测试一个实矩阵是否为酉矩阵：

实的酉矩阵也是一个正交矩阵：

测试一个复矩阵是否为酉矩阵：

测试一个精确矩阵是否为酉矩阵：

将该矩阵变为酉矩阵：

将 UnitaryMatrixQ 应用于任意精度的矩阵：

随机矩阵通常不是酉矩阵：

将 UnitaryMatrixQ 应用于符号矩阵：

当 和 时矩阵变为酉矩阵：

UnitaryMatrixQ 可有效处理大型数值矩阵：

将 UnitaryMatrixQ 应用于稀疏矩阵：

将 UnitaryMatrixQ 应用于结构矩阵：

单位矩阵是酉矩阵：

HilbertMatrix 不是酉矩阵：

测试矩形矩阵是否为半酉矩阵：

由于列多于行，这表明行是正交的：

列则不是正交的：

测试行多于列的矩阵：

矩阵的列式正交的：

行不是正交的：

生成随机酉矩阵：

行的任意子集为矩形半酉矩阵：

列的任意子集也是如此：

矩形单位矩阵是半酉矩阵：

符号酉矩阵的列通常不归一化为 1：

不要测试列是否已归一化：

将酉矩阵的第二列乘以 2：

带有设置 NormalizedFalse 的 UnitaryMatrixQ 将依旧对 m 给出 True：

但是不会对 ConjugateTranspose[m] 给出 true：

这是因为 是对角矩阵，但 不是：

对于正实数 ，矩阵是酉矩阵，但是 UnitaryMatrixQ 给出 False:

使用选项 SameTest 以获得正确答案：

生成一个具有阶数为 10^-14 的某些随机扰动的正交实值矩阵：

在主对角线外，q.q^ 不是精确等于 0：

调整选项 Tolerance 以接受矩阵是酉矩阵：

Tolerance 应用于下列数值：

的任意正交基为酉矩阵：

基是正交的：

将基向量放在矩阵的行中形成酉矩阵：

将它们放在列中也会给出一个酉矩阵：

将 Orthogonalize 应用于线性独立的复向量生成酉矩阵：

矩阵不必是方阵，在这种情况下，所得矩阵是半酉矩阵：

但起始矩阵必须满秩：

任何置换矩阵都是酉矩阵：

从 CircularUnitaryMatrixDistribution 获取的矩阵为酉矩阵：

从 CircularOrthogonalMatrixDistribution 获取的矩阵也是酉矩阵：

来自 CircularSymplecticMatrixDistribution 的矩阵也一样：

酉矩阵保留 的标准内积. 换句话说，如果 是酉矩阵， 和 是向量，则 ：

这意味着向量之间的角度不变：

由于范数是从内积得来的，因此也保留了范数：

酉矩阵在许多矩阵分解中起着重要作用：

对于任意非零向量 ，矩阵 始终是酉矩阵：

被称为 Householder 反射；因为它的行列式的纯反射是 ：

它表示经由垂直于 的平面形成的反射，将 变为 ：

不改变任何垂直于 的向量：

在矩阵计算中， 被用于将给定列向量 的选定分量设为零：

在量子力学中，时间演化由酉矩阵 的 1-参数族表示. 乘以 的对数导数是 Hermitian 矩阵，被称为哈密顿算子或能量算子 . 它的特征值表示系统可能的能量. 对于以下时间演化，计算哈密顿量和可能的能量：

首先，验证矩阵是酉矩阵：

计算对数导数：

矩阵是反厄米特矩阵：

定义哈密顿量：

验证矩阵是哈密顿矩阵：

它的实特征值表示可能的能量：

反厄米特矩阵 的指数 MatrixExp[v] 是酉矩阵. 通过其微分方程 定义一个矩阵函数，初始值 ，并证明解是酉矩阵：

求解并检查每次得到的矩阵是否是酉矩阵：

如果使用默认设置，将会得到近似酉矩阵：

解的矩阵 2-范数是 1：

绘制矩阵的行：

每个行都位于单位球面上：