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UnitaryMatrixQ

UnitaryMatrixQ[m]

m がユニタリ行列の場合はTrueを，その他の場合はFalseを返す．

詳細とオプション

p≥q でConjugateTranspose[m].m が q×q 恒等行列であるか，p≤q で m.ConjugateTranspose[m]が p×p 恒等行列であるなら，p×q 行列 m はユニタリ行列である．
UnitaryMatrixQは記号行列および数値行列に使うことができる．
使用可能なオプション

	Normalized	True	行列の列が正規化されているかどうかの検定を行う
	SameTest	Automatic	式の等価性を検定する関数
	Tolerance	Automatic	近似数の許容範囲

厳密行列および記号行列の場合は，オプションSameTest->f は，f[a_ij,b_ij]がTrueを返すなら，2つの項 a_ijおよび b_ijは等しいことを示す．
近似行列の場合は，オプションTolerancet を使い，I_nが恒等行列の場合は γ≤t を満足するノルム γ=m.m^-I_n_∞がゼロとみなされることを示すことができる．

例題

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例 (2)

2×2数値行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

3×3記号行列が明示的にユニタリ行列かどうかの検定を行う：

条件を手動で確認する：

スコープ (14)

基本的な用法 (6)

実行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

実ユニタリ行列は直交行列でもある：

複素行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

厳密行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

行列をユニタリ行列にする：

UnitaryMatrixQを任意精度行列に使う：

ランダム行列は，通常は，ユニタリ行列ではないことが多い：

UnitaryMatrixQを記号行列に使う：

かつのとき，この行列はユニタリ行列である：

UnitaryMatrixQは大きい数値行列に効率的に機能する：

特殊行列 (4)

UnitaryMatrixQを疎な行列に使う：

UnitaryMatrixQを構造化行列に使う：

恒等行列はユニタリ行列である：

HilbertMatrixはユニタリ行列ではない：

矩形半ユニタリ行列 (4)

矩形行列が半ユニタリ行列かどうかの検定を行う：

列が行よりも多いので，行が正規直交であることがわかる：

列は正規直交ではない：

行が列より多い行列について検定する：

行列の列は正規直交である：

列は正規直交ではない：

ランダムなユニタリ行列を生成する：

行の任意の部分集合は矩形半ユニタリ行列を形成する：

列の任意の部分集合も同じである：

矩形恒等行列は半ユニタリ行列である：

オプション (4)

Normalized (2)

記号ユニタリ行列の列は，1に正準化されていないことがしばしばある：

列が正規化されているかどうかの検定を避けることができる：

ユニタリ行列の第2列に2を掛ける：

NormalizedFalseのUnitaryMatrixQはmについてTrueを返す：

しかし，ConjugateTranspose[m]に対してはTrueは返さない：

これは，は対角行列だがはそうではないためである：

SameTest (1)

この行列は正の実数についてユニタリ行列であるが，UnitaryMatrixQはFalseを返す：

オプションSameTestを使って正しい答を得る：

Tolerance (1)

ランダムな摂動がある次数10^-14の実直交行列を生成する：

q.q^は，主対角線以外では厳密にゼロではない：

行列をユニタリ行列として承認するために，オプションToleranceを調整する：

Toleranceは次の値に適用される：

アプリケーション (9)

ユニタリ行列の起源 (4)

$TemplateBox[{}, Complexes]^n$ についての任意の正規直交基底はユニタリ行列を形成する：

基底は正規直交である：

基底ベクトルを行列の行に置くとユニタリ行列になる：

列に置いてもユニタリ行列になる：

Orthogonalizeを線形独立の複素ベクトルに適用するとユニタリ行列が生成される：

行列が正方行列である必要はない．正方行列の場合，結果の行列は半ユニタリ行列になる：

しかし，はじめの行列は最大階数でなければならない：

任意の置換行列はユニタリ行列である：

CircularUnitaryMatrixDistributionから導かれた行列はユニタリ行列である：

CircularOrthogonalMatrixDistributionから導かれた行列もユニタリ行列である：

CircularSymplecticMatrixDistributionからの行列もそうである：

ユニタリ行列の用法 (5)

ユニタリ行列は $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ についての標準内積を保持する．換言すれば，がユニタリでとがということになる：

このことは，ベクトル間の角度が変化しないことを意味する：

ノルムは内積から導かれるので，ノルムもまた保持される：

ユニタリ行列は，多くの行列の分解に重要な役を演じる：

行列 $H_v=I_n-(2 vTemplateBox[{v}, Conjugate])/(v.TemplateBox[{v}, Conjugate])$ は任意の非零のベクトルについて常にユニタリ行列である：

はハウスホルダー(Householder)鏡映と呼ばれる．純粋な鏡映なので，その行列式はである：

これはをに送るに垂直な平面を介した鏡映を表す：

に垂直な任意のベクトルはによって変えられない：

行列の計算では，を使って指定された列ベクトルの選択された成分を0に設定する：

量子力学では，時間発展はユニタリ行列の1パラメータ族で表される．掛けるの対数微分はハミルトニアンあるいはエネルギー演算子と呼ばれるエルミート行列で，その固有値は系の可能なエネルギーを表す．次の時間発展についてハミルトニアンと可能なエネルギーを計算する：

まず，行列が実際にユニタリ行列であることを確認する：

対数微分を計算する：

この行列は反エルミート行列である：

ハミルトニアンを定義する：

この行列がエルミート行列であることを確認する：

その実固有値は可能なエネルギーを表す：

反エルミート行列の指数MatrixExp[v]はユニタリ行列である．初期値がであるその微分方程式から行列関数を定義し，解がユニタリ行列であることを示す：

以下を解き，結果の行列がどの時点でもユニタリ行列であることをチェックする：

デフォルト設定では，近似ユニタリ行列になる：

解の行列2ノルムは1である：

行列の行をプロットする：

各行は単位球上にある：

特性と関係 (14)

m.ConjugateTranspose[m]IdentityMatrix[n]であれば，その行列はユニタリ行列である：

近似行列の場合は，恒等式はほぼ正しい：

ユニタリ行列の逆行列はその共役転置である：

したがって，逆，転置，共役，共役転置はすべてユニタリ行列である：

ユニタリ行列は $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ におけるベクトルの標準内積を保持する：

結果として，ユニタリ行列はノルムもまた保持する：

任意の実直交行列はユニタリ行列である：

しかし，複素ユニタリ行列は，一般に直交行列ではない：

ユニタリ行列の積はユニタリ行列である：

ユニタリ行列は正規行列である：

ユニタリ行列は単位円上にある固有値を持つ：

Eigenvaluesを使って固有値を求める：

それらが単位円上にあることを確かめる：

ユニタリ行列は固有ベクトルの完全集合を持つ：

結果として，それらは対角化可能でなければならない：

Eigenvectorsを使って固有ベクトルを求める：

ユニタリ行列の特異値はすべて1である：

ユニタリ行列の行列式の絶対値は1である：

ユニタリ行列の2ノルムは常に1である：

ユニタリ行列の実数乗はユニタリ行列である：

MatrixExp[I h]は任意のエルミート行列 h についてユニタリ行列である：

UnitaryMatrixを使ってユニタリ行列を明示的に構築することができる：

これはUnitaryMatrixQを満足する：

考えられる問題 (1)

複素直交行列はユニタリ行列ではない：

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