PolyaAeppliDistribution

PolyaAeppliDistribution[θ,p]

表示形状参数为 θ 和 p 的 Pólya–Aeppli 分布.

更多信息

  • Pólya–Aeppli 分布是一种几何泊松复合分布，其中分布为独立同分布的几何随机变量的和，变量的个数服从泊松分布.
  • 在 Pólya–Aeppli 分布中，正整数值 的概率与 p^(x-1) TemplateBox[{{1, -, x}, 2, {-, {{(, {{(, {1, -, p}, )}, , theta}, )}, /, p}}}, Hypergeometric1F1] 成正比.
  • PolyaAeppliDistribution 允许 θ 为任意正实数，p 为一个位于 0 和 1 之间的数.
  • PolyaAeppliDistribution 允许 θ 和 p 为无量纲量. »
  • PolyaAeppliDistribution 可与 Mean、CDF 和 RandomVariate 等函数联合使用.

背景

  • PolyaAeppliDistribution[θ,p] 表示一个离散统计分布，定义于 的整数值，由正实数 θ 和 p（称为“形状参数”）确定，其中 . Pólya–Aeppli 分布的概率密度函数 (PDF) 是离散和单峰的，它的 PDF 的整体形状（高度、展布和最大值的水平位置）由 θ 和 p 的值确定. Pólya–Aeppli 分布有时也被称为几何泊松分布，但不要与几何分布 (GeometricDistribution) 或泊松分布 (PoissonDistribution) 相混淆.
  • Pólya–Aeppli 分布可追溯至二十世纪二十年代到三十年代瑞士数学家 Alfred Aeppli 的毕业论文及 Aeppli 的导师 George Pólya 随后的调查研究工作. 传统上来说，Pólya–Aeppli 分布是独立同分布的几何 (GeometricDistribution) 随机变数的分布之和，其中变数的数目服从泊松分布 (PoissonDistribution)，可以用瓮模型来描述 Pólya–Aeppli 分布，其中瓮的数目服从泊松分布，而每个瓮中珠子的数目服从几何分布. 从发现伊始，Pólya–Aeppli 分布已被用于生物识别、 Markov 模型的研究以及在各领域中对各种现象进行模拟，比如生物、排队理论、事故统计和生物信息学等.
  • RandomVariate 可用来给出一个或更多机器精度或任意精度（后者可通过设置 WorkingPrecision 选项获得）的 Pólya–Aeppli 分布中的伪随机变数. Distributed[x,PolyaAeppliDistribution[θ,p]]，更简洁的式子为 xPolyaAeppliDistribution[θ,p]，可用来断定随机变量 x 服从 Pólya–Aeppli 分布. 它也可以被用在诸如 Probability、NProbability、Expectation 和 NExpectation 这样的函数中.
  • 通过使用 PDF[PolyaAeppliDistribution[θ,p],x] 和 CDF[PolyaAeppliDistribution[θ,p],x]，可以得到 Pólya–Aeppli 分布的概率密度和累积分布函数，但应注意分布的 PDF 没有解析表达式. 可以用 Mean、Median、Variance、Moment 和 CentralMoment 来分别计算均值、中位数、方差、原始矩和中心矩. 还可以用 DiscretePlot 来可视化这些量.
  • 可以用 DistributionFitTest 来检测一个数据集是否符合 Pólya–Aeppli 分布，根据给定数据，用 EstimatedDistribution 来估计 Pólya–Aeppli 参数分布，而 FindDistributionParameters 则可用来将数据拟合成 Pólya–Aeppli 分布. 用 ProbabilityPlot 指令可以产生给定数据的 CDF 与符号式 Pólya–Aeppli 分布的 CDF 的比较图，QuantilePlot 则能绘制给定数据的分位数和符号式 Pólya–Aeppli 分布的分位数的比较图.
  • 可以用 TransformedDistribution 来表示转换过的 Pólya–Aeppli 分布，用 CensoredDistribution 表示删失后位于上限和下限值之间的数据的分布，而 TruncatedDistribution 则表示截尾后位于上限和下限值之间的数据的分布. CopulaDistribution 可用来构建包含 Pólya–Aeppli 分布的高维分布，ProductDistribution 可计算独立分量包括 Pólya–Aeppli 分布的联合分布.
  • PolyaAeppliDistribution 和许多其他统计分布有关. PoissonDistribution 是它的极限特例，因为当 p→0 （对于 的情况）时，PolyaAeppliDistribution[θ,p] 的 PDF 的极限完全等价于 PoissonDistribution[θ] 的 PDF. PolyaAeppliDistribution 还与 GeometricDistribution、PoissonConsulDistribution、SkellamDistribution 和 CompoundPoissonDistribution 密切相关.

范例

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基本范例  (3)

概率质量函数：

累积分布函数：

均值和方差：

范围  (8)

生成服从 Polya Aeppli 分布的伪随机数样本：

比较其直方图与概率密度函数：

分布参数估计：

估计样本数据的分布参数：

比较样本的密度直方图与所估计的分布的概率密度函数：

偏度：

极限值：

峰度：

极限值：

以参数的函数形式表示不同矩的解析式：

Moment:

CentralMoment:

FactorialMoment:

具有符号式阶数的解析式：

Cumulant:

风险函数：

分位数函数：

用无量纲的 Quantity 来定义 PolyaAeppliDistribution：

应用  (2)

PolyaAeppliDistribution 的 CDF 是右连续函数的一个例子：

传染病的温床数服从均值为 10 的 PoissonDistribution，其中在温床上患病的人数服从均值为7的 GeometricDistribution. 求患病总人数大于70的概率：

绘制患病人数的概率密度函数：

属性和关系  (3)

两个Pólya–Aeppli 分布相加所得的分布仍然是 Pólya–Aeppli 分布：

使用特征函数证明：

与其它分布的关系：

PoissonDistribution 是 Pólya–Aeppli 分布的极限情况：

Wolfram Research (2010)，PolyaAeppliDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyaAeppliDistribution.html （更新于 2016 年）.

文本

Wolfram Research (2010)，PolyaAeppliDistribution，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyaAeppliDistribution.html （更新于 2016 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "PolyaAeppliDistribution." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2016. https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyaAeppliDistribution.html.

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Wolfram 语言. (2010). PolyaAeppliDistribution. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyaAeppliDistribution.html 年

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