求 MachinePrecision 矩阵的行列式：

复矩阵的行列式：

精确矩阵的行列式：

任意精度矩阵的行列式：

符号矩阵的行列式：

高效计算大型数值矩阵的行列式：

结果不一定是机器精度的数字：

有限域元素构成的矩阵的行列式：

CenteredInterval 矩阵的行列式：

找到 m 的随机表示 mrep：

验证 mdet 包含 mrep 的行列式：

稀疏矩阵的行列式：

结构化矩阵的行列式：

IdentityMatrix 的行列式为 1：

HilbertMatrix 的行列式：

计算阶数为 的单变量多项式的 矩阵的行列式：

用模 47 的算术计算行列式：

这比 Mod[Det[m],47] 的计算速度快：

用 Det 求 和 之间的平行四边形的面积：

可视化一个顶点在原点时的平行四边形：

面积由行列式的绝对值给出：

与 Area 给出的结果相比较：

用 Det 求 、 和 之间的平行六面体的体积：

可视化一个顶点在原点时的平行六面体：

体积由行列式的绝对值给出：

与用 Volume 直接计算所得的结果相比较：

用 Det 求由以下向量形成的超平行六面体的超体积：

超体积由行列式的绝对值给出：

与 RegionMeasure 给出的结果相比较：

行列式本身是负数，因此 不是右手系的：

只需交换任意两个向量（例如中间两个向量）的顺序，即可生成右手系的超平行六面体：

求经过与矩阵 相关联的线性变换后单位圆盘 的图像的面积：

图像 的面积由 给出：

与直接计算的结果相比较：

可视化图像 ：

求直角坐标和极坐标之间变量变换公式 中的体积因子 . 从极坐标到直角坐标的映射由下式给出：

用 Grad 计算映射的雅可比矩阵：

根据变量变换定理，体积是雅可比矩阵的行列式：

与 CoordinateChartData 给出的结果相比较：

相同的过程适用于任何坐标系，例如，球坐标系：

用变量变换定理计算 ，其中 是以下区域：

首先，定义双曲坐标 ：

区域 明确对应于 和 . 通过变量变换公式 . 梯度由下式给出：

梯度的行列式是积分为 的函数的两倍：

因此， 由平凡积分 给出：

与直接在区域上积分的结果相比：

确定 的以下基向量是否为右手系：

基向量形成的矩阵的行列式是负的，因此不是右手系的：

确定对应于 的线性变换为保持定向的 (orientation-preserving) 还是反转定向的 (orientation-reversing)：

当 时，映射是保持定向的：

证明下面的矩阵不是旋转矩阵：

所有旋转矩阵的行列式都为 1；因为 ，因此不是旋转矩阵：

证明矩阵 为正交矩阵，确定它是旋转矩阵还是包含反射：

就输入的精度来说，，因此 为正交矩阵：

对于所有正交矩阵，，但对于旋转矩阵 ；因为 ，所以 包含反射：

将旋转矩阵推广到复向量空间，结果是一个特殊的酉矩阵，它是行列式为 1 的酉矩阵. 证明下列矩阵是一个特殊酉矩阵：

矩阵是酉矩阵，因为 ：

行列式为 1，所以它实际上是特殊酉群 的一个元素：

确定参数 的值，使得方程组 、 有唯一解，并对解进行描述. 首先，形成系数矩阵 和常向量 ：

当 时有唯一解：

在实数上求解，给出三个开区间，由 和 分开：

由于对 的这些值矩阵是可逆的，解即为 ：

在原始方程组中验证解：

用克莱默法则解方程组 、、. 首先，形成系数矩阵 和常向量 ：

形成三个矩阵 ，其中 替换 的相应列：

解的项由 给出：

验证结果：

编写一个函数，实现克莱默法则，求解线性方程组 m.x=b：

m 和 b 取特定值，用该函数解方程组：

验证解：

对于数值型方程组， LinearSolve 更快且更准确：

判断矩阵 是否有非平凡内核（零空间）：

由于行列式非零，内核是非平凡的：

用 NullSpace 确认结果：

判断矩阵 对应的映射是否是单射：

由于 ，映射不是单射：

用 FunctionInjective 确认结果：

由于 定义了一个线性函数 ，不是单射意味着也不是满射：

判断矩阵 是否定义了一个自同构（双射线性映射）：

由于 ，映射是自同构：

用 FunctionBijective 确认结果：

计算删除第 i 行和第 j 列后获得的余因子矩阵：

检查结果：

行列式的模计算：

行列式取模：

恢复结果：

移动残差，使其对称：

确认恢复了不取模的行列式：