}], {t, 1 / 10, 1, 1 / 10}];
ListAnimate[frames, SaveDefinitions -> True]

绘制处的误差：

Wolfram Language code: Plot[{solution[1, x] - cfun[1, x]}, {x}∈Ω, PlotRange -> All]

耦合方程 (3)

求解耦合传热和传质模型：

(partialT(t, x))/(partialt)+del .(-k del Theta(t,x))-Q^(︷^( heat transfer model )) = 0; (partialc(t,x))/(partialt)+del .(-d del c(t,x))-R^(︷^( mass transport model )) = 0

设置传热和传质模型变量 vars：

Wolfram Language code:

hvars = {Θ[t, x], t, {x}};
mvars = {c[t, x], t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传热和传质模型参数，热源，导热系数，质量扩散系数和质量源：

Wolfram Language code:

pars = <|"ThermalConductivity" -> 0.01, "HeatSource" -> 0.2 * R, "DiffusionCoefficient" -> 0.01, "MassSource" -> R, R -> -10 ^ -3 * Θ[t, x] * c[t, x]|>;

设置模型和初始条件：

Wolfram Language code: eqn = {HeatTransferPDEComponent[hvars, pars] == 0, MassTransportPDEComponent[mvars, pars] == 0}

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = {Θ[0, x] == 200 + 800x, c[0, x] == 800};

对模型进行求解：

Wolfram Language code: {Tfun, cfun} = NDSolveValue[{eqn, ics}, {Θ, c}, {t, 0, 10}, {x}∈Ω];

可视化解：

Wolfram Language code: Manipulate[Plot[{cfun[t, x], Tfun[t, x]}, {x}∈Ω, ...], {{t, 1.3}, 0, 10}, Rule[...]]

用边界处的热传导值和质量通量值求解传热传质的耦合模型：

(partialT(t, x))/(partialt)+del .(-k del Theta(t,x))-Q^(︷^( heat transfer model )) = |_(Gamma_(x=1))h (Theta_(ext)(t,x)-Theta(t,x))^(︷^( heat transfer boundary )); (partialc(t,x))/(partialt)+del .(-d del c(t,x))-R^(︷^( mass transport model )) = |_(Gamma_(x=0||x=1))q (t,x)^(︷^( mass flux boundary ))

设置传热和传质模型变量 vars：

Wolfram Language code:

hvars = {Θ[t, x], t, {x}};
mvars = {c[t, x], t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传热和传质模型参数，热源，导热系数，质量扩散系数和质量源：

Wolfram Language code:

pars = <|"ThermalConductivity" -> 0.01, "HeatSource" -> 0.2 * R, "DiffusionCoefficient" -> 0.01, "MassSource" -> R, R -> -10 ^ -3 * Θ[t, x] * c[t, x]|>;

指定热对流值的边界条件参数，其中外部流体温度为 1000 K，传热系数为：

Wolfram Language code: pars["BC1"] = <|"AmbientTemperature" -> 1000, "HeatTransferCoefficient" -> 0.1|>;

指定方程：

Wolfram Language code:

eqn = {HeatTransferPDEComponent[hvars, pars] == HeatTransferValue[x == 1, hvars, pars, "BC1"], MassTransportPDEComponent[mvars, pars] == NeumannValue[20, x == 0 || x == 1]}

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = {Θ[0, x] == 200 + 800x, c[0, x] == 800};

对模型进行求解：

Wolfram Language code: {Tfun, cfun} = NDSolveValue[{eqn, ics}, {Θ, c}, {t, 0, 10}, {x, 0, 1}];

可视化解：

Wolfram Language code: Manipulate[Plot[{cfun[t, x], Tfun[t, x]}, {x}∈Ω, ...], {{t, 1.7}, 0, 10}, Rule[...]]

可以通过求解耦合反应模型来执行数值循环伏安法：

(partialc_A(t, x))/(partialt)+del .(-d_A del c_A(t,x))^(︷^( mass transport model )) = |_(Gamma_(x=0))k_cc_A (t,x)-k_ac_B(t,x)^(︷^( mass transfer boundary )); (partialc_B(t,x))/(partialt)+del .(-d_B del c_B(t,x))^(︷^( mass transport model )) = |_(Gamma_(x=0))k_ac_B (t,x)-k_cc_A(t,x)^(︷^( mass transfer boundary ))

反应模型由

和 Butler–Volmer 动力学给出.

设置质量传输模型变量 vars:

Wolfram Language code: vars = {{cA[t, x], cB[t, x]}, t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1 / 40}}];

指定材料的参数：

Wolfram Language code:

cAbulk = 1;
dA = 10 ^ -5;dB = 10 ^ -5;

指定电化学速率常数：

Wolfram Language code:

k0 = 10 ^ -5;α = 1 / 2;β = 1 / 2;ef0 = 0;rtbyf = 25.7 10 ^ -3;
kc[t_] := Evaluate[k0 Exp[-α / rtbyf (e[t] - ef0)]]
ka[t_] := Evaluate[k0 Exp[β / rtbyf (e[t] - ef0)]]

指定势：

Wolfram Language code:

ts = 1;ν = -1;e1 = 1 / 2;
e[t_] := Evaluate[Piecewise[{{e1 + ν t, 0 ≤ t ≤ ts}, {e1 + 2 ν ts - ν t, ts ≤ t ≤ 2 ts}}]]

指定质量传输模型参数，物质扩散率和 . 将远端的浓度设置为整体浓度，将浓度设为 0：

Wolfram Language code:

pars = <|"DiffusionCoefficient" -> {{dA, 0}, {0, dB}}, "BoundaryCondition1" -> <|"AmbientConcentration" -> {ka[t] / kc[t] cB[t, x], kc[t] / ka[t] cA[t, x]}, "MassTransferCoefficient" -> {kc[t], ka[t]}|>, "BoundaryCondition2" -> <|"MassConcentration" -> {cAbulk, 0}|>|>;

设置模型：

Wolfram Language code:

eqn = {MassTransportPDEComponent[vars, pars] == MassTransferValue[x == 0, vars, pars, "BoundaryCondition1"], MassConcentrationCondition[x == 1 / 40, vars, pars, "BoundaryCondition2"]};

设置初始条件，使得只有为整体浓度：

Wolfram Language code: ics = {cA[0, x] == cAbulk, cB[0, x] == 0};

对模型进行求解：

Wolfram Language code:

tmax = 2 ts;
{cAfun, cBfun} = NDSolveValue[{eqn, ics}, {cA, cB}, {t, 0, tmax}, {x}∈Ω];

可视化不同时间点的浓度：

Wolfram Language code: Manipulate[Plot[{cAfun[t, x], cBfun[t, x]}, {x, 0, 1 / 20}, ...], {...}, Rule[...]]

可视化不同时间点的循环伏安图：

Wolfram Language code:

Manipulate[ParametricPlot[{-(e[t] - ef0), kc[t] (cAfun[t, 0] - (ka[t] cBfun[t, 0]) / kc[t])}, {t, 0, tmax}, ...], {...}, Rule[...]]

属性和关系 (1)

分别使用保守模型和非保守模型对一维化学物种场进行建模. 对于恒定速度的流场，两个模型返回的结果相同. 右侧和左侧分别受到质量浓度和流入条件的影响：

设置稳态传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x], {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定传质模型参数物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code:

pars1 = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.026, "MassConvectionVelocity" -> {0.1}|>;
pars2 = Join[pars1, <|"ModelForm" -> "Conservative"|>];

指定质量浓度边界条件：

Wolfram Language code: massConditons1 = MassConcentrationCondition[x == 1, vars, pars1, <|"MassConcentration" -> 0|>];

Wolfram Language code: massConditons2 = MassConcentrationCondition[x == 1, vars, pars2, <|"MassConcentration" -> 0|>];

指定物种通量边界条件：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, flux1] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars1, <|"MassFlux" -> 1|>];
Subscript[Γ, flux2] = MassFluxValue[x == 0, vars, pars2, <|"MassFlux" -> 1|>];

设置方程：

Wolfram Language code:

eqn1 = MassTransportPDEComponent[vars, pars1] == Subscript[Γ, flux1];
eqn2 = MassTransportPDEComponent[vars, pars2] == Subscript[Γ, flux2];

解 PDE：

Wolfram Language code: cfun1 = NDSolveValue[{eqn1, massConditons1}, c, x∈Ω]

Wolfram Language code: cfun2 = NDSolveValue[{eqn2, massConditons2}, c, x∈Ω]

可视化两个解之差，可以看到差异很小：

Wolfram Language code: Plot[{cfun1[x] - cfun2[x]}, x∈Ω, AxesLabel -> {"x", "c"}, PlotLegends -> "Expressions"]

可能存在的问题 (2)

隐含的默认边界条件随模型形式而变化. 对于守恒模型，隐式 Neumann 0 边界条件相当于指定不可渗透的边界条件. 对于非守恒模型，隐式 Neumann 0 边界条件相当于指定流出边界条件.

考虑到这一点，对于恒定速度场，守恒模型和非守恒模型返回相同的结果. 基于以下模型对守恒域和非守恒域进行比较：

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[x, y], {x, y}};

设置一个长方形的区域：

Wolfram Language code: Ω = Rectangle[{0, 0}, {2, 1}];

指定模型参数种类扩散率和流体流速：

Wolfram Language code:

pars1 = <|"DiffusionCoefficient" -> 1, "MassConvectionVelocity" -> {0.01, -0.02}|>;
pars2 = Join[pars1, <|"ModelForm" -> "Conservative"|>];

在左表面的中心设置一个长度为 0.2 的物种集中源：

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, concentration1] = MassConcentrationCondition[x == 0 && 0.4 ≤ y ≤ 0.6, vars, pars1, <|"MassConcentration" -> 1|>]

Wolfram Language code:

Subscript[Γ, concentration2] = MassConcentrationCondition[x == 0 && 0.4 ≤ y ≤ 0.6, vars, pars2, <|"MassConcentration" -> 1|>]

在顶部和底部表面上设置的流出通量：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux1] = MassFluxValue[y == 0 || y == 10, vars, pars1, <|"MassFlux" -> -1|>]

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux2] = MassFluxValue[y == 0 || y == 10, vars, pars2, <|"MassFlux" -> -1|>]

由于保守模型的默认边界条件是不可渗透边界，因此将不可渗透边界条件添加到非保守模式：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, imp] = MassImpermeableBoundaryValue[(x == 0 && (y < 4.9 || y > 5.1)) || x == 20, vars, pars1]

设置方程：

Wolfram Language code:

eqn1 = {MassTransportPDEComponent[vars, pars1] == Subscript[Γ, flux1] + Subscript[Γ, imp], Subscript[Γ, concentration1]};
eqn2 = {MassTransportPDEComponent[vars, pars2] == Subscript[Γ, flux2], Subscript[Γ, concentration2]};

解 PDE：

Wolfram Language code:

cfun1 = NDSolveValue[eqn1, c, {x, y}∈Ω];
cfun2 = NDSolveValue[eqn2, c, {x, y}∈Ω];

可视化解的差异：

Wolfram Language code: ContourPlot[cfun1[x, y] - cfun2[x, y], {x, y}∈Ω, PlotLegends -> Automatic]

解的差异幅度是预期之中的，这来自算子计算方式的数值差异.

当给出离散区域并且网格不满足高对流扩散比的质量标准时，将生成一条消息. 模拟具有高对流速度与扩散比的一维非保守化学物种场，表示如下：

设置传质模型变量 vars：

Wolfram Language code: vars = {c[t, x], t, {x}};

设置区域：

Wolfram Language code: Ω = Line[{{0}, {1}}];

指定非线性物种扩散率和流体流速：

Wolfram Language code: pars = <|"DiffusionCoefficient" -> 0.005, "MassConvectionVelocity" -> {1}|>;

指定在右端施加的流出流量为：

Wolfram Language code: Subscript[Γ, flux] = MassFluxValue[x == 1, vars, pars, <|"MassFlux" -> -1|>]

指定质量浓度表面条件：

Wolfram Language code: massConditons = MassConcentrationCondition[x == 0, vars, pars, <|"MassConcentration" -> 100 + 0.1 * t|>];

设置初始条件：

Wolfram Language code: ics = c[0, x] == 100;

设置方程：

Wolfram Language code: eqn = MassTransportPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, flux]

Wolfram Language code: cfun = NDSolveValue[{eqn, ics, massConditons}, c, {t, 0, 500}, x∈NDSolve`FEM`ToElementMesh[Ω]];

通过细化网格求解 PDE：

Wolfram Language code:

cfun = NDSolveValue[{eqn, ics, massConditons}, c, {t, 0, 500}, x∈NDSolve`FEM`ToElementMesh[Ω, "MaxCellMeasure" -> 0.01]]

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属性和关系 (1)

可能存在的问题 (2)

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参数	缺省值	符号
"MassConvectionVelocity"		，流速，单位为 []
"DiffusionCoefficient"	IdentityMatrix	，质量扩散率，单位为 [ $TemplateBox[{InterpretationBox[, 1], {{"m", ^, 2}, , "/", , "s"}, meters squared per second, {{(, {"Meters", ^, 2}, )}, /, {(, "Seconds", )}}}, QuantityTF]$ ]
"MassReactionRate"	0	，质量反应率，单位为 []
"MassSource"	0	，质量源，单位为 [ $TemplateBox[{InterpretationBox[, 1], {"mol", , "/(", , {"m", ^, 3}, , "s", , ")"}, moles per meter cubed second, {{(, "Moles", )}, /, {(, {{"Meters", ^, 3}, , "Seconds"}, )}}}, QuantityTF]$ ]
"ModelForm"	"NonConservative"
"RegionSymmetry"	None

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