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PositiveSemidefiniteMatrixQ

PositiveSemidefiniteMatrixQ[m]

如果 m 是显式半正定矩阵，给出 True，否则给出 False.

更多信息和选项

如果对于所有向量 x，Re[Conjugate[x].m.x]≥0 成立，则矩阵 m 是半正定的. »
PositiveSemidefiniteMatrixQ 适用于符号以及数值矩阵.
对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 可用于表明将所有满足 λ≤t λ_max 的特征值 λ 视为零，其中 λ_max 是幅值最大的特征值.
选项 Tolerance 具有默认值 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

测试 2×2 的实矩阵是否为显式半正定矩阵：

这意味着对于所有向量，二次型成立：

可视化二次型的值：

测试 3×3 Hermitian 矩阵是否为半正定矩阵：

范围 (10)

基本用法 (6)

测试一个实机器精度矩阵是否为显式半正定矩阵：

测试一个复矩阵否为半正定矩阵：

测试一个精确矩阵否为半正定矩阵：

用 PositiveSemidefiniteMatrixQ 测试任意精度的矩阵：

随机矩阵通常不是半正定矩阵：

用 PositiveSemidefiniteMatrixQ 测试符号矩阵：

时矩阵为半正定矩阵：

PositiveSemidefiniteMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵 (4)

用 PositiveSemidefiniteMatrixQ 测试稀疏矩阵：

用 PositiveSemidefiniteMatrixQ 测试结构矩阵：

单位矩阵是半正定矩阵：

HilbertMatrix 是半正定矩阵：

选项 (1)

Tolerance (1)

产生具有阶数为 10^-12 的随机扰动的实数对角矩阵：

调整选项 Tolerance 接受矩阵作为半正定矩阵：

应用 (13)

半正定矩阵的几何与代数性质 (5)

考虑一个 2×2 的实半正定矩阵及其相关的实二次型：

因为是正定矩阵，所以水平集是椭圆：

的图则是向上的椭圆抛物面：

但是，椭圆可以退化，变成线：

的图则变为抛物线上的圆柱体：i

在更极端的情况下，由于，水平集可以是整个平面：

对于的实半正定矩阵，水平集是 -椭圆体：

在三维空间中，可以退化为椭圆上的圆柱体：

以及平面：

通过，Hermitian 矩阵定义了一个实二次型：

如果是半正定矩阵，对于所有输入，非负：

输入为实数的情况下可视化：

对于实值矩阵，只有对称的部分决定是否为半正定矩阵. 写为，为对称部分，为非对称部分：

由于为实对称矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为实非对称矩阵，有或为虚矩阵：

因此，，当且仅当为半正定矩阵，才是半正定矩阵：

对于复矩阵，只有 Hermitian 部分决定是否为半正定矩阵. 写为，是 Hermitian 矩阵，为反埃尔米特矩阵：

由于是 Hermitian 矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为反埃尔米特矩阵，有或是虚矩阵：

因此，，当且仅当为半正定矩阵，才是半正定矩阵：

半正定矩阵的来源 (8)

实 Covariance 矩阵总是对称的和半正定的：

复矩阵是 Hermitian 矩阵：

为方阵，计算 SingularValueDecomposition[m]：

矩阵式半正定矩阵：

Gram 矩阵是个向量的点积组成的对称矩阵：

Gram 矩阵一定是半正定矩阵：

从 WishartMatrixDistribution 得到的矩阵是实对称半正定矩阵：

Hermitian 矩阵的平方是半正定矩阵：

每个反厄米特矩阵都是半正定矩阵：

Lehmer 矩阵是对称半正定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称半正定矩阵：

矩阵 Min[i,j] 一定是对称半正定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称半正定矩阵：

属性和关系 (13)

对于任何不是矩阵的 x，PositiveSemidefiniteMatrixQ[x] 返回 False：

如果对于所有向量，，则矩阵是半正定矩阵：

与的正负无关：

当且仅当实矩阵的对称部分是半正定的，实矩阵才是半正定矩阵：

一般情况下，当且仅当矩阵的 Hermitian 部分是半正定的，矩阵才是半正定矩阵：

当且仅当实对称矩阵的特征值都是非负的，实对称矩阵才是半正定矩阵：

该陈述更普遍适用于 Hermitian 矩阵：

普通矩阵的所有特征值可以非负而不是半正定矩阵：

同样，一个矩阵可以是半正定的，但没有非负特征值：

失败是特征值为复数造成的：

半正定矩阵的特征值的实部必须非负：

当且仅当对角元素有非负实部，对角矩阵才是半正定矩阵：

半正定矩阵的通用形式为，其中，为对角半正定矩阵：

将划分为 Hermitian 和反厄米特部分：

根据谱定理，可用 JordanDecomposition 将酉对角化：

矩阵是对角矩阵，且对角元素非负：

矩阵是酉矩阵：

验证：

当且仅当是半负定矩阵，矩阵才是半正定矩阵：

正定矩阵一定是半正定矩阵：

有非正定的半正定矩阵：

半正定矩阵不可能是不定或半负定矩阵：

实对称半正定矩阵的行列式和迹非负：

这同样适用于半正定 Hermitian 矩阵：

实对称半正定矩阵有唯一定义的平方根，使得成立：

平方根是半正定实对称矩阵：

半正定厄米特矩阵有唯一定义的平方根，使得成立：

平方根是半正定厄米特矩阵：

两个对称半正定矩阵的 Kronecker 积是对称半正定矩阵：

用一个负定矩阵替换其中的一个矩阵，将得到一个半负定矩阵：

可能存在的问题 (2)

CholeskyDecomposition 不用于对称或者奇异的 Hermitian 半正定矩阵：

PositiveSemidefiniteMatrixQ 将给出 False，除非它可以证明一个符号矩阵是半正定的：

同时使用 Eigenvalues 和 Reduce 可给出更精确的结果：

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