UnitaryMatrixQ

m がユニタリ行列の場合はTrueを，その他の場合はFalseを返す．

詳細とオプション

p≥q でConjugateTranspose[m].m が q×q 恒等行列であるか，p≤q で m.ConjugateTranspose[m]が p×p 恒等行列であるなら，p×q 行列 m はユニタリ行列である．
UnitaryMatrixQは記号行列および数値行列に使うことができる．
使用可能なオプション

Normalized	True	行列の列が正規化されているかどうかの検定を行う
SameTest	Automatic	式の等価性を検定する関数
Tolerance	Automatic	近似数の許容範囲

厳密行列および記号行列の場合は，オプションSameTest->f は，f[a_ij,b_ij]がTrueを返すなら，2つの項 a_ijおよび b_ijは等しいことを示す．
近似行列の場合は，オプションTolerancet を使い，I_nが恒等行列の場合は γ≤t を満足するノルム γ=m.m^-I_n_∞がゼロとみなされることを示すことができる．

例題

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例 (2)

2×2数値行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code:

UnitaryMatrixQ[(1/Sqrt[2])(⁠|   |   |
| - | - |
| 1 | I |
| I | 1 |⁠)]

3×3記号行列が明示的にユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code:

m = (|       |                                    |                                     |
| ----- | ---------------------------------- | ----------------------------------- |
| 1     | 0                                  | 0                                   |
| 0     | (Cosh[Im[α]]/Sqrt[Cosh[2 Im[α]]])  | I (Sinh[Im[α]]/Sqrt[Cosh[2 Im[α]]]) |
|   0   | I(Sinh[Im[α]]/Sqrt[Cosh[2 Im[α]]]) | (Cosh[Im[α]]/Sqrt[Cosh[2 Im[α]]])   |);

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

条件を手動で確認する：

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[m].m == IdentityMatrix[3]//Simplify

スコープ (14)

基本的な用法 (6)

実行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code: m = (1/Sqrt[5]){{1, 2}, {-2, 1}};

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

実ユニタリ行列は直交行列でもある：

Wolfram Language code: OrthogonalMatrixQ[m]

複素行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code: m = (1/Sqrt[5]){{2, I}, {I, 2}};

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

厳密行列がユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code:

m = (⁠|   |    |    |
| - | -- | -- |
| 4 | -5 | 2  |
| 3 | -3 | -3 |
| 5 | 5  | 5  |⁠);

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

行列をユニタリ行列にする：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[Orthogonalize[m]]

UnitaryMatrixQを任意精度行列に使う：

Wolfram Language code: m = RandomReal[5, {3, 3}, WorkingPrecision -> 15]

ランダム行列は，通常は，ユニタリ行列ではないことが多い：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

UnitaryMatrixQを記号行列に使う：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[{{a, b}, {c, d}} / Sqrt[Abs[a]^2 + Abs[b]^2]]

かつのとき，この行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code:

Block[{c = Conjugate[b], d = -Conjugate[a]}, UnitaryMatrixQ[{{a, b}, {c, d}} / Sqrt[Abs[a]^2 + Abs[b]^2], SameTest -> (FullSimplify[#1 - #2] == 0&)]]

UnitaryMatrixQは大きい数値行列に効率的に機能する：

Wolfram Language code: m = RandomReal[1, {1000, 1000}];

Wolfram Language code: AbsoluteTiming[UnitaryMatrixQ[m]]

Wolfram Language code:

a = Orthogonalize[m];
AbsoluteTiming[UnitaryMatrixQ[a]]

特殊行列 (4)

UnitaryMatrixQを疎な行列に使う：

Wolfram Language code: SparseArray[{Band[{1, 1}] -> -I}, {5, 5}]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[%]

UnitaryMatrixQを構造化行列に使う：

Wolfram Language code: SymmetrizedArray[{{1, 1} -> (1 + I/2), {1, 2} -> (1 - I/2), {2, 2} -> (1 + I/2)}, {2, 2}, Symmetric[All]]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[%]

恒等行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[IdentityMatrix[3]]

HilbertMatrixはユニタリ行列ではない：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[HilbertMatrix[5]]

矩形半ユニタリ行列 (4)

矩形行列が半ユニタリ行列かどうかの検定を行う：

Wolfram Language code:

m = (1/2)(⁠|    |   |   |    |
| -- | - | - | -- |
| 1  | 1 | 1 | -1 |
| -I | I | I | I  |⁠);

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

列が行よりも多いので，行が正規直交であることがわかる：

Wolfram Language code: m.ConjugateTranspose[m]

列は正規直交ではない：

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[m].m

行が列より多い行列について検定する：

Wolfram Language code:

m = (1/2)(⁠|         |           |
| ------- | --------- |
| 1       | 0         |
| 0       | ISqrt[2]  |
| 0       | -ISqrt[2] |
| Sqrt[3] | 0         |⁠);

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

行列の列は正規直交である：

Wolfram Language code: ConjugateTranspose[m].m

列は正規直交ではない：

Wolfram Language code: m.ConjugateTranspose[m]

ランダムなユニタリ行列を生成する：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[4]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

行の任意の部分集合は矩形半ユニタリ行列を形成する：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m[[RandomSample[Range[4], 2]]]]

列の任意の部分集合も同じである：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m[[All, RandomSample[Range[4], 2]]]]

矩形恒等行列は半ユニタリ行列である：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[IdentityMatrix[{3, 4}]]

オプション (4)

Normalized (2)

記号ユニタリ行列の列は，1に正準化されていないことがしばしばある：

Wolfram Language code:

m = {{a, b}, {Conjugate[b], -Conjugate[a]}};
UnitaryMatrixQ[m]

列が正規化されているかどうかの検定を避けることができる：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m, Normalized -> False]

ユニタリ行列の第2列に2を掛ける：

Wolfram Language code: m = MapAt[2#&, RotationMatrix[π / 4, {1, 0, 1}], {All, 2}]

NormalizedFalseのUnitaryMatrixQはmについてTrueを返す：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m, Normalized -> False]

しかし，ConjugateTranspose[m]に対してはTrueは返さない：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[ConjugateTranspose[m], Normalized -> False]

これは，は対角行列だがはそうではないためである：

Wolfram Language code: MatrixForm /@ {m.m, m.m}//FullSimplify

SameTest (1)

この行列は正の実数についてユニタリ行列であるが，UnitaryMatrixQはFalseを返す：

Wolfram Language code: m = {{1, Exp[x I]}, {Cos[x] - I Sin[x], -1}} / Sqrt[2];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

オプションSameTestを使って正しい答を得る：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m, SameTest -> (Simplify[#1 - #2, x > 0] == 0&)]

Tolerance (1)

ランダムな摂動がある次数10^-14の実直交行列を生成する：

Wolfram Language code:

n = 3;
q = Orthogonalize[RandomVariate[NormalDistribution[], {n, n}] + I RandomVariate[NormalDistribution[], {n, n}]] + 10 ^ -13 * RandomReal[1, {n, n}];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[q]

q.q^は，主対角線以外では厳密にゼロではない：

Wolfram Language code: q.q^//MatrixForm

行列をユニタリ行列として承認するために，オプションToleranceを調整する：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[q, Tolerance -> 10 ^ -12]

Toleranceは次の値に適用される：

Wolfram Language code: Norm[q.q^ - IdentityMatrix[3], Infinity]

アプリケーション (9)

ユニタリ行列の起源 (4)

$TemplateBox[{}, Complexes]^n$ についての任意の正規直交基底はユニタリ行列を形成する：

Wolfram Language code:

Subscript[e, 1] = {(1/Sqrt[2]), (I/Sqrt[2]), 0};Subscript[e, 2] = {(1/Sqrt[2]), -(I/Sqrt[2]), 0};Subscript[e, 3] = {0, 0, Exp[(I π/3)]};

基底は正規直交である：

Wolfram Language code: Table[Subscript[e, i].Subscript[e, j], {i, 3}, {j, 3}]

基底ベクトルを行列の行に置くとユニタリ行列になる：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[{Subscript[e, 1], Subscript[e, 2], Subscript[e, 3]}]

列に置いてもユニタリ行列になる：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[{Subscript[e, 1], Subscript[e, 2], Subscript[e, 3]}]

Orthogonalizeを線形独立の複素ベクトルに適用するとユニタリ行列が生成される：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1. + I, {5, 5}]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

行列が正方行列である必要はない．正方行列の場合，結果の行列は半ユニタリ行列になる：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1. + I, {5, 3}]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1. + I, {3, 5}]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

しかし，はじめの行列は最大階数でなければならない：

Wolfram Language code:

m = (|   |   |
| - | - |
| 1 | I |
| 1 | I |);

Wolfram Language code: MatrixRank[m]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[Orthogonalize[m]]

任意の置換行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: m = IdentityMatrix[4][[{2, 4, 1, 3}]]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

CircularUnitaryMatrixDistributionから導かれた行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ /@ RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3], 10]

CircularOrthogonalMatrixDistributionから導かれた行列もユニタリ行列である：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ /@ RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[3], 10]

CircularSymplecticMatrixDistributionからの行列もそうである：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ /@ RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[3], 10]

ユニタリ行列の用法 (5)

ユニタリ行列は $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ についての標準内積を保持する．換言すれば，がユニタリでとがということになる：

Wolfram Language code:

u = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3], WorkingPrecision -> 16];
{v, w} = RandomComplex[1, {2, 3}, WorkingPrecision -> 16];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[u] && v.w == (u.v).(u.w)

このことは，ベクトル間の角度が変化しないことを意味する：

Wolfram Language code: VectorAngle[v, w] == VectorAngle[u.v, u.w]

ノルムは内積から導かれるので，ノルムもまた保持される：

Wolfram Language code: Norm[v] == Norm[u.v]

Wolfram Language code: Norm[w] == Norm[u.w]

ユニタリ行列は，多くの行列の分解に重要な役を演じる：

Wolfram Language code:

m = RandomComplex[{-1. - I, 1. + I}, {50, 50}];
{q, r} = QRDecomposition[m];
UnitaryMatrixQ[q]

Wolfram Language code:

{u, w, v} = SingularValueDecomposition[m];
{UnitaryMatrixQ[u], UnitaryMatrixQ[v]}

Wolfram Language code:

{s, t} = SchurDecomposition[m];
UnitaryMatrixQ[s]

Wolfram Language code:

{p, h} = HessenbergDecomposition[m];
UnitaryMatrixQ[p]

行列 $H_v=I_n-(2 vTemplateBox[{v}, Conjugate])/(v.TemplateBox[{v}, Conjugate])$ は任意の非零のベクトルについて常にユニタリ行列である：

Wolfram Language code:

n = 5;
Subscript[ℋ, v_] := IdentityMatrix[n] - 2 vv / v.v;
v = RandomComplex[1. + I, n];
UnitaryMatrixQ[Subscript[ℋ, v]]

はハウスホルダー(Householder)鏡映と呼ばれる．純粋な鏡映なので，その行列式はである：

Wolfram Language code: Det[Subscript[ℋ, v]]//Chop

これはをに送るに垂直な平面を介した鏡映を表す：

Wolfram Language code: Subscript[ℋ, v].v == -v

に垂直な任意のベクトルはによって変えられない：

Wolfram Language code:

perp = Block[{w = RandomComplex[1 + n, n]}, w - Projection[w, v]];
Subscript[ℋ, v].perp == perp

行列の計算では，を使って指定された列ベクトルの選択された成分を0に設定する：

Wolfram Language code: x = RandomComplex[1. + I, n];

Wolfram Language code:

v = x - x[[1]] / Abs[x[[1]]] Norm[x]UnitVector[n, 1];
Subscript[ℋ, v].{x}//Chop

量子力学では，時間発展はユニタリ行列の1パラメータ族で表される．掛けるの対数微分はハミルトニアンあるいはエネルギー演算子と呼ばれるエルミート行列で，その固有値は系の可能なエネルギーを表す．次の時間発展についてハミルトニアンと可能なエネルギーを計算する：

Wolfram Language code:

u[t_] := (⁠|                          |                        |                          |
| ------------------------ | ---------------------- | ------------------------ |
| (1/2) + (1/2) Cos[t ω0]  | -(I Sin[t ω0]/Sqrt[2]) | -(1/2) + (1/2) Cos[t ω0] |
| -(I Sin[t ω0]/Sqrt[2])   | Cos[t ω0]              | -(I Sin[t ω0]/Sqrt[2])   |
| -(1/2) + (1/2) Cos[t ω0] | -(I Sin[t ω0]/Sqrt[2]) | (1/2) + (1/2) Cos[t ω0]  |⁠)

まず，行列が実際にユニタリ行列であることを確認する：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[u[t], SameTest -> (Simplify[#1 - #2 == 0, {t, Subscript[ω, 0]}∈Reals] &)]

対数微分を計算する：

Wolfram Language code: u'[t].Inverse[u[t]]//FullSimplify

この行列は反エルミート行列である：

Wolfram Language code: AntihermitianMatrixQ[%, SameTest -> (Simplify[#1 - #2 == 0, {Subscript[ω, 0]}∈Reals] &)]

ハミルトニアンを定義する：

Wolfram Language code: MatrixForm[ℋ = I ℏ %%]

この行列がエルミート行列であることを確認する：

Wolfram Language code: HermitianMatrixQ[ℋ, SameTest -> (Simplify[#1 - #2 == 0, {ℏ, Subscript[ω, 0]}∈Reals] &)]

その実固有値は可能なエネルギーを表す：

Wolfram Language code: Eigenvalues[ℋ]

反エルミート行列の指数MatrixExp[v]はユニタリ行列である．初期値がであるその微分方程式から行列関数を定義し，解がユニタリ行列であることを示す：

Wolfram Language code:

AntihermitianMatrixQ[v = (⁠|         |       |        |
| ------- | ----- | ------ |
| 2I      | -0.5I | 1. - I |
| -0.5I   | 0     | 1.     |
| -1. - I | -1.   | -I     |⁠)]

以下を解き，結果の行列がどの時点でもユニタリ行列であることをチェックする：

Wolfram Language code: mm = NDSolveValue[{m'[t] == v.m[t], m[0] == IdentityMatrix[3]}, m, {t, 0., 5.}]

デフォルト設定では，近似ユニタリ行列になる：

Wolfram Language code: Table[UnitaryMatrixQ[mm[t], Tolerance -> 10 ^ -5], {t, 0., 5., 1.}]

解の行列2ノルムは1である：

Wolfram Language code: Table[Norm@mm[t], {t, 0., 5., 1.}]

行列の行をプロットする：

Wolfram Language code: rows = Table[ParametricPlot3D[Abs[mm[t][[i]]], {t, 0., 5.}, PlotStyle -> ColorData[97, i]], {i, 3}]//Quiet;

各行は単位球上にある：

Wolfram Language code: Show[Graphics3D[{Opacity[0.5], Sphere[]}], rows]

特性と関係 (14)

m.ConjugateTranspose[m]IdentityMatrix[n]であれば，その行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: m = (1/Sqrt[2]){{1, 1}, {I, -I}};

Wolfram Language code: {UnitaryMatrixQ[m], m.m^}

近似行列の場合は，恒等式はほぼ正しい：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1 + I, {3, 3}]];

Wolfram Language code: m.m^ - IdentityMatrix[3]//Norm

ユニタリ行列の逆行列はその共役転置である：

Wolfram Language code: u = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3]];

Wolfram Language code: Inverse[u] == ConjugateTranspose[u]

したがって，逆，転置，共役，共役転置はすべてユニタリ行列である：

Wolfram Language code: Table[UnitaryMatrixQ[f[u]], {f, {Inverse, Transpose, Conjugate, ConjugateTranspose}}]

ユニタリ行列は $TemplateBox[{}, Complexes]^n$ におけるベクトルの標準内積を保持する：

Wolfram Language code:

u = RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[4]];
{v, w} = RandomComplex[1 + I, {2, 4}];
UnitaryMatrixQ[u] && v.w == (u.v).(u.w)

結果として，ユニタリ行列はノルムもまた保持する：

Wolfram Language code: Norm[v] == Norm[u.v]

Wolfram Language code: Norm[w] == Norm[u.w]

任意の実直交行列はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomReal[1, {3, 3}]];

Wolfram Language code: {OrthogonalMatrixQ[m], UnitaryMatrixQ[m]}

しかし，複素ユニタリ行列は，一般に直交行列ではない：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1 + I, {3, 3}]];

Wolfram Language code: {OrthogonalMatrixQ[m], UnitaryMatrixQ[m]}

ユニタリ行列の積はユニタリ行列である：

Wolfram Language code:

{m1, m2} = RandomVariate[CircularOrthogonalMatrixDistribution[3], 2];
{UnitaryMatrixQ[m1], UnitaryMatrixQ[m2]}

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m1.m2]

ユニタリ行列は正規行列である：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1 + I, {3, 3}]];

Wolfram Language code: {UnitaryMatrixQ[m], NormalMatrixQ[m]}

ユニタリ行列は単位円上にある固有値を持つ：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

Eigenvaluesを使って固有値を求める：

Wolfram Language code: Eigenvalues[m]

それらが単位円上にあることを確かめる：

Wolfram Language code: Abs[%]

ユニタリ行列は固有ベクトルの完全集合を持つ：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[2]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

結果として，それらは対角化可能でなければならない：

Wolfram Language code: DiagonalizableMatrixQ[m]

Eigenvectorsを使って固有ベクトルを求める：

Wolfram Language code: Eigenvectors[m]//Chop

ユニタリ行列の特異値はすべて1である：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1 + I, {3, 3}]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

Wolfram Language code: SingularValueList[m]

ユニタリ行列の行列式の絶対値は1である：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3]];

Wolfram Language code: {UnitaryMatrixQ[m], Abs[Det[m]]}

ユニタリ行列の2ノルムは常に1である：

Wolfram Language code: m = Orthogonalize[RandomComplex[1 + I, {3, 3}]];

Wolfram Language code: {UnitaryMatrixQ[m], Norm[m]}

ユニタリ行列の実数乗はユニタリ行列である：

Wolfram Language code: m = RandomVariate[CircularSymplecticMatrixDistribution[3]];

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[m]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[MatrixPower[m, RandomReal[{-2, 2}]]]

MatrixExp[I h]は任意のエルミート行列 h についてユニタリ行列である：

Wolfram Language code: h = Block[{a = RandomComplex[1 + I, {5, 5}]}, a + a^];

Wolfram Language code: HermitianMatrixQ[h]

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[MatrixExp[I h]]

UnitaryMatrixを使ってユニタリ行列を明示的に構築することができる：

Wolfram Language code: UnitaryMatrix[RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[3]]]

これはUnitaryMatrixQを満足する：

Wolfram Language code: UnitaryMatrixQ[%]

考えられる問題 (1)

複素直交行列はユニタリ行列ではない：

Wolfram Language code: m = {{5 / 3, -4 I / 3}, {4 I / 3, 5 / 3}};

Wolfram Language code: {OrthogonalMatrixQ[m], UnitaryMatrixQ[m]}

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UnitaryMatrixQ

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基本的な用法 (6)

特殊行列 (4)

矩形半ユニタリ行列 (4)

オプション (4)

Normalized (2)

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アプリケーション (9)

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ユニタリ行列の用法 (5)

特性と関係 (14)

考えられる問題 (1)

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