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QPochhammer

QPochhammer[a,q,n]

ポッホハンマー(Pochhammer)記号を返す．

QPochhammer[a,q]

ポッホハンマー記号を返す．

ポッホハンマー記号を返す．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
$TemplateBox[{a, q}, QPochhammer2]=product_(k=0)^infty(1-a q^k)$
$TemplateBox[{a, q, n}, QPochhammer]=TemplateBox[{a, q}, QPochhammer2]/TemplateBox[{{a, , {q, ^, n}}, q}, QPochhammer2]$
QPochhammerは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

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例 (4)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

スコープ (22)

数値評価 (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のQPochhammer関数を計算することもできる：

特定の値 (4)

固定点におけるQPochhammerの値：

記号パラメータについてのQPochhammer：

有限積はすべてのガウス有理数について評価される：

QPochhammer[x]の最大値を求める：

可視化 (2)

QPochhammer関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性 (9)

の実領域：

の値域を近似する：

は解析関数ではない：

x≤-1または x≥1のとき，特異点と不連続点の両方を持つ：

は非増加でも非減少でもない：

QPochhammerは単射ではない：

QPochhammerは全射ではない：

QPochhammerは非負でも非正でもない：

QPochhammerは凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

級数展開 (1)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似をプロットする：

アプリケーション (11)

級数は他の階乗関数の構築ブロックである：

二項定理：

Rogers–Ramanujanの恒等式：

正弦と余弦の類似体を構築する：

通常の三角恒等式からの類推をいくつか検証する：

関数をプロットする：

の類推：

の類推：

五角数定理を示す：

12を法としたディリクレ(Dirichlet)指標による別の式：

分割数を生成する：

ヤコビの三重積の恒等式を級数展開によって検証する：

RamanujanTauをその母関数のモジュラ判別式から求める：

整数分割の共役を計算する関数を定義する：

自己共役であるの整数分割の数を数える：

同じ結果を母関数から計算する：

標数の有限体上のランダムな一様行列の行列式が0である確率：

標数2の体における行列についての確率を計算する：

シミュレーションと比較する：

おもしろい例題 (4)

ハーシュホーン(Hirschhorn)のモジュラ恒等式 $(TemplateBox[{q, q}, QPochhammer2])^5=TemplateBox[{{q, ^, 5}, {q, ^, 5}}, QPochhammer2] mod 5$ ：

単位円板の境界はの真性特異点の密な部分集合を含んでいる：

Rogers–Ramanujan連分数を級数に展開する：

QPochhammerによる閉じた形と比較する：

Rogers–Ramanujan連分数を単位円板上に可視化する：

KontsevichおよびZagierの「奇妙な関数」の部分和を複素平面上で可視化する：

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