AsymptoticSum

AsymptoticSum[f,x,xx0]

x0を中心とする x についての不定和分 の漸近近似を計算する．

AsymptoticSum[f,{x,a,b},αα0]

α0を中心とする α についての定和分 の漸近近似を計算する．

AsymptoticSum[f,…,{ξ,ξ0,n}]

漸近近似を次数 n まで計算する．

詳細とオプション

  • 総和の漸近近似は，漸近展開および摂動展開としても知られるものである．これらは，オイラー(Euler)・マクローリン(Maclaurin)法や部分総和法等を計算するための特別のメソッドにも知られている．
  • 漸近近似は，厳密解が求まらない問題を解くため，あるいは，計算，比較，解釈のためにより簡単な答を得るために，使われることが多い．
  • AsymptoticSum[f,…,xx0]は，f の総和の漸近展開における最高次数の項を計算する．より多くの項を指定したければSeriesTermGoalを使うとよい．
  • 厳密な結果が g[x]で x0における次数 n の漸近近似が gn[x]なら，xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],gn[x]-gn-1[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[gn[x]-gn-1[x]]である．
  • 漸近近似 gn[x]は，しばしば総和 gn[x]αkϕk[x]として与えられる．ただし，{ϕ1[x],…,ϕn[x]}は xx0のときの漸近尺度 ϕ1[x]≻ϕ2[x]≻⋯>ϕn[x]である．xx0のとき，AsymptoticLess[g[x]-gn[x],ϕn[x],xx0]または g[x]-gn[x]∈o[ϕn[x]]である．
  • xx0のときのテイラー(Taylor)スケール
    xx0のときのローラン(Laurent)スケール
    x±∞のときのローランスケール
    xx0のときのピュイゾー(Puiseux)スケール
  • 漸近近似を表すために使われる尺度は，問題から自動的に推測される．より珍しい尺度が含まれることも多い．
  • 中心 α0は，任意の有限または無限の実数または複素数でよい．
  • 次数 n は漸近展開の近似次数を指定するもので，正の整数でなければならない．この次数は，多項式次数とは無関係である．
  • 次は，使用可能なオプションである．
  • AccuracyGoalAutomatic目標とする絶対確度の桁数
    Assumptions$Assumptionsパラメータについての仮定
    GenerateConditionsAutomaticパラメータについての条件を含む答を生成するかどうか
    GeneratedParameters None生成されたパラメータの名付け方
    MethodAutomatic使用するメソッド
    PerformanceGoal$PerformanceGoalパフォーマンスのどの局面について最適化するか
    PrecisionGoalAutomatic目標精度の桁数
    Regularization None使用する正規化スキーム
    SeriesTermGoalAutomatic近似における項数
    WorkingPrecisionAutomatic内部計算の精度
  • PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，AsymptoticSumはより多くの問題を解いたりより簡単な結果を与えたりすることが多いが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．

例題

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例  (3)

総和について最高次の漸近近似を計算する：

和の漸近展開を計算する：

大きい n についての厳密値と比較する：

パラメータについての和の漸近展開を計算する：

必要とされる展開を計算する：

小さい a についての厳密値と比較する：

スコープ  (13)

不定和分  (5)

有理和について漸近展開を計算する：

Sumが与える結果と比較する：

多項・指数型の和についての漸近展開：

Sumが与える結果と比較する：

超幾何和についての漸近展開：

ある点における値を推定する：

NSumが与える値と比較する：

有理・指数型の和についての漸近展開：

結果を確かめる：

PolyGamma和についての漸近展開：

有限和  (4)

有理和についての漸近展開を計算する：

NSumが与える結果と比較する：

有理・指数型の和についての漸近展開：

NSumが与える結果と比較する：

超幾何和の漸近展開を計算する：

厳密な結果と比較する：

HarmonicNumber和についての漸近展開：

NSumが与える結果と比較する：

パラメトリック和  (4)

パラメータについての漸近展開を計算する：

結果を確かめる：

無限・指数型の和の漸近展開を計算する：

厳密な結果と比較する：

Zetaと関連する和についての漸近展開：

数値近似と比較する：

ガウスの指数型交代和についての漸近近似：

数値近似と比較する：

オプション  (3)

GeneratedParameters  (1)

不定和分についての任意の定数を生成する：

任意の定数についてのデフォルト値は0である：

Regularization  (2)

アーベル(Abel)の正規化を使って発散する和についての漸近展開を計算する：

ボレル(Borel)の正規化を使って発散する和についての漸近展開を計算する：

アプリケーション  (9)

有限和についての近似を計算する：

徐々に増加する n の値についての数値近似を計算する：

Sumが与える厳密な結果と比較する：

定積分についてのリーマン(Riemann)和近似を計算する：

n の大きい値についての近似を計算する：

Integrateが与える結果と比較する：

DiscreteLimitを使って厳密な結果を得る：

近似値と厳密値をプロットする：

広義積分の数値近似を計算する：

n の大きい値についての近似を計算する：

NIntegrateが与える結果と比較する：

であることを示す：

厳密な結果の展開と比較する：

についての漸近展開を計算する：

についての近似値と厳密値を比較する：

ガウス和についての漸近近似を計算する：

についての近似値と厳密値を比較する：

有理和についての一階漸近近似を計算する：

有理・指数型の和：

超幾何和：

n がInfinityに近付くとき，は1/n と漸近的に等しいことを示す：

AsymptoticEquivalentを使って必要とされる等価性を確かめる：

Sumからの結果を使って結果を確かめる：

二項和について漸近近似を計算する：

について近似値と厳密値を計算する：

特性と関係  (3)

AsymptoticSumは指定された次数までの和を計算する：

Sumを使って和を閉形式で求める：

NSumを使って数値近似を計算する：

Wolfram Research (2019), AsymptoticSum, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSum.html （2020年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (2019), AsymptoticSum, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSum.html （2020年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 2019. "AsymptoticSum." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSum.html.

APA

Wolfram Language. (2019). AsymptoticSum. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticSum.html

BibTeX

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BibLaTeX

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