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Transpose

Transpose[list]

转置 list 中的前两层.

Transpose[list,{n₁,n₂,…}]

转置 list，这样使得 list 中的第 k 层是最后结果的第 n_k 层.

Transpose[list,mn]

转置 list 中的层 m 和 n，其他层不变.

Transpose[list,k]

将 list k 位置上的层向右循环.

更多信息和选项

Transpose[m] 给出一个矩阵 m 的一般转置.
Transpose[m] 可以输入为 m^.
 可以输入为 tr 或 \[Transpose].
对于矩阵 m，Transpose[m] 等同于 Transpose[m,{2,1}].
对于深度 r≥3 的数组 a，Transpose[a] 等同于 Transpose[a,{2,1,3,…,r}]，只转置首两层. »
Transpose[a,{n₁,n₂,…}] 或 Transpose[a,n₁n₂] 中的 n_i 必须是正整数，不能大于 ArrayDepth[a].
如果 {n₁,n₂,…} 是置换列表，那么，在 Transpose[a,{n₁,n₂,…}] 的位置 {i₁,i₂,…} 的元素是数组 a 位置 {i_n₁,i_n₂,…} 的元素.
对于置换 perm， Transpose[a,perm] 维度是 Permute[Dimensions[a],perm].
当由 PermutationCycles[perm] 返回时，Transpose[a,perm] 中的置换列表 perm 可以给定为 Cycles 格式. »
Transpose[a,m↔n] 或 Transpose[a,TwoWayRule[m,n]] 等价于 Transpose[a,Cycles[{{m,n}}]]. »
Transpose[a,k] 等价于 Transpose[a,RotateLeft[Range[n],k]]，其中 n 是 a 的深度.
Transpose 允许重复 n_i，计算由重复级别确定的子数组的对角线. 结果是一个更小深度的数组.
对于平方矩阵 m，Transpose[m,{1,1}] 返回 m 的主对角，由 Diagonal[m] 给定. »
一般来说，如果 n_p=n_q，那么，运算 Transpose[a,{n₁,n₂,…}] 可能是维度 {d₁,d₂,…} 的数组 a，如果 d_p=d_q.
Transpose 适用于 SparseArray 和结构化数组对象.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (3)

转置一个 3×3 数值矩阵：

可视化转置运算：

转置一个 2×3 符号矩阵：

使用和 tr 输入转置运算符：

范围 (13)

矩阵 (6)

以网格形式输入矩阵：

转置矩阵并格式化结果：

将行矩阵转置为列矩阵：

格式化输入和输出：

将列矩阵转置回行矩阵：

矢量转置则保持不变：

Transpose 使单位矩阵保持不变：

s 是稀疏矩阵：

Transpose[s] 也是稀疏矩阵：

实际上，只是这些指标被颠倒了：

转置 SymmetrizedArray 对象：

由于其反对称性，结果等于原始数组的负数：

将一个符号转置格式化为 TraditionalForm：

数组 (7)

转置秩为 3 的数组的前两级，有效地将其转置为矢量矩阵：

使用不同置换转置深度 3 的数组：

将深度为 5 的数组的层向右循环两个位置：

使用 TwoWayRule 符号执行转置：

使用 Cycles 表示法执行转置：

转置深度为 4 的数组的层 2 和 3：

第二和第三维被交换：

通过转置两个相同层获取主导主角线：

应用 (13)

矩阵分解 (4)

是一个随机实矩阵：

求的 QRDecomposition：

是正交的，所以它的逆是：

从分解重构：

计算矩阵的 SchurDecomposition：

矩阵是正交的，所以它的逆是：

从分解重构：

计算矩阵的 SingularValueDecomposition：

矩阵和是正交的，所以它们的逆矩阵是它们的转置：

从分解重构；

构造的奇异值分解，一个随机的矩阵：

首先计算的特征系统：

奇异值是非零特征值的平方根：

矩阵是奇异值的对角矩阵，其形状与相同：

矩阵将特征向量作为其列：

对于每个非零特征值，矩阵具有形式的列：

验证和是正交的：

验证分解：

特殊矩阵 (6)

对称矩阵服从，这是一个反对称矩阵 . 这个矩阵是对称的：

用 SymmetricMatrixQ 验证：

这个矩阵是反对称的：

用 AntisymmetricMatrixQ 验证：

如果，则矩阵是正交的. 检查矩阵是否正交：

使用 OrthogonalMatrixQ 确认它是正交矩阵：

实值对称矩阵可正交对角化为，其中为对角线和实值，且正交. 验证以下矩阵是否对称，然后对其进行对角化：

要对角化，首先计算的特征值并将它们放在对角矩阵中：

接下来，计算单位特征向量：

然后可以像前面一样用对角化，并且：

如果，则矩阵为酉矩阵. 证明矩阵是酉矩阵：

用 UnitaryMatrixQ 验证：

如果，则实值矩阵称为正规矩阵. 正规矩阵是最通用的矩阵类型，可以酉对角化为，其中为对角线和为酉矩阵. 所有实对称矩阵都是正规矩阵，因为等式的两边都是简单的：

证明下面的矩阵是正规矩阵，然后将其对角化：

使用 NormalMatrixQ 验证：

像这样的正规矩阵可以使用 Eigensystem 进行酉对角化：

与对称矩阵的情况不同，这里的对角矩阵是复值：

对特征向量进行归一化并将它们放在列中会得到一个酉矩阵：

验证对角化：

证明实反对称矩阵和正交矩阵是正规的，因此可以酉对角化. 对于正交矩阵，只需代入定义即可得到两边的单位矩阵：

对于反对称矩阵，两边都是简单的：

正交矩阵的特征值位于单位圆上：

反对称矩阵有纯虚特征值：

可视化 (3)

使用 Transpose 更改 BarChart 中的数据分组：

使用 Transpose 将 ListPlot3D 中的和轴互换：

这具有对数据沿直线镜面反射的效果：

多维化一个一维列表命令：

例如，在数组的所有级别上累积：

在数组的所有层级上反转：

导入一个 RGB 图像：

反转所有层级的数据，沿直线反射，并将红色和蓝色通道对换：

属性和关系 (18)

Transpose 服从：

对于兼容矩阵和，Transpose 服从：

矩阵求逆与 Transpose 互相对称，即：

Conjugate[Transpose[m]] 可以使用 ConjugateTranspose 一步完成：

许多特殊矩阵由它们在 Transpose 下的属性定义. 对称矩阵有：

正交矩阵满足：

矩阵及其转置的乘积是对称的：

是和的矩阵乘积；

，因此是对称的：

方阵及其转置之和是对称的：

是和的矩阵和：

，因此是对称的：

两者之差是反对称的：

{{}} 的转置返回 {}：

结果不能再次为{{}} ，因为维度 {1,0} 的置换是 {0,1}，并且没有表达式可以具有维度 {0,1}：

Transpose[a] 转置数组的前两层：

Transpose[a,perm] 返回维度为 Permute[Dimensions[a],perm] 的数组：

维度为 {2,3,4} 的数组：

通过 σ^-1 转置元素位置的排列 σ：

Transpose[a,Cycles[{{m,n}}]] 与 Transpose[a,mn] 是等价的：

使用 PermutationList[Cycles[{{m,n}}]，两种格式是等价的：

转置的组合等同于它们置换的乘积，同样的顺序：

一般来说，转置不能交换：

Transpose[a,σ] 等价于 Flatten[a,List/@InversePermutation[σ]]:

Transpose 和 TensorTranspose 对于显式数组是一致的：

TensorTranspose 进一步支持 Transpose 不支持的符号操作：

矩阵的转置可用 Thread 进行：

Transpose[m,{1,1}] 等价于 Diagonal[m]:

Transpose[a,{1,…,1,2,3,…}] 等价于追踪被转置为层 1 的层：

可能存在的问题 (1)

Transpose 仅适用于矩形阵列：

您可以通过填充执行广义化的置换：

消去填充：

巧妙范例 (1)

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