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Sech

给出 z 的双曲正割.

更多信息

数学函数，适宜于符号和数值运算.
.
1/Cosh[z] 被自动转换为 Sech[z]. TrigFactorList[expr] 进行分解.
对于某些特定参数，Sech 自动计算出精确值.
Sech 可以计算到任意数值精度.
Sech 自动逐项作用于列表的各个元素. »
Sech 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

背景

Sech 是双曲正割函数，是三角学中普遍使用的 Sec 圆函数的双曲类比. 它被定义为双曲余弦函数的倒数 . 对于实数变量它的定义如下：设是三条线轴、从原点出发的射线以及单位双曲线围成的封闭区域面积的两倍，则 Sech[α] 表示射线与双曲线交点的横坐标的倒数. 双曲正割函数的另一个等价定义是，其中是自然对数 Log 的底数.
当变量是有理数的（自然）对数时，Sech 会自动计算出精确值. 当给出精确数值表达式作为变量时，Sech 可以算出任意精度的数值结果. TrigFactorList 可将包含 Sech 的表达式因式分解为包含 Sinh、Cosh、Sin 和 Cos 的单项式. 对包含 Sech 的符号表达式，其他适用的操作运算有 TrigToExp、TrigExpand、Simplify 和 FullSimplify.
Sech 自动逐项作用于列表和矩阵. 相比之下，MatrixFunction 则可用于给出整个方阵的双曲正割值（即用矩阵幂次代替普通幂次的双曲正割函数的幂级数）而不是单个矩阵元素的双曲正割值.
当 x 趋向于时，Sech[x] 呈指数级递减. Sech 和 Sec 类似，也满足勾股恒等式，即 . 双曲正割函数的定义可由等式扩展到复数变量上. Sech 在且是整数的这些点处取得极值 ComplexInfinity. Sech[z] 在原点处的级数展开为 $sum_(k=0)^infty(TemplateBox[{{2, , k}}, EulerE])/((2 k)!)z^(2 k)$ ，可由欧拉数 EulerE 构成的项表示.
Sech 的反函数是 ArcSech. 其他相关的数学函数有 Cosh 和 Csch.

范例

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基本范例 (5)

数值计算：

在实数子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点处的级数展开式：

在奇点处的渐近展开式：

范围 (47)

数值运算 (6)

数值计算：

高精度运算：

输出精度与输入精度一致：

Sech 可以接受复数输入：

高效地对 Sech 进行高精度运算：

自动逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 Sech 函数：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最差情况下的区间：

或用 Around 计算普通的统计区间：

特殊值 (4)

Sech 在固定纯虚数点处的值：

无穷处的值：

Sech 的最大值：

求作为的根的最大值：

将值代入：

可视化结果：

自动生成简单的精确值：

对于更复杂的情况，需要明确使用 FunctionExpand：

可视化 (3)

绘制 Sech 函数：

绘制的实部：

绘制的虚部：

的极坐标图：

函数属性 (12)

Sech 对所有实数有定义：

复定义域：

Sech 的值域是区间内的所有实数：

Sech 是偶函数：

Sech 具有镜像属性：

Sech 是在实数域上的解析函数：

虽然在复平面上不是解析的，但它是亚纯函数：

Sech 既不是非递增，也不是非递减：

Sech 不是单射函数：

Sech 不是满射函数：

Sech 非负：

Sech 没有奇点或断点：

Sech 既不凸，也不凹：

TraditionalForm 格式：

微分 (3)

一阶导数：

高阶导数：

阶导数的公式：

积分 (3)

Sech 的不定积分：

在原点为中心的区间上的偶函数的定积分：

这是半区间上积分的两倍：

更多积分：

级数展开 (4)

用 Series 求泰勒展开式：

绘制 Sech 在附近的前 3 个近似式：

Sech 级数展开式的通项：

Sech 的傅立叶级数的第一项：

可将 Sech 应用于幂级数：

积分变换 (2)

用 LaplaceTransform 计算拉普拉斯变换：

FourierTransform：

函数恒等和化简 (6)

二倍角的 Sech：

和的 Sech：

对倍角表达式进行转换：

将双曲线函数和的形式转换为积的形式：

假设和为实变量的情况下展开表达式：

转换为指数：

函数表示 (4)

用 Cos 表示：

用贝塞尔函数表示：

用雅可比函数表示：

用 MeijerG 表示：

应用 (7)

绘制一个曳物追踪曲线：

绘制伪球面：

计算延伸到无穷的曲面上有限区域的面积：

Korteweg–de Vries 方程中的一个孤子：

有零能量解的 Schrödinger 方程：

计算双曲正割的概率分布函数的累积分布：

绘制概率分布函数和累积分布函数：

求解微分方程：

计算非线性薛定谔方程：受周期势扰动的孤子轮廓图：

属性和关系 (11)

自动应用 Sech 的基本的奇偶属性和周期属性：

不能自动化简包含双曲函数的表达式：

用 Refine、Simplify 和 FullSimplify 化简包含 Sech 的表达式：

通过 FunctionExpand 用根式表示特殊值：

与反函数一起使用：

求解双曲方程：

求超越方程的数值根：

化简双曲方程：

从和、积和积分得到 Sech：

Sech 出现在特殊函数的特例中：

Sech 是一个数值函数：

可能存在的问题 (5)

机器精度的输入不足以给出正确的结果：

改为精确输入，结果是正确的：

需要提高 $MaxExtraPrecision 的设置：

Sech 的倒数是 Cosh：

在无穷处不存在幂级数，在无穷处 Sech 有本质奇点：

在 TraditionalForm 中，需要在自变量周围加上圆括号：

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