测试 2×2 数值矩阵是否为正规矩阵：

测试 3×3 符号矩阵是否为正规矩阵：

验证条件 m.ConjugateTranspose[m]ConjugateTranspose[m].m：

正规矩阵是可酉对角化为 的最广义矩阵类型，其中 为对角矩阵， 为酉矩阵. 所有埃尔米特矩阵 都是正规矩阵，因为等式两边都等于 ：

同样，所有反厄米矩阵都是正规矩阵，因为等式两边都等于 ：

酉矩阵是正规矩阵，因为代入定义 后，等式两边都会得到单位矩阵：

证明以下矩阵是正规矩阵，然后将其对角化：

用 NormalMatrixQ 确认结果：

可以通过 EigenvalueDecomposition 将 这样的正规矩阵酉对角化：

对角线上的元素可以是任意复数：

这是一个对角矩阵，但不是酉矩阵：

矩阵 的列向量是正交的（这是必须的），但它们并未归一化：

将 的列归一化后得到一个酉矩阵：

确认酉对角化 ：

任意正规矩阵都可以用 这种形式表示，据此，用一组给定的特征值生成正规矩阵，其中， 为酉矩阵， 为对角矩阵：

总的来说，该矩阵不是 Hermitian 矩阵，也不是反厄米特矩阵或酉矩阵：

如果用来生成矩阵的特征值是实数，则矩阵是Hermitian 矩阵：

如果特征值是虚数，则矩阵是反厄米特矩阵：

如果特征值位于单位圆上，则矩阵是酉矩阵：

创建一个既是酉矩阵又是反厄米特矩阵的矩阵：

因为正规矩阵可以酉对角化，所以计算矩阵函数特别简单. 如果 ，则 ，可通过将 应用于每个对角元素来计算 . 考虑以下正规矩阵：

计算 Eigensystem[n]：

此例中特征向量被归一化，因此 ， 是根据 构建的对角矩阵：

计算 并用 MatrixPower 确认：

计算 并用 MatrixExp 确认：

计算 并用 MatrixLog 确认：

计算 并用 MatrixFunction 确认：

许多矩阵分布可产生正态矩阵，包括 CircularRealMatrixDistribution：

CircularSymplecticMatrixDistribution：

GaussianOrthogonalMatrixDistribution：

GaussianUnitaryMatrixDistribution :

对于复正规矩阵，SchurDecomposition 总是等价于 Eigensystem：

三角矩阵 t 实际上是对角矩阵，尽管它可能包含舍入错误：

t 的非对角线上的元素实际上是舍入误差：

t 的对角线上的特征值是无序的：

NormalMatrixQ[m] 实际上等价于 m.m^m^.m：

任何实对称矩阵都是正规矩阵：

对于厄米特矩阵也成立：

任何实非对称矩阵都是正规矩阵：

对于反厄米特矩阵也成立：

任何实正交矩阵都是正规矩阵：

对于酉矩阵也成立：

关于正规矩阵 ，对于所有向量 ， 成立：

两个正规矩阵的乘积不一定是正规矩阵：

当且仅当两个正规矩阵可交换时，乘积才是正规矩阵：

这种情况下，和也是正规矩阵：

当且仅当矩阵的 Hermitian 和反厄米特部分是可交换的，矩阵才是正规矩阵：

正规矩阵总是可对角化的：

实际上，它总是可用 Eigensystem 酉对角化的：

特征向量是正交的：

因此，将归一化的特征向量作为矩阵的列可形成一个酉矩阵：

因此，，其中 是对角矩阵，其中的元素为特征值 ：

对于正规矩阵 m，{s,j}=JordanDecomposition[m]：

矩阵总是为对角矩阵：

矩阵的列是正交的，但不一定是标准正交的：

可通过 UnitaryMatrixQ（设置 NormalizedFalse）快速进行验证：

对于正规矩阵，舒尔分解 {q,r} 与特征分解 {t,d} 其实是一样的：

计算 SchurDecomposition[n,RealBlockDiagonalFormFalse]：

该选项确保右上三角矩阵 r 为对角矩阵：

等于 ，但排序不同， 等于 ，但排序和相位不同：

对于这个特定的矩阵，排序是相同的：

为验证 等于 ，将每列的第一个元素设为 1. 以消除相位差异：

特征值为实数的正规矩阵是厄米特矩阵：

用 HermitianMatrixQ 验证：

特征值为纯虚数的正规矩阵是反厄米特矩阵：

用 AntihermitianMatrixQ 验证：

一个特征值都具有单位模的正规矩阵是酉矩阵：

用 UnitaryMatrixQ 验证：

对于任意正规矩阵，，其中 是 的特征值：

正规矩阵的特征值的绝对值等于矩阵的奇异值：