OrthogonalMatrixQ

OrthogonalMatrixQ[m]

如果 m 为显式正交矩阵，给出 True，否则给出 False.

更多信息和选项

  • 若有 p≥q 且 Transpose[m].m 为 q×q 单位矩阵，或者 p≤q 且 m.Transpose[m] 为 p×p 单位矩阵，则 p×q 矩阵 m 为正交的.
  • OrthogonalMatrixQ 适用于符号和数值矩阵.
  • 可以给出以下选项：
  • Normalized True测试矩阵的列是否被归一化
    SameTest Automatic检验表达式相等的函数
    Tolerance Automatic数值近似的误差允许值
  • 对于精确和符号式矩阵，选项 SameTest->f 表明，如果 f[aij,bij] 给出 True，则认为 aij 和 bij 两项相等.
  • 对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 可用于表示满足 γ≤t 的范数 γ=m.mT-In∞ 当作零，其中 In 为单位矩阵.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (2)

测试 2×2 的数值矩阵是否为正交矩阵：

测试 3×3 的符号矩阵是否为正交矩阵：

验证条件 TemplateBox[{m}, Transpose].m=I：

范围  (14)

基本用法  (6)

测试一个实矩阵否为正交矩阵：

实正交矩阵也是酉矩阵：

测试一个复矩阵否为正交矩阵：

该矩阵满足 TemplateBox[{m}, Transpose].m=I：

复正交矩阵不是酉矩阵：

测试一个精确矩阵否为正交矩阵：

把矩阵变为正交矩阵：

用 OrthogonalMatrixQ 测试任意精度的矩阵：

随机矩阵通常不是正交矩阵：

用 OrthogonalMatrixQ 测试符号矩阵：

当 和 时矩阵为正交矩阵：

OrthogonalMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵  (4)

用 OrthogonalMatrixQ 测试稀疏矩阵：

用 OrthogonalMatrixQ 测试结构矩阵：

单位矩阵是正交矩阵：

HilbertMatrix 不是正交矩阵：

矩形半正交矩阵  (4)

测试矩形矩阵是否为半正交矩阵：

由于列多于行，这表明行是标准正交的：

列不是标准正交的：

测试行多于列的矩阵：

矩阵的列是标准正交的：

行不是标准正交的：

生成随机正交矩阵：

行的任意子集为矩形半正交矩阵：

列的任意子集也一样：

矩形单位矩阵为半正交矩阵：

选项  (4)

Normalized  (2)

符号正交矩阵的列通常不归一化到 1：

不要测试列是否已归一化：

将正交矩阵的第二列乘以 2：

NormalizedFalse 的 OrthogonalMatrixQ 对 m 的测试结果依然为 True：

但是，对 Transpose[m] 的结果则不会为真：

这是因为 TemplateBox[{m}, Transpose].m 是对角矩阵，但 m.TemplateBox[{m}, Transpose] 不是：

SameTest  (1)

对于正实数 ，该矩阵是正交的，但 OrthogonalMatrixQ 给出 False：

使用选项 SameTest 得到正确答案：

Tolerance  (1)

生成正交实值矩阵，具有一些阶数为 10-13 的随机扰动：

q.q 在主对角线外，不是精确的零：

调整选项 Tolerance，以接受矩阵为正交矩阵：

Tolerance 应用于下值：

应用  (10)

正交矩阵的来源  (5)

TemplateBox[{}, Reals]^n 的任意标准正交基都可组成正交矩阵：

基是标准正交的：

将基向量作为矩阵的行，形成正交矩阵：

将基向量作为列，也可形成正交矩阵：

将 Orthogonalize 应用于实线性独立向量可生成正交矩阵：

矩阵不必是方阵，在这种情况下，生成的矩阵是半正交矩阵：

但起始矩阵必须是满秩矩阵：

所有旋转矩阵都是正交矩阵：

所有置换矩阵都是正交矩阵：

从 CircularRealMatrixDistribution 得到的矩阵是正交矩阵：

正交矩阵的用途  (5)

正交矩阵保留了 TemplateBox[{}, Reals]^n 上的标准内积. 换句话说，如果 是正交矩阵， 和 为向量，则 ：

这意味着向量之间的角度不变：

由于范数是从内积导出的，因此也保留了范数：

任何正交矩阵都表示旋转和/或反射. 如果矩阵的行列式为 ，则为旋转. 如果行列式是 ，则矩阵包含反射. 考虑以下矩阵：

该矩阵是正交矩阵且行列式为 ：

因此，它表示旋转；笛卡尔单位向量 和 保持它们的相对位置：

下面的矩阵是正交矩阵，但行列式为 ：

因此，它包含反射；笛卡尔单位向量 和 的相对位置被颠倒：

正交矩阵在许多矩阵分解中起着重要作用：

对于所有非零实向量 ，矩阵 一定是正交矩阵：

被称为 Householder 反射；因为它的行列式为 ：

它表示通过垂直于 的平面的反射，使得 变成 ：

不会改变任何垂直于 的向量：

在矩阵计算中， 用于将给定列向量 的选定分量设为零：

求满足以下微分方程的函数 ：

通过与非对称矩阵 相乘，表示与 的叉积：

计算矩阵指数 ，并用它来定义方程的解：

验证 满足微分方程和初始条件：

对于 的所有值，矩阵 是正交矩阵：

因此，解的轨道与原点的距离恒定，在本例中是一个圆：

属性和关系  (14)

如果 m.Transpose[m]IdentityMatrix[n]，则矩阵是正交的：

对于近似矩阵，单位阵近似为真：

正交矩阵的逆是它的转置：

因此，逆矩阵和转置矩阵也是正交矩阵：

实正交矩阵保留 TemplateBox[{}, Reals]^n 中向量的标准内积：

因此，实正交矩阵也保留了范数：

所有实值矩阵都是酉矩阵：

而复数酉矩阵通常不是正交矩阵：

正交矩阵的乘积还是正交矩阵：

实值正交矩阵是正规矩阵：

复值正交矩阵不一定是正规矩阵：

实值正交矩阵的特征值位于单位圆上：

用 Eigenvalues 求特征值：

验证它们位于单位圆上：

这不适用于复值正交矩阵：

实正交矩阵有一组完整的特征向量：

因此，它们必须是可对角化的：

用 Eigenvectors 求特征向量：

复正交矩阵可能无法对角化：

对于实正交矩阵，奇异值全部为 1：

对于复正交矩阵，这不一定成立：

正交矩阵的行列式是 1 或 ：

实正交矩阵的 2-norm 总是为 1：

对于复正交矩阵，这不一定成立：

正交矩阵的整数幂还是正交矩阵：

对于实非对称矩阵 m，MatrixExp[m] 是正交矩阵和酉矩阵：

对于复非对称矩阵 m，矩阵指数是正交矩阵，但（一般情况下）不是酉矩阵：

OrthogonalMatrix 可用于明确构建正交矩阵：

这满足 OrthogonalMatrixQ：

可能存在的问题  (1)

OrthogonalMatrixQ 对实矩阵和复矩阵都使用定义 TemplateBox[{m}, Transpose].m=I_n：

这些复矩阵不必是正规矩阵或具有实正交矩阵的许多性质：

UnitaryMatrixQ 测试的是更常见的定义 TemplateBox[{m}, ConjugateTranspose].m=I_n，可确保复矩阵是正规矩阵：

或者，测试元素是否为实数以限制必须是实正交矩阵：

巧妙范例  (1)

旋转矩阵是正交的：

Wolfram Research (2014)，OrthogonalMatrixQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/OrthogonalMatrixQ.html.

文本

Wolfram Research (2014)，OrthogonalMatrixQ，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/OrthogonalMatrixQ.html.

CMS

Wolfram 语言. 2014. "OrthogonalMatrixQ." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/OrthogonalMatrixQ.html.

APA

Wolfram 语言. (2014). OrthogonalMatrixQ. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/OrthogonalMatrixQ.html 年

BibTeX

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