管型反応器における放射効果

はじめに	可視化
一次元断熱プラグフロー	用語集
モデルの拡張	参考文献

はじめに

化学反応器は化学工学処理の中核に位置する．化学反応が発生させられるのはこの反応器の中である．化学工学エンジニアは所望の産物が効率よく生成される反応器の設計に関心を持っている．

産業界では連続槽型反応器やバッチ反応器に加え，管型反応器もよく使われている．管型反応器は円筒パイプでできている．反応器内ではさまざまな反応が起こり，管型反応器のモデリングでは多数のアプローチを取ることができる．

管型反応器のモデリングで考慮することの一つに，反応器内の流れがある．従来，簡単にするためにプラグフローが想定されてきた．プラグフローは管型反応器の横断面全体で一定の速度であるとされる．断熱の場合，プラグフローでは温度等の放射要因を考慮する必要がないという利点があるため，この場合1Dモデルで十分である．

このノートブックではまず簡単な1Dのプラグフローに基づくモデルを紹介し，高度な2Dモデルへと移行する．

管型反応器は通常気相反応に使われるが，液相反応器も珍しくはない．この例では液相反応器を考える．

この管型反応器では，まずプラグフロー内で液相，発熱，不可逆の反応が起こってから，層流内で起こる．反応器内で起こる反応は，プロピレン・グリコールを作るための酸化プロピレンと水の加水分解反応である．このプロセスは硫酸によって触媒作用を及ぼされると室温で起こる．この種の反応は，反応が過剰な水で引き起こされる場合，一次反応として近似することのできる発熱である[Fogler, 2016]．一次反応は濃度を倍にすると産物も倍になるように，完全に濃度に依存する反応である．

化学反応を示す：

このノートブックは管型反応器における発熱反応をモデル化する方法を例示し，領域における化学種の濃度と温度分布を見る．

有限要素パッケージをロードする：

一次元断熱プラグフロー

プラグフローを使い，反応物A，B，結果の物質Cを持つ従来の管型反応器モデルを示す．反応器は軸に沿って置かれている．

この最初の例では，プラグフローで，断熱システムがあるものと想定している．断熱システムを想定するということは，冷却機構等を介してシステムに入ってくるエネルギーもシステムから出ていくエネルギーもないということである．この想定によって放射効果をすべて無視することができる．その結果モデルは1Dになる．

マルチフィジックスモデルの設定

この問題は複数の物理領域を考慮するので，マルチフィジックスモデルを構築する．最初のステップとして，関係のある物理領域を別々に見ていく．反応器内の温度場と濃度場について解くために，熱移動モデルと物質輸送モデルを設定する．

最初，反応器内の流速場の速度は，平均速度を表す以下の方程式によって与えられる方向のプラグフロー速度によって近似される：

ここでは総流量でありは反応器の半径である．

最初のステップとして，1Dの定常状態熱移動モデルと物質輸送モデルを定義する．

熱移動モデル

熱移動モデルの温度場について解くためには，熱方程式が使われる：

ここでは質量密度（単位は），は比熱容量（単位は），は流速（単位は），は熱伝導率（単位は），は熱源（単位は）である．

反応は発熱プロセスなので，反応によって発生した熱は熱源によってモデル化される．熱源は化学反応速度および反応熱に依存する：

1Dの定常状態熱移動モデルを設定する：

物質輸送モデル

定常状態物質輸送モデルでは，反応器内の濃度場は以下の方程式で記述される．

ここでは拡散係数（単位は）を表し，は流速，は反応速度である．

化学反応速度は反応物濃度と反応速度定数に依存する．

消費反応の場合，反応速度は負になる．

アレニウス方程式によると，反応速度は温度依存である：

ここでは周波数係数（単位は），は活性化エネルギー（単位は[J/mol]），は気体定数（単位は）である．

標準的な反応定数の表記はであるが，この場合熱伝導率との混乱を避けるために代りに非標準のシンボルを使う．

1D定常状態物質輸送モデルを設定する：

パラメータ

モデル変数

種の濃度を与える濃度変数の他，種の変換および種の濃度も計算することができる．

種

の変換率は以下で与えられる：

種

の濃度を定義する：

材料パラメータ

反応器へのフィードは2つの流れでできている．一つは酸化プロピレンとメタノールの等体積溶液で，もう一つは0.1 wt%（重量パーセント）の硫酸を含む水である．管型反応器にフィードされる酸化プロピレンのモル流量は0.1 である．水は酸化プロピレンとメタノールよりも3.5倍大きい体積流量でフィードされる[Fogler, 2016]．

提案されたマルチフィジックスモデルのどれを解くためにも，反応物と混合液の材料特性を指定する必要がある．

まず，それぞれの種の密度，熱容量，モル重量を定義する．

酸化プロピレンの材料特性を短縮形の

を使って設定する：

メタノールの材料特性を短縮形の

を使って設定する：

流体媒体の材料特性を設定する：

酸化プロピレンの頻度因子

，活性化エネルギー

，反応熱

を設定する：

体積流量を設定する：

入り口におけるモル

と体積流量

を設定する：

総流量を設定する：

入り口における濃度を設定する：

混合液の熱伝導率と拡散係数を短縮形の

を使って設定する：

気体定数

を設定する：

溶液の密度は，種の最初の濃度を使った加重和として定義される：

溶液の熱容量は，変数として

と

の濃度を使った加重和として定義される：

平均速度を設定する：

さらに計算を進めるために，濃度の大きさが抽出される：

モデルパラメータ

マルチフィジックスモデルのパラメータを指定する．

反応速度

と熱源項

を設定する：

使用するパラメータを設定する：

領域

領域は管型反応器の主軸0からまでの線で表すことができる．

形状のパラメータを指定する：

Lineプリミティブの1Dメッシュを作成する：

境界条件

流入口境界における温度と濃度の両方とも既知である．

でMassConcentrationConditionを設定する：

でHeatTemperatureCondition境界条件を設定する：

PDEモデルを解く

次のセクションでは，完全結合のマルチフィジックスモデルを解く．

モデルパラメータでマルチフィジックスPDEを指定する．

ここで示されているPDEモデルは非線形である．非線形PDEを解くためには，ソルバはソルバに対する初期シードが必要である．デフォルトの初期シードは各従属変数について0である．ここでモデルは式を含む反応速度を使うので，温度に対する0の初期シードは不可能である．解決策は簡単である．初期シードの値をと設定するのである．これで濃度はなく，反応器の温度は流入口の温度であるとされる．

1Dの結合PDEモデルを解き，使用される合計時間およびメモリを監視する．

放射効果がないことを検証する．

温度分布を可視化する．

流入口，中間部，流出口における温度変化を可視化する：

モデルの拡張

ここで提示する2つ目の管型反応器モデルは，追加で周囲に冷却ジャケットを装備している．温度は冷却ジャケットから反応器の中心までさまざまなので，冷却ジャケットによって放射効果が導入される．濃度は温度にも関係するので，濃度も放射効果が期待される．

放射効果を考えるためには，円筒座標を使った2Dモデルを利用することが必要である．モデルはｚ軸について回転対称で，円筒座標変数が消失するためである．

放射効果は冷却ジャケットがあることで存在するので，層流も考えることができる．放射効果は，層流があるとさらに大きくなる．そのような訳で，層流場は放物線形式なのである．壁の冷却ジャケットと，円筒中心と比較すると遅い壁の流速を考えると，層流は放射効果を大きくする．ここで示すモデルは[Fogler, 2016]に基づくものであり，通常非断熱層流モデルとして知られる．