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Tanh

の双曲線正接を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
Sinh[z]/Cosh[z]はTanh[z]へ自動的に変換される．TrigFactorList[expr]は分割を行う．
特別な引数の場合，Tanhは自動的に厳密値を計算する．
Tanhは任意の数値精度で評価できる．
Tanhは自動的にリストに縫い込まれる． »
TanhはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

予備知識

Tanhは，双曲線正接関数である．これは，三角法で頻繁に使われる，Tan円関数の双曲線バージョンのようなものである．Tanh[α]は，によって，対応する双曲線正弦関数と双曲線余弦関数の比として定義される．Tanhはとしても定義される．ただし，は自然対数Logの底である．
Tanhは，その引数が有理数の（自然）対数であるときは，自動的に厳密値に評価される．引数として厳密な数式が与えられると，Tanhは任意の数値精度に評価されることがある．TrigFactorListを使って，Tanhを含む式をSinh，Cosh，Sin，Cosを含む項に因子分解することができる．Tanhを含む記号式の操作に便利なその他の演算には，TrigToExp，TrigExpand，Simplify，FullSimplifyがある．
Tanhは要素単位でリストおよび行列に縫い込まれる．対照的に，MatrixFunctionを使って，正方行列の双曲線正接（つまり，通常のベキが行列のベキで置き換えられた双曲線正接関数のベキ級数）を与えることができる．
Tanh[x]は，小さい負の x についてはに近付き，大きい正の x についてはに近付く．Tanhは，Tanによって満足されるような，ピタゴラス(Pythagorean)の恒等式に似た恒等式を満足する．双曲線正接関数の定義は，恒等式およびによって，複素引数にまで拡張される．Tanhは整数について値において極を持ち，これらの点で評価するとComplexInfinityになる．Tanh[z]は，原点付近で級数展開 $sum_(k=0)^infty(2^(2 k)(2^(2k)-1) TemplateBox[{{2, , k}}, BernoulliB] )/((2 k)!)z^(2 k-1)$ を持つ．これはベルヌーイ(Bernoulli)数BernoulliBによって表すことができる．
Tanhの逆関数はArcTanhである．他の関連する数学関数には，Sinh，Coth，Tanがある．

例題

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例 (5)

数値的に評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

0における級数展開：

特異点における漸近展開：

スコープ (46)

数値評価 (5)

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

Tanhは複素数を入力として取ることができる：

Tanhを高精度で効率よく評価する：

自動縫込みを使って配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のTanh関数を計算することもできる：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

特定の値 (4)

固定された純粋な虚点におけるTanhの値：

無限大における値：

Tanhの零点：

Solveを使って零点を求める：

値を代入する：

結果を可視化する：

単純な厳密値は自動的に生成される：

より複雑な場合は明示的にFunctionExpandを使う必要がある：

可視化 (3)

Tanh関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

の実部をプロットする：

関数の特性 (12)

Tanhはすべての実数値について定義される：

複素領域：

Tanhは開区間からのすべての実数値に達する：

Tanhは奇関数である：

Tanhは鏡特性を有する：

Tanhは実数上での解析関数である：

複素平面上では，解析的ではないが有理型ではある：

Tanh単調である：

Tanhは単射である：

Tanhは全射ではない：

Tanhは非負でも非正でもない：

Tanhは特異点も不連続点も持たない：

Tanhは凸でも凹でもない：

TraditionalFormによる表示：

微分 (3)

一次導関数：

高次導関数：

次導関数の式：

積分 (3)

Tanhの不定積分：

原点を中心とした区間上の奇関数の定積分は0である：

その他の積分例：

級数展開 (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りのTanhの最初の3つの近似をプロットする：

Tanhの級数展開における一般項：

フーリエ(Fourier)級数の最初の数項：

Tanhはベキ級数に適用できる：

積分変換 (2)

LaplaceTransformを使ってラプラス変換を計算する：

FourierTransform：

関数の恒等式と簡約 (6)

倍角のTanh：

マルチアングルの式を変換する：

総和のTanh：

双曲線関数の総和を積に変換する：

実変数およびを仮定して展開する：

指数に変換する：

関数表現 (4)

Tanを介した表現：

ベッセル(Bessel)関数を介した表現：

ヤコビ関数を介した表現：

マシュー(Mathieu)関数を介した表現：

アプリケーション (4)

追跡曲線をプロットする：

擬球をプロットする：

無限大に拡張する曲面の有限範囲を計算する：

一定の力場における相対論的な物体の速度：

双曲線正接メソッドを用いたBurgers方程式の解：

特性と関係 (13)

Tanhの基本的なパリティと周期性の特性は自動的に適用される：

双曲線関数を含む式は自動的には簡約されない：

Refine，SimplifyあるいはFullSimplifyを使ってTanhを含む式を簡約する：

FunctionExpandを使って累乗根における特別な値を表す：

逆関数で構成する：

双曲線方程式を解く：

超越方程式の根を数値的に求める：

双曲線方程式を簡約する：

積分：

積分変換：

総和と積分からTanhを得る：

Tanhは，特殊関数の特殊な場合に見られる：

Tanhは数値関数である：

考えられる問題 (4)

機械精度の入力は，正しい答を得るためには不十分である：

厳密な入力だと，正しい答が得られる：

$MaxExtraPrecisionの設定値を大きくする必要があるかもしれない：

無限大において存在するベキ級数はない．無限大でTanhは真性特異点を持つ：

TraditionalFormの場合は引数の前後に丸カッコが必要である：

おもしろい例題 (1)

連分数の展開：

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